1.FAUX
ln (x)
0 lorsque x 1 mais ln(x) < 0 lorsque 0 < x < 1.
2. VRAI
D'après le cours :
* La fonction x
ln(x) est continue sur ] 0 ; +
[.
* La fonction x ln(x) est strictement croissante sur ] 0 ; + [.
De plus :
Donc pour tout nombre k dans l'intervalle
(autrement dit pour tout réel k), d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
l'équation ln (x) = k admet une unique solution dans ] 0 ; + [.
3.FAUX
La fonction x ln(x) est dérivable sur ] 0 ; + [ par conséquent elle est dérivable en e.
Ce qui se traduit par :
Donc :
4.VRAI
D'après le cours :
* La fonction x ln(x) est dérivable sur ] 0 ; + [.
* La fonction x x est dérivable sur ] 0 ; + [.
Donc La fonction x xln(x) est dérivable sur ] 0 ; + [ comme produit de fonctions dérivables.
De plus posons : U(x) = x et V(x) = ln (x)
Par conséquent f = UV et f' = U'V + UV'
Ainsi :
5.FAUX
6.VRAI
Il n'y a aucune forme indéterminée ici :
ln (x)
0 lorsque x 1 mais ln(x) < 0 lorsque 0 < x < 1.
2. VRAI
D'après le cours :
* La fonction x
ln(x) est continue sur ] 0 ; + [. * La fonction x
ln(x) est strictement croissante sur ] 0 ; + [.De plus :
Donc pour tout nombre k dans l'intervalle
(autrement dit pour tout réel k), d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
l'équation ln (x) = k admet une unique solution dans ] 0 ; + [.
3.FAUX
La fonction x
ln(x) est dérivable sur ] 0 ; + [ par conséquent elle est dérivable en e.Ce qui se traduit par :
Donc :
4.VRAI
D'après le cours :
* La fonction x
ln(x) est dérivable sur ] 0 ; + [.* La fonction x
x est dérivable sur ] 0 ; + [.Donc La fonction x
xln(x) est dérivable sur ] 0 ; + [ comme produit de fonctions dérivables.De plus posons : U(x) = x et V(x) = ln (x)
Par conséquent f = UV et f' = U'V + UV'
Ainsi :
5.FAUX
6.VRAI
Il n'y a aucune forme indéterminée ici :