Quand les maths
décrivent la nature
Pourquoi la population de lièvres monte et descend-elle en cycles réguliers ? Le modèle Lotka-Volterra répond à cette question avec des outils mathématiques que tu connais déjà.
L'observation de la nature
Dans la forêt canadienne, les biologistes ont observé quelque chose de surprenant : les populations de lièvres et de lynx oscillent en cycles d'environ 10 ans. Quand il y a beaucoup de lièvres, les lynx prospèrent. Puis, trop de lynx font chuter les lièvres, et les lynx meurent de faim. Le cycle recommence.
Les proies (les lièvres)
Laissés seuls, ils se reproduisent et leur population augmente naturellement. Mais chaque rencontre avec un lynx est fatale.
Les prédateurs (les lynx)
Sans nourriture, ils meurent de faim et leur population diminue. Chaque lièvre mangé leur permet de survivre et de se reproduire.
L'idée clé : le nombre de rencontres entre proies et prédateurs est proportionnel au produit \(L \times P\). Si on double le nombre de lièvres et celui des lynx, il y a 4 fois plus de rencontres. C'est ce terme qui crée les oscillations.
Le modèle discret — Les Suites
On imagine que la nature évolue « année par année ». On note \( L_n \) le nombre de lièvres et \( P_n \) le nombre de prédateurs à l'année \(n\). Comment passe-t-on d'une année à la suivante ?
Les lièvres seuls : une suite géométrique
Sans prédateurs, si chaque lièvre donne naissance en moyenne à \(a\) nouveaux lièvres par an, la population se multiplie par un coefficient constant : c'est une suite géométrique.
Par exemple avec \(a = 0{,}6\) : chaque année, il y a 60 % de lièvres supplémentaires.
Les lièvres se font manger
Le nombre de rencontres « lièvre–lynx » par an est proportionnel à \(L_n \times P_n\). Chaque rencontre fait mourir un lièvre. On soustrait donc \(b \times L_n \times P_n\) de la population.
Si \(b = 0{,}02\) et qu'il y a 50 lynx pour 100 lièvres, les rencontres coûtent \(0{,}02 \times 100 \times 50 = 100\) lièvres cette année-là.
Les lynx : nourris ou affamés
Sans lièvres, les lynx meurent à un taux \(c\). Mais chaque rencontre leur procure de la nourriture et aide leur reproduction (taux \(d\)).
Le système complet (Première)
Suites couplées — d'une année à la suivante
Naissances des lièvres
Terme positif : les lièvres se reproduisent naturellement. Plus il y en a, plus il y a de naissances.
Lièvres mangés
Terme négatif : chaque rencontre avec un lynx tue un lièvre. Ce terme augmente si les deux populations sont grandes simultanément.
Morts des lynx
Terme négatif : sans nourriture, les lynx meurent de faim ou de vieillesse. La population décline naturellement.
Lynx nourris = lynx nés
Terme positif : chaque repas permet aux lynx de se reproduire. Ce terme relie directement les deux espèces.
Le modèle continu — Équations différentielles
Dans la réalité, les animaux naissent et meurent à chaque instant, pas seulement le 1er janvier. Au lieu de décrire l'évolution année par année, on décrit la vitesse instantanée d'évolution : c'est la dérivée.
Rappel : si \(L(t)\) est le nombre de lièvres à l'instant \(t\), alors \(L'(t)\) est la vitesse à laquelle cette population change. Si \(L'(t) > 0\), la population croît ; si \(L'(t) < 0\), elle décroît.
Du discret au continu : même logique
On reprend exactement la même logique que pour les suites, mais on l'écrit « à chaque instant ». Au lieu d'écrire « la population à l'année suivante = … », on écrit « la vitesse de variation de la population = … ».
La formule \(L_{n+1} = L_n + a\times L_n - b\times L_n\times P_n\) devient :
« la vitesse de variation de \(L\) vaut \(a\times L - b\times L\times P\) », ce qui s'écrit \(L'=a\times L - b\times L\times P\).
Ce que \(y' = ay\) signifie physiquement
Vous connaissez déjà l'équation \(y' = ay\), dont les solutions sont les exponentielles \(y(t) = y_0 e^{at}\). Ici, le modèle est plus riche : la vitesse de variation dépend des deux populations en même temps, d'où le terme croisé \(L \times P\).
Le système de Lotka-Volterra (Terminale)
Équations différentielles couplées
Pourquoi y a-t-il des cycles ? Quand \(L\) est grand, \(L'\) est d'abord positif (les lièvres prospèrent), mais le terme \(b\times L\times P\) devient dominant et \(L'\) devient négatif : les lièvres chutent. Les lynx, privés de nourriture, chutent à leur tour (\(c\times P\) domine). Moins de lynx → les lièvres repartent à la hausse. Et ainsi de suite, indéfiniment.
Suites vs Équations différentielles
| Point de vue | Suites (Première) | Équations différentielles (Terminale) |
|---|---|---|
| Échelle de temps | Année par année (discret) | À chaque instant (continu) |
| Outil mathématique | \(L_{n+1} = \ldots\) | \(L'(t) = \ldots\) |
| Résolution | Calcul numérique case par case | Formules analytiques ou méthode numérique d'Euler |
Simulation interactive
Modifie les paramètres et observe comment les populations évoluent en temps réel. Le graphique utilise la méthode d'Euler pour résoudre numériquement les équations différentielles de Lotka-Volterra.
Paramètres fixes : \(b = 0{,}02\) (prédation) · \(d = 0{,}01\) (bénéfice des repas pour les lynx)