COURBES ET SYMETRIES
1) Comment montrer qu'une courbe Cf admet un axe de symétrie ?
f est une fonction définie sur son domaine D
f
C
f est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal
.
On veut démontrer que la courbe C
f admet la droite d'équation
x = a comme axe de symétrie.
Il faut montrer que Df est symétrique par rapport à a.
Ensuite il faut montrer que f(a+h) = f(a-h) pour tout réel h tel que a+h et a-h appartiennent à l'ensemble de définition Df.
Exemple :
f est la fonction définie sur
par f(x) = x² - 6x + 14
C
f est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal
.
Démontrer que la courbe C
f admet la droite d'équation
x = 3 comme axe de symétrie.
Solution :
D
f =
est évidemment symétrique par rapport à 3.
Autrement dit : pour un réel h quelconque, 3-h appartient à D
f =
dès que 3+h appartient à D
f =
.
Pour tout réel h tel que 3+h appartient à D
f =
:
f(3+h) = (3+h)² - 6(3+h) + 14.
Après simplification on trouve : f(3+h) = h² + 5.
Pour tout réel h tel que 3-h appartient à D
f =
:
f(3-h) = (3-h)² - 6(3-h) + 14.
Après simplification on trouve : f(3-h) = h² + 5.
Par conséquent f(3+h) = f(3-h) pour tout réel h tel que 3+h et 3-h appartiennent à l'ensemble de définition D
f.
Les deux points précédents permettent de conclure que la courbe Cf admet la droite d'équation x = 3 comme axe de symétrie.
2) Comment montrer qu'une courbe Cf admet un centre de symétrie ?
f est une fonction définie sur son domaine D
f
C
f est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal
.
On veut démontrer que la courbe C
f admet le point A(a;b) comme centre de symétrie.
Il faut montrer que Df est symétrique par rapport à a.
Ensuite il faut montrer que A(a;b) est le milieu du segment [MN] :
Autrement dit que : [f(a+h) + f(a-h)]/2 = b ou encore que : f(a+h) + f(a-h) = 2b
pour tout réel h tel que a+h et a-h appartiennent à l'ensemble de définition Df.
Exemple :
f est la fonction définie sur
par f(x) = (x - 2)³ + 4
C
f est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal
.
Démontrer que la courbe C
f admet le point A(2;4) comme centre de symétrie.
Solution :
D
f =
est évidemment symétrique par rapport à 2.
Autrement dit : pour un réel h quelconque, 2-h appartient à D
f =
dès que 2+h appartient à D
f =
.
Pour tout réel h tel que 2+h appartient à D
f =
:
f(2+h) = (2 + h - 2)³ + 4
f(2+h) = h³ + 4.
Pour tout réel h tel que 2-h appartient à D
f =
:
f(2-h) = (2 - h - 2)³ + 4
f(2+h) = - h³ + 4.
f(2+h) + f(2-h) = h³ + 4 - h³ + 4 = 8
Par conséquent f(2+h) + f(2-h) = 2x4 pour tout réel h tel que 2+h et 2-h appartiennent à l'ensemble de définition D
f.
Les deux points précédents permettent de conclure que la courbe Cf admet le point A(2;4) comme centre de symétrie.