La fonction logarithme népérien ln

Terminale · Analyse · Calculs avec e et ln

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📌 Fiche de cours interactive

Objectifs de cette page

  • Comprendre d'où vient la fonction logarithme népérien.
  • Retenir les principales propriétés de ln.
  • S'entraîner avec des vrai/faux et un exercice interactif.
Programme de Terminale
Pré-requis : puissances, équations simples, fonctions.

📚 Bref aspect historique de la fonction logarithme népérien

Vers la fin du XVIe siècle l’astronomie se développe considérablement et l’étude du mouvement des planètes conduit à des calculs longs et fastidieux. Au même moment les banquiers sont eux aussi confrontés à des calculs très compliqués d’intérêts composés.

Les mathématiciens cherchent alors des méthodes permettant de simplifier ces calculs. Ils donneront ainsi naissance au logarithme dont l’avantage est de transformer des multiplications en additions beaucoup plus simples.

Repères historiques
  • 1614 : l’Écossais John Napier (Néper) élabore sa théorie des logarithmes et publie la première table.
  • 1615 : l’Anglais Henry Briggs construit une table des logarithmes décimaux (base 10).
  • 1620 : Edmund Gunter invente la règle à calcul grâce à la théorie des logarithmes.
  • 1647 : Grégoire de Saint‑Vincent étudie une primitive de \(1/x\) avec \(F(1)=0\), ancêtre de la fonction ln.
  • 1668 : Mercator améliore le calcul numérique des logarithmes grâce à la série :

Pour \(x \in ]-1 ; 1[\) :
\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + \cdots \]

  • 1737 : Euler démontre l’irrationalité du nombre \(e\) et montre son rôle fondamental.
Base \(e\) et fonction ln

La constante \(e \approx 2{,}71828\) apparaît naturellement lorsqu’on étudie la croissance continue, les limites de suites du type \((1 + 1/n)^n\), ou encore la dérivation de la fonction exponentielle.

Le logarithme népérien \(\ln(x)\) est défini comme le logarithme en base \(e\). C’est la fonction réciproque de la fonction exponentielle \(\exp(x) = e^x\), définie pour tout réel \(x\) et strictement croissante.

🧰 Propriétés utiles de ln

À connaître absolument pour les exercices de Terminale.

Domaine et valeurs simples
Domaine : \(\ln(x)\) est définie pour \(x > 0\).
Valeurs de référence : \(\ln(1) = 0\) et \(\ln(e) = 1\).
Propriétés algébriques
\(\ln(a\times b) = \ln(a) + \ln(b)\) pour \(a > 0\) et \(b > 0\).
\(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)\) pour \(a > 0\) et \(b > 0\).
\(\ln(a^n) = n\ln(a)\) pour \(a > 0\) et \(n\in\mathbb{R}\).
Lien avec l’exponentielle
\(\exp(\ln(x)) = x\) pour tout \(x > 0\).
\(\ln(e^x) = x\) pour tout réel \(x\).
Exemple de calcul

Exemple : simplifier \(\ln(e^3 \times e^5)\).

\[ \ln(e^3 \times e^5) = \ln(e^{3+5}) = \ln(e^8) = 8 \]

On utilise la propriété \(e^a \times e^b = e^{a+b}\) puis l’égalité \(\ln(e^x) = x\).

🎯 Exercice interactif : simplifier avec ln et e

On te propose une expression et tu dois donner un résultat simplifié (souvent un nombre réel).

Expression à simplifier
\(\ln(e^3 \times e^5)\)
Rappels pour t'aider
  • Simplifie d’abord les puissances, produits et quotients.
  • Utilise \(\ln(e^x) = x\) et \(\exp(\ln(x)) = x\).
  • Les réponses attendues au final sont des nombres (−2, 0, 5, 12, …).
  • Les espaces ne comptent pas pour la vérification.

✅ Vrai / Faux autour de ln

Clique sur Vrai ou Faux, puis vérifie immédiatement ta réponse.

Les énoncés portent sur le domaine de définition, les calculs simples et les propriétés de ln.