Convexité et dérivée seconde

Interprétation graphique, dérivée seconde, points d'inflexion

En résumé :

Une fonction est convexe si sa courbe est en dessous de toutes ses cordes et au-dessus de ses tangentes.
Elle est concave si c’est l’inverse.
Si la fonction est deux fois dérivable, la convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde.
Un point d’inflexion est un point où la convexité change.

Une fonction $f$ est convexe sur $I$ si sa courbe est située au-dessus de ses tangentes. Elle est concave si elle est en dessous.

Convexe ($f''>0$) Concave ($f''<0$)

C'est le point où la courbe traverse sa tangente. La convexité change en ce point, ce qui signifie que $f''(x)$ s'annule en changeant de signe.

Pour $x < y$ dans un intervalle $I$ :

$f$ est convexe sur $I$ si, pour tous $x,y$ de $I$, la courbe de $f$ est située en dessous du segment (la corde) reliant $(x,f(x))$ à $(y,f(y))$.
$f$ est concave sur $I$ si la courbe de $f$ est située au-dessus de toutes ses cordes.

Cette propriété est équivalente à la définition analytique par l'inégalité $$f(tx + (1-t)y) \leq t f(x) + (1-t)f(y).$$

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f : I \to \mathbb{R}$.

On dit que $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous $x, y$ dans $I$ et tout $t$ dans $[0,1]$ :

$f(tx + (1-t)y) \leq t f(x) + (1-t) f(y)$.

On dit que $f$ est concave sur $I$ si $-f$ est convexe sur $I$.

Si $f$ est deux fois dérivable sur un intervalle $I$ :

Attention : $f''(a)=0$ ne suffit pas pour garantir un point d’inflexion. Il faut vérifier que $f''$ change de signe en $a$.

On considère la fonction $f(x) = x^3 - 3x$, qui possède un point d'inflexion en $x = 0$.

Mode : x₀ : (option) afficher $f''(x₀)$ :

Exercice A. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x$.

Calculez $f'(x)$.
Calculez $f''(x)$.
Étudiez le signe de $f''(x)$ et en déduisez les intervalles de convexité et de concavité de $f$.
Déterminez les points d’inflexion éventuels.

Convexité : exercices interactifs