« Un phénomène complexe »

Il  est de plus en plus nécessaire aux scientifiques de créer ou de simuler le hasard: les physiciens s’en servent pour simuler numériquement des phénomènes très complexes impossibles à évaluer sans méthode statistique (méthode de Monte-Carlo) et les cryptologues l’utilisent pour créer des codes secrets inviolables, le hasard brouillant les pistes des pirates. Les méthodes  pour créer ce hasard se révèlent en réalité peu fiables.

a.Tests : le Cerveau est il un acteur du hasard ?

En janvier 2004, le magazine Science & Vie publie dans son numéro de Janvier tout un dossier sur le hasard et notamment les résultats d'un test réalisé auprès d'un échantillon de la population. Voici les résultats de cette étude et une comparaison avec nos propres résultats.
            Conditions : Ces tests sont réalisés avec une contrainte temporelle, il faut répondre aux questions rapidement. Nous avons choisi, pour des raisons de temps et en fonction des disponibilités des personnes interrogées de prendre seulement 50 personnes, pour obtenir tous nos pourcentages, nous avons donc multiplié par 2 tous nos résultats.

Conclusion :

                  Au sein du cerveau, le hasard  absolu n’existe pas, on a toujours une préférence, une certaine logique dans nos choix comme dans nos décisions, que ce soit conscient ou inconscient. D’où la difficulté de la modélisation

 

b.Exemple n°1 : « La naissance des enfants »

►problème :

Si une famille a deux enfants, il y a trois situations possibles :

-les deux enfants sont des filles ;
-les deux enfants sont des garçons ;
-l’un des enfants est une fille, et l’autre un garçon.

On pose respectivement FF, GG, et FG les trois phénomènes précèdent.
On admet qu’il y a autant de chances d’avoir une fille qu’un garçon pour chaque naissance.

Dans une famille, y a-t-il autant de chances d’avoir FF, que GG, que FG ?

►Arbre représentant les différentes éventualités.

►Loi de Probabilité :

►Réponse au problème :

Au sein d’une famille, il y a deux fois plus de chance d’avoir deux enfants de sexe différents que deux enfants de même sexe.

►Conclusion :

 

La naissance des enfants est un phénomène naturel dû au hasard qui est modélisable grâce par exemple à un arbre et à une loi de probabilité. En effet, le sexe d’un enfant dépend d’une étape importante de la reproduction sexuée qui est la fécondation. Cette dernière réunit au hasard deux gamètes, porteuses d’un chromosome X pour les ovocytes et d’un chromosome X ou Y pour les spermatozoïdes.

 

c.Exemple n°2 : « Le lancer de deux dés »

►Problème :

Si on  lance deux dés équilibrés à 6 faces numérotées de 1 à 6, la somme des deux chiffres obtenu est égale à l’un des nombres 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12.
Nous allons voir si ces onze résultats ont autant de chance de se produire.
Par une étude expérimentale, nous aurions pu réaliser plusieurs lancés et en relever les résultats obtenus mais nous allons voir que l’on peut simuler cette expérience à  l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur.

►Tableau récapitulatif des éventualités.

►Tableau récapitulatif du total des points.

►Explications.

On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité associe le total des points indiqués sur les deux dés et on note
                                   X=2 l’évènement « obtenir un total de 2 points » et p(X=2) sa probabilité.
                                   X=3 l’évènement « obtenir un total de 3 points » et p(X=3) sa probabilité.
                                   Etc…
                  On présente les probabilités de ces différents évènements dans le tableau ci-dessous :

►Avec l’aide de la calculatrice.

Ceci est en effet modélisable avec la calculatrice (Casio® Graphique 35+) par des formules suivantes :

Int(Ran#x6)+1+Int(Ran#x6)+1 pour le lancé de deux dés.

Int(Ran#x6)+1 pour le lancé d’un dé.

Indications pour trouver les Fonctions :

Int :  Optn=F6=F4=F2

Ran#:  Optn=F6=F3=F4:

 

►Avec l’aide d’un tableur.

Avec un tableur (microsoft® Excel), on peut également simuler des lancés à l’aide des formules suivantes
=ENT(ALEA()*6+1) pour le lancé d’un dé.
=ENT(ALEA()*6+1)+ENT(ALEA()*6+1) pour le lancé de deux dés.
Excel

 

Exemple de l’écran du tableur obtenu :
(On peut simuler plusieurs lancés rapidement en appuyant sur « Suppr »)

►Comparaisons avec la loi de probabilité établie précédemment :

Nous avons donc choisi de simuler 200000 fois le lancé d’un dé avec l’aide du tableur Excel afin de vérifier si la taille de l’échantillon était ou non un facteur. Nous ne feront pas cette expérience avec le lancé simultané de deux dés car les conclusions seraient similaires.

En effet, à l’aide d’un plus grand échantillon, on peut voir que la fréquence rend vers l’espérance qui je le rappelle était de 0.166666…. . On a donc montré que la taille de l’échantillon utilisé avait son importance sur les résultats.
         On peut supposer que si l’on augmentait encore le nombre de lancés, la fréquence tendrait de plus en plus vers l’espérance.

Excel

►Conclusion :

            En simulant le lancé de un ou deux dés soit à l’aide de la calculatrice, soit à l’aide d’un tableur nous avons pu découvrir plusieurs choses. Premièrement la taille de l’échantillon, ici le nombre de lancés de dé n’est pas un facteur à négliger dans une modélisation. Deuxièmement on a vu que dans le cas présent, cela permettait de faire tendre la fréquence vers l’espérance.

 

c.Les Ordinateurs face au Hasard

 

Comme, le hasard est utilisé en biologie, ainsi que dans certains travaux mathématiques nous pouvons nous demander si l’ordinateur peut le créer et l’utiliser l’intérêt étant de mieux comprendre le fonctionnement de ces outils qui tout le monde utilise sans vraiment les connaitre. En effet, on trouve sur certains sites internet des générateurs de nombres aléatoires (random.org) mais il faut s’en méfier. Lorsque l’on demande à Dimitri PETRITIS (Professeur de mathématiques à l’université de Rennes) si l’on peut si fier, il répond catégoriquement que non. Pour lui, « il faut s’assurer de leurs propriétés annoncées avant toute utilisation. Et même si il existe une liste noire de ces générateurs, la crainte qu’ils soient plus nombreux que les bons est grande. ».
      Nous avons pu voir précédemment que les ordinateurs pouvaient simuler des expériences aléatoires tel que le lancé d’un dé, il est donc bien pour conclure de s’intéresser aux méthodes qu’ils utilisent. On sitera deux méthodes utilisées pour simuler le hasard sur un ordinateur :

      Méthode 1 : Des « tables » de nombres au hasard sont en mémoire, ce qui laisse penser qu’au bout d’un certain temps éventuellement assez long, on retrouvera les mêmes nombres.

      Méthode 2 : La majorité des fonctions aléatoires en informatique ont une base commune : le temps. Dans l’esprit, ils prennent un « top horloge » à un instant t et en extraient par exemple le nombre de millisecondes. Ce chiffre, plus ou moins aléatoire, pourra par la suite servir comme base pour générer un nombre « pseudo » aléatoire en informatique.

 

 

 

Conclusion:

Durant nos recherches, nous avons pu voir que des phénomènes naturels tels que les fractales ou la phyllotaxie étaient modélisables, pour tous les phénomènes non modélisables, on peut alors parler du hasard, soit absolue soit partiel. Néanmoins, la majorité des phénomènes naturels modélisables reste probablement à découvrir.