Une démonstration du théorème de PYTHAGORE

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Pythagore ( né à Samos vers -570 et mort en italie vers -490) était philosophe avant tout, il inventa d'ailleurs le mot : philosophie
Il travailla aussi sur les harmonies musicales, dans le domaine de l'astronomie et fonda les sciences politiques.

Une démonstration du théorème de PYTHAGORE :

Prenons un triangle rectangle quelconque.
Notons x et y les longueurs des deux côtés de l'angle droit,
et z la longueur de l'hypothénuse.

Notre but est de montrer que x² + y² = z².

Commençons par disposer quatre de ces triangles de manière à former un carré de côté x+y :

1) Nous allons prouver que le quadrilatère incliné est un carré de côté z :

Ce quadrilatère incliné est évidemment un losange puisque ses quatre côtés ont pour mesure z.
De plus + + = 180° (angle plat).

Puisque dans un triangle la somme des angles vaut 180°, on a dans le triangle rectangle de départ :
+ + 90° = 180°
Soit + = 180° - 90°
Donc + = 90°

En remplaçant dans : + + = 180°
Nous obtenons 90° + = 180°
Et donc : = 90°

Le quadrilatère incliné est un losange possédant un angle droit : c'est un carré.

2) Nous allons exprimer l'aire du grand carré de côté x+y de deux manières différentes :

a) C'est un carré de côté x+y, son aire est donc : ( x + y )² = x² + 2xy + y².

b) Ce grand carré est constitué d'un carré d'aire z² et de quatre triangles rectangles
dont l'aire de chacun est
Donc l'aire totale des quatre triangles rectangles est : 4 = 2xy.

Donc l'aire du grand carré est égale à l'aire du carré incliné + l'aire des quatre triangles rectangles.

Ce qui donne en reprenant les résultats du a) : x² + 2xy + y² = z² + 2xy

En enlevant 2xy dans chaque membre on obtient : x² + y² = z²

x² + y² = z²
Le théorème de PYTHAGORE est démontré.

	Prenons un triangle rectangle quelconque. Notons x et y les longueurs des deux côtés de l'angle droit, et z la longueur de l'hypothénuse. Notre but est de montrer que x² + y² = z².
	Commençons par disposer quatre de ces triangles de manière à former un carré de côté x+y :
	1) Nous allons prouver que le quadrilatère incliné est un carré de côté z : Ce quadrilatère incliné est évidemment un losange puisque ses quatre côtés ont pour mesure z. De plus + + = 180° (angle plat). Puisque dans un triangle la somme des angles vaut 180°, on a dans le triangle rectangle de départ : + + 90° = 180° Soit + = 180° - 90° Donc + = 90° En remplaçant dans : + + = 180° Nous obtenons 90° + = 180° Et donc : = 90° Le quadrilatère incliné est un losange possédant un angle droit : c'est un carré.
	2) Nous allons exprimer l'aire du grand carré de côté x+y de deux manières différentes : a) C'est un carré de côté x+y, son aire est donc : ( x + y )² = x² + 2xy + y². b) Ce grand carré est constitué d'un carré d'aire z² et de quatre triangles rectangles dont l'aire de chacun est Donc l'aire totale des quatre triangles rectangles est : 4 = 2xy. Donc l'aire du grand carré est égale à l'aire du carré incliné + l'aire des quatre triangles rectangles. Ce qui donne en reprenant les résultats du a) : x² + 2xy + y² = z² + 2xy En enlevant 2xy dans chaque membre on obtient : x² + y² = z² x² + y² = z² Le théorème de PYTHAGORE est démontré.