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..........Méthode de Monte-Carlo................
On appelle méthode de Monte-Carlo toute méthode visant à calculer une valeur numérique en utilisant des procédés aléatoires,
c'est-à-dire les outils et techniques des PROBABILITES.
Le nom de ces méthodes fait allusion aux jeux de hasard pratiqués dans les casinos de Monte-Carlo (Monaco).
Exemple 1: Mesure de l'aire d'un étang par des tirs de canons aléatoires
On peut appliquer une méthode de Monté-Carlo pour trouver une approximation
de l'aire de cet étang possédant des contours irréguliers.
On commence par définir autour de l'étang une figure géométrique connue (rectangle...)
dont on pourra facilement calculer l'aire.
Par exemple ici l'aire du champ entourant l'étang est 60x35=2100 m².
On effectue ensuite des tirs de canons aléatoires sur ce champ.
Si 80 tirs de canons sont effectués et parmi ceux-ci 48 atterrissent dans l'étang,
on pourra supposer que l'aire de l'étang représente les 48/80 de l'aire du champ.
Ce qui nous donnera une aire approchée pour l'étang de 2100X48/80=1260 m².
Ingénieux, non ?
Exemple 2: Valeur approchée de pi.
Un quart de cercle est inscrit dans un carré de côté 1.
L'aire du carré est 1, l'aire du quart de disque est pi/4.
En effectuant des "tirs de canons" aléatoires (simulés par un ordinateur)
on peut trouver une valeur approchée de pi/4 donc de pi !
A défaut d'ordinateur on peut jeter des grains de riz, sur le dessin,
ce qui nous donnera encore une approximation de pi par une méthode de Monté-Carlo !
L'applet ci-dessous permet de faire cette simulation :
Exemple 3: Approximation de pi à l'aide d'un tableur
On reprend le principe de la méthode précédente.
On commence par remplir une partie du tableur comme ci-dessous :
On choisit au hasard des coordonnées x et y comprises entre 0 et 1 pour le point M.
Ce qui revient à taper les formules "=ALEA( )" dans les cellules B2 et C2.
On vérifie ensuite si M est dans le disque rouge. D'après le théorème de PYTHAGORE
OM²=x²+y² donc dire que M est dans le disque rouge est équivallent à dire que OM² est
inférieur ou égal à 1²=1.
Dans la cellule D2 on tape la formule "=B2*B2+C2*C2" qui nous calcule OM².
Dans la celluleE2 on tape la formule "=SI(D2<=1;1;0)" qui affiche 1 si
OM² est inférieur à 1 et qui affiche 0 sinon.
On tire ces formules vers le bas.
Dans la cellule E22 on tape la formule "=SOMME(E2:E21)" qui affiche le
nombre de points obtenus à l'intérieur du disque rouge.
Dans la cellule G1 on tape la formule "E22/A21*4" qui affiche une valeur approchée de pi,
il faut multiplier par 4 puique comme on l'a vu précédemment le rapport quart de disque/carré vaut pi/4.
On obtient une feuille de calcul de la forme : En appuyant sur la touche "SUPPR" on effectue 20 nouveaux tirs.
Remarque : 20 tirs c'est peu pour avoir une bonne approximation, il ne faut pas hésiter
à adapter le tableau pour effectuer 100 ou même 1000 tirs. La valeur approchée de pi obtenue
par cette méthode de Monté-Carlo n'en sera que plus précise.
