Astuces, méthodes et exemples pour maîtriser la trigonométrie en Terminale.
Il n'est pas nécessaire d'apprendre par cœur les primitives et dérivées de \( \cos(x) \) et \( \sin(x) \). Le cercle trigonométrique est votre meilleur allié !
En suivant le cercle dans le sens indirect :
\( (\sin x)' = \cos x \)
\( (\cos x)' = -\sin x \)
Mais aussi :
\( (-\sin x)' = -\cos x \)
\( (-\cos x)' = \sin x \)
En suivant le cercle dans le sens direct (ou Positif dans Positif on retrouve le P de Primitive):
\( \int \cos x \, dx = \sin x + C \) où \(C\) est une constante réelle.
\( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \) où \(C\) est une constante réelle.
En Terminale, vous devez savoir dériver et intégrer des fonctions de la forme \( \cos(ax+b) \) ou \( \sin(ax+b) \), où \( a \) et \( b \) sont des réels (\( a \neq 0 \)).
On multiplie par la dérivée de l'intérieur de la parenthèse (\( a \)) :
\( \left[ \sin(ax+b) \right]' = a \cos(ax+b) \)
\( \left[ \cos(ax+b) \right]' = -a \sin(ax+b) \)
On divise par \( a\neq 0 \) pour compenser la règle de dérivation (\( C \) est une constante réelle) :
\( \int \sin(ax+b) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C \)
\( \int \cos(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + C \)
Soit \( f(x) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \).
Soit \( g(x) = \cos(10t) \).
Si les développements en séries des fonctions trigonométriques étaient déjà connus d'Isaac Newton et Roger Cotes, c'est au mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) que l'on doit le traitement analytique de ces fonctions.
Dans son ouvrage majeur Introductio in analysin infinitorum (1748), Euler a été le premier à considérer les fonctions trigonométriques comme de véritables fonctions analytiques et non plus comme de simples longueurs géométriques dans un cercle. C'est également à lui que nous devons la standardisation des abréviations sin, cos et tan que vous utilisez en cours de mathématiques.