Le raisonnement par récurrence : EXEMPLE 2

Montrer que pour tout entier naturel n > 0 :
1² + 2² + 3² + ... + n² = .

Solution :

Appelons Pn la proposition :"1² + 2² + 3² + ... + n² = ". Pour démontrer par récurrence que Pn est vraie pour tout entier naturel n > 0, il faut procéder en deux étapes et conclure :
Première étape ( condition initiale ) : On vérifie que P1 est vraie. 1² = 1, et , on a donc , la proposition Pn est vraie au rang 1.	Le premier domino P1 tombe bien.
Deuxième étape : On vérifie le caractère héréditaire (l'enchaînement Pn -> Pn+1) de la proposition. On suppose que pour un entier naturel n quelconque Pn est vraie, notre hypothèse de récurrence est donc : "Pour un entier naturel n > 0, on suppose que : 1² + 2² + 3² + ... + n² = ". On doit démontrer que la proposition Pn+1 est encore vraie, c'est à dire que :" pour cet entier naturel n, 1² + 2² + 3² + ... + n² + (n+1)² = ". ou encore que : "1² + 2² + 3² + ... + n² + (n+1)² = ". Nous utilisons immédiatement notre hypothèse de récurrence : Si 1² + 2² + 3² + ... + n² = Alors 1² + 2² + 3² + ... + n² + (n+1)² = + (n+1)² 1² + 2² + 3² + ... + n² + (n+1)² = on factorise par (n+1) : 1² + 2² + 3² + ... + n² + (n+1)² = 1² + 2² + 3² + ... + n² + (n+1)² = et puisque (n+2)(2n+3) = 2n²+7n+6 on obtient finalement : 1² + 2² + 3² + ... + n² + (n+1)² = Ainsi Pn+1 est encore vraie.	Le domino Pn "entraine" bien le domino Pn+1.
Conclusion : Une fois les deux étapes franchies on conclut que la proposition Pn est vraie pour tout entier naturel n strictement positif. Nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n strictement positif, 1² + 2² + 3² + ... + n² =	Les deux étapes franchies tous les dominos tomberont en "cascade".