◆ Axe de symétrie d'une courbe
On veut montrer que \(C_f\) admet la droite d'équation \(x=a\) comme axe de symétrie.
Idée géométrique : pour tout réel \(h\) tel que \(a-h\) et \(a+h\) appartiennent à \(D_f\), les points d'abscisses \(a-h\) et \(a+h\) doivent avoir la même ordonnée.
Montrer que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(a\).
Montrer que \(f(a+h)=f(a-h)\) pour tout réel \(h\) tel que
\(a+h\) et \(a-h\) appartiennent à \(D_f\).
Exemple : démontrer un axe de symétrie
\(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par
\(f(x)=x^2-6x+14\).
\(C_f\) est la courbe représentative de \(f\) dans un repère
orthonormal \((O;\vec{i},\vec{j})\).
Montrer que \(C_f\) admet la droite d'équation \(x=3\) comme
axe de symétrie.
Afficher / masquer la solution
\(D_f=\mathbb{R}\) est évidemment symétrique par rapport à \(3\).
Autrement dit, pour tout réel \(h\), \(3-h\in D_f\) dès que
\(3+h\in D_f\).
Pour tout réel \(h\) tel que \(3+h\in D_f\) :
\(f(3+h)=(3+h)^2-6(3+h)+14\), soit après simplification
\(f(3+h)=h^2+5\).
Pour tout réel \(h\) tel que \(3-h\in D_f\) :
\(f(3-h)=(3-h)^2-6(3-h)+14\), donc \(f(3-h)=h^2+5\).
Par conséquent, \(f(3+h)=f(3-h)\) pour tout réel \(h\) tel que
\(3+h\) et \(3-h\) appartiennent à \(D_f\).
On conclut que la courbe \(C_f\) admet la droite
d'équation \(x=3\) comme axe de symétrie.
◆ Centre de symétrie d'une courbe
Idée géométrique : deux points \(M(a-h;f(a-h))\) et \(N(a+h;f(a+h))\) sont symétriques par rapport à \(A(a;b)\) si \(A\) est le milieu du segment \([MN]\).
Montrer que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(a\).
Montrer que \(A(a;b)\) est le milieu du segment \([MN]\) :
\[
\frac{f(a+h)+f(a-h)}2 = b \quad\text{ou}\quad f(a+h)+f(a-h)=2b.
\]
Exemple : démontrer un centre de symétrie
\(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par
\(f(x)=(x-2)^3+4\).
\(C_f\) est la courbe représentative de \(f\) dans un repère
orthonormal \((O;\vec{i},\vec{j})\).
Montrer que \(C_f\) admet le point \(A(2;4)\) comme centre
de symétrie.
Afficher / masquer la solution
\(D_f=\mathbb{R}\) est évidemment symétrique par rapport à \(2\).
Autrement dit, pour tout réel \(h\), \(2-h\in D_f\) dès que
\(2+h\in D_f\).
Pour tout réel \(h\) tel que \(2+h\in D_f\) :
\(f(2+h)=(2+h-2)^3+4=h^3+4\).
Pour tout réel \(h\) tel que \(2-h\in D_f\) :
\(f(2-h)=(2-h-2)^3+4=-h^3+4\).
On a donc
\(f(2+h)+f(2-h)=h^3+4-h^3+4=8=2\times4\).
Pour tout réel \(h\) tel que \(2+h\) et \(2-h\) appartiennent à
\(D_f\), \(f(2+h)+f(2-h)=2\times4=2b\).
On conclut que la courbe \(C_f\) admet le point \(A(2;4)\) comme
centre de symétrie.