| Appelons Pn la proposition :"4n + 2 est divisible par 3". Pour démontrer par récurrence que Pn est vraie pour tout entier naturel n, il faut procéder en deux étapes et conclure : |
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 Première étape ( condition initiale ) :On vérifie que P0 est vraie. Puisque 40 + 2 = 1 + 2 = 3 est divisible par 3, la proposition Pn est vraie au rang 0. |
Le premier domino P0 tombe bien. |
| Deuxième étape : On vérifie le caractère héréditaire (l'enchaînement Pn -> Pn+1) de la proposition. On suppose que pour un entier naturel n quelconque Pn est vraie, notre hypothèse de récurrence est donc : "Pour un entier naturel n, on suppose que 4n + 2 est divisible par 3". On doit démontrer que la proposition Pn+1 est encore vraie, c'est à dire que :" pour cet entier naturel n, 4n+1 + 2 est encore divisible par 3". Si 4n + 2 est divisible par 3 alors il existe un entier k tel que 4n + 2 =3k ainsi 4n = 3k - 2. Or 4n+1 = 4nx4. Donc : 4n+1 + 2 = 4nx4 + 2 4n+1 + 2 = (3k - 2)x4 + 2 4n+1 + 2 = 12k - 8 + 2 4n+1 + 2 = 12k - 6 4n+1 + 2 = 3x(4k - 2) (4k - 2) étant un entier, 4n+1 + 2 est donc divisible par 3. Ainsi Pn+1 est encore vraie. |
Le domino Pn "entraine" bien le domino Pn+1. |
| Conclusion : Une fois les deux étapes franchies on conclut que la proposition Pn est vraie pour tout entier naturel n. Nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n, 4n + 2 est divisible par 3. |
Les deux étapes franchies tous les dominos tomberont en "cascade".
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