Les exercices sur le flocon de VON KOCH
( niveau : première - chapitre : SUITES )
Montrer que le flocon de von koch possède un périmètre infini, vous commencerez par calculer le périmètre du flocon à l'étape n.
à l'étape n observons un segment de longueur L sur le flocon :
à l'étape n+1 ce segment devient :
La longueur obtenue est alors égale à +++=L. Lorsqu'on passe de l'étape n à l'étape n+1 les longueurs sont multipliées par .
Appelons Pn le périmètre du flocon à l'étape n, d'après le point précédent Pn+1=Pn.
La suite (Pn) est donc géométrique de raison q= et de premier terme P0=3 (périmètre du triangle de départ).
Ainsi pour tout entier n, Pn= 3xn et puisque q= > 1 on a .
On a bien montré que le flocon de von koch possède un périmètre infini.
On désigne par Cn le nombre de côtés du flocon à l'étape n, exprimez Cn en fonction de n.
A l'étape n=0, on a un triangle (équilatéral) : donc C0 = 3
à une étape n quelconque observons un segment de longueur L sur le flocon :
à l'étape n+1 ce segment devient :
Donc lorsqu'on passe de l'étape n à l'étape n+1, le nombre de segment est multiplié par 4.
Ainsi la suite (Cn) est géométrique de raison 4 et de premier terme C0 = 3.
Cn = 3x4n
Entre l'étape n et l'étape n+1 il se crée de nouveaux petits triangles :
Soit Tn+1 le nombre de nouveaux triangles à l'étape n+1, exprimez Tn+1 en fonction de n.
à une étape n quelconque observons un segment de longueur L sur le flocon :
à l'étape n+1 un seul triangle est créé sur ce segment :
Donc il y a autant de nouveaux triangles à l'étape n+1 qu'il y avait de segments à l'étape n,
Ainsi Tn+1 =Cn = 3x4n
A l'étape n quelle est l'aire Sn d'un nouveau triangle ?
Je vous laisse calculer l'aire du triangle équilatéral de départ, vous obtiendrez S0 =
D'une étape à l'autre les longueurs sont divisées par 3 donc multipliées par k =
Donc d'une étape à l'autre les aires sont multipliées par k² =
Ainsi la suite (Sn) est géométrique de raison et de premier terme S0 = .
Quelle est donc l'aire du flocon de VON KOCH ?
Appelons An+1 l'aire du flocon à l'étape n+1, on a :
Montrer que le flocon de von koch possède un périmètre infini,
donc C
