Mathématiques · Terminale STMG

Chapitre 8

Dérivation
Sens de variation

Nombre dérivé · Tangente · Fonctions de référence · Variations · Extremums · Python

Chapitre 8 – DérivationPlan

Plan du chapitre

I

Fonction dérivée
A. Nombre dérivé et tangente · B. Fonctions de référence · C. Somme et produit par constante

II

Sens de variation et dérivée
A. Lien entre le signe de $f'$ et les variations de $f$ · B. Dérivée de degré 2

III

Extremums d'une fonction
A. Définitions · B. Extremum local et dérivée

IV

Application en Python

Chapitre 8Section I

I — Fonction dérivée

A

Nombre dérivé et tangente

B

Fonctions dérivées des fonctions de référence

C

Dérivée d'une somme et d'un produit par une constante

I.A · Nombre dérivé et tangenteDéfinition 1

Nombre dérivé

Définition 1

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$.

Lorsque le taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers une limite finie quand $h$ tend vers $0$, on dit que $f$ est dérivable en $a$.

Cette limite est appelée nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$.

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

I.A · Nombre dérivé et tangentePropriété 1

Équation de la tangente

Propriété 1 — Équation de la tangente

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, dérivable en $a \in I$.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation :

$$\boxed{y = f'(a)(x-a)+f(a)}$$

Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur (la pente) de cette tangente.

I.A · Nombre dérivé et tangenteRemarque 1

Contextes d'application

Remarque 1

Contextes d'application :

Physique : dans un mouvement rectiligne, si $x(t)$ désigne la position à l'instant $t$, le nombre dérivé $x'(t_0)$ représente la vitesse instantanée à l'instant $t_0$.
Économie/Gestion : si $C(q)$ est le coût de production de $q$ unités, alors $C'(q)$ est le coût marginal — il approche le coût de production d'une unité supplémentaire.

I.A · Nombre dérivé et tangenteExemple 1

Exemple 1

Une entreprise de fabrication de tee-shirts a une fonction de coût $C(q) = 2q^2 - 40q + 500$ (en euros), où $q$ est la quantité produite (en centaines).

Calculer $C'(10)$. Interpréter.
Écrire l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_C$ au point d'abscisse $10$.

I.A · Nombre dérivé et tangenteCorrection Exemple 1

Correction — Exemple 1

✓ a) Calcul de $C'(10)$ par taux d'accroissement

On calcule le taux d'accroissement de $C$ entre $10$ et $10+h$ :

$\tau_{(10\,;\,10+h)} = \dfrac{C(10+h)-C(10)}{h}$

Calculons d'abord $C(10+h)$ :

$C(10+h) = 2(10+h)^2 - 40(10+h) + 500$

$\phantom{C(10+h)} = 2(100+20h+h^2) - 400 - 40h + 500$

$\phantom{C(10+h)} = 200+40h+2h^2 - 400 - 40h + 500$

$C(10+h) = 300 + 2h^2$

Et $C(10) = 2\times 100 - 40\times 10 + 500 = 300$.

Donc $\tau_{(10\,;\,10+h)} = \dfrac{(300+2h^2)-300}{h} = \dfrac{2h^2}{h} = 2h$

I.A · Nombre dérivé et tangenteCorrection Exemple 1

Correction — Exemple 1

✓ a) Calcul de $C'(10)$ — limite du taux d'accroissement

On a obtenu $\tau_{(10\,;\,10+h)} = 2h$, donc :

$C'(10) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\,\tau_{(10\,;\,10+h)} = \lim_{h\to 0}\, 2h$

$$C'(10) = 0$$

Interprétation : en $q=10$ (centaines de tee-shirts), le coût marginal est nul ; produire une centaine supplémentaire n'engendre aucun coût additionnel instantané. On se trouve au niveau d'un extremum de la fonction coût.

Autrement dit, lorsque l'entreprise a fabriqué $1000$ tee-shirts ($10$ centaines de tee-shirts), en fabriquer $100$ de plus ($1$ centaine) ne lui coûte pas plus cher.

I.A · Nombre dérivé et tangenteCorrection Exemple 1

Correction — Exemple 1

✓ b) Équation de la tangente en $a=10$

$C(10) = 300$ (calculé ci-dessus).

Équation : $y = C'(10)(x-10)+C(10)\iff y = 0\times(x-10)+300$.

$$y = 300$$

La tangente est horizontale au point d'abscisse $10$.

I.B · Fonctions de référencePropriété 2

Fonctions dérivées des fonctions de référence

Propriété 2

Fonction $f$	$f$ dérivable sur	Dérivée $f'$
$f(x)=k \quad (k\in\mathbb{R})$	$\mathbb{R}$	$f'(x)=0$
$f(x)=x$	$\mathbb{R}$	$f'(x)=1$
$f(x)=x^2$	$\mathbb{R}$	$f'(x)=2x$
$f(x)=x^3$	$\mathbb{R}$	$f'(x)=3x^2$

I.C · Somme et produit par constantePropriété 3

Dérivée d'une somme et d'un produit par une constante

Propriété 3

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ un réel.

Somme : $(u+v)' = u'+v'$
Produit par une constante : $(k\,u)' = k\,u'$

En combinant ces deux règles, la dérivée d'un polynôme s'obtient terme à terme.

I.C · Somme et produit par constanteExemple 2

Exemple 2

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$ :

$f(x)=3x^2-5x+2$
$g(x)=-2x^3+4x^2-x+7$

$h(x)=x^3-9x^2+27x-22$
$k(x)=\dfrac{1}{3}x^3-3x+1$

I.C · Somme et produit par constanteCorrection Exemple 2

Correction — Exemple 2

✓ a) $f(x)=3x^2-5x+2$

$f'(x)=3\times 2x - 5\times 1 + 0$

$$f'(x)=6x-5$$

✓ b) $g(x)=-2x^3+4x^2-x+7$

$g'(x)=-2\times 3x^2+4\times 2x - 1 + 0$

$$g'(x)=-6x^2+8x-1$$

✓ c) $h(x)=x^3-9x^2+27x-22$

$h'(x)=3x^2-18x+27$

$$h'(x)=3x^2-18x+27$$

✓ d) $k(x)=\dfrac{1}{3}x^3-3x+1$

$k'(x)=\dfrac{1}{3}\times 3x^2 - 3 + 0$

$$k'(x)=x^2-3$$

I.C · Somme et produit par constanteExemple 3

Exemple 3

Exemple 3 — Contexte économique

Le bénéfice journalier (en euros) d'une boulangerie en fonction du prix de vente $x$ (en euros) d'une baguette est :

$$B(x) = -200x^2 + 600x - 150 \quad \text{sur } [0{,}5\;;\;2{,}5]$$

Calculer $B'(x)$.

I.C · Somme et produit par constanteCorrection Exemple 3

Correction — Exemple 3

✓ Calcul de $B'(x)$

$B(x)=-200x^2+600x-150$

Par la Propriété 3 (produit par constante) et terme à terme :

$B'(x) = -200\times 2x + 600\times 1 - 0$

$$B'(x) = -400x + 600$$

Chapitre 8Section II

II — Sens de variation et dérivée

A

Lien entre le signe de $f'$ et les variations de $f$

B

Étude du signe de la dérivée — cas d'une dérivée de degré 2

II.A · Signe de $f'$ et variationsThéorème 1

Lien entre le signe de $f'$ et les variations de $f$

Théorème 1

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

$f$ est croissante sur $I \;\Longleftrightarrow\; f'(x)\geq 0$ pour tout $x\in I$.
$f$ est décroissante sur $I \;\Longleftrightarrow\; f'(x)\leq 0$ pour tout $x\in I$.
$f$ est constante sur $I \;\Longleftrightarrow\; f'(x)=0$ pour tout $x\in I$.

Cas strictement monotone :

Si $f'(x)\gt 0$ sur $I$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f'(x)\lt 0$ sur $I$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

II.A · Signe de $f'$ et variationsExemple 4 — Lecture graphique

Exemple 4 — Lecture graphique, illustration du théorème

Exemple 4

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $[0\,;\,4]$ dont la courbe est représentée ci-contre.

Sur $[0\,;\,1]$

Sur $[1\,;\,3]$

Sur $[3\,;\,4]$

$f$ est strictement décroissante

↕

$f'$ est négative

$f$ est constante

↕

$f'$ est nulle

$f$ est strictement croissante

↕

$f'$ est positive

II.A · Signe de $f'$ et variationsExemple 5

Exemple 5

Soit $f(x)=5x^2-20x+5$, définie sur $\mathbb{R}$.

Calculer $f'(x)$.
Dresser le tableau de signes de $f'$ et le tableau des variations de $f$.

II.A · Signe de $f'$ et variationsCorrection Exemple 5

Correction — Exemple 5

✓ a) Calcul de $f'(x)$

$$f'(x)=10x-20$$

✓ b) Tableau de signes et de variations

$f'(x)=0 \Leftrightarrow 10x-20=0 \Leftrightarrow x=2$. Sur $]-\infty\,;\,2[$ : $f'(x)<0$ ; sur $]2\,;\,+\infty[$ : $f'(x)>0$.

$f(2)=5\times 4 - 20\times 2 + 5 = 20-40+5=-15$.

$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,2]$ et strictement croissante sur $[2\,;\,+\infty[$. Minimum $f(2)=-15$.

II.B · Dérivée de degré 2Remarque 2

Étude du signe de la dérivée — cas d'une dérivée de degré 2

Remarque 2

Pour une fonction polynôme de degré 3, la dérivée est de degré 2 : $f'(x)=ax^2+bx+c$.

Lorsque $f'$ admet deux racines réelles $x_1\leq x_2$, on peut écrire $f'(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Le signe de $f'(x)$ se lit sur l'allure de la parabole représentant $f'$ :

Cas a > 0 (parabole vers le haut)

Cas a < 0 (parabole vers le bas)

II.B · Dérivée de degré 2Exemple 6

Exemple 6

Soit $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$, définie sur $\mathbb{R}$.

Calculer $f'(x)$.
Vérifier que $f'(x)=3(x+1)(x-3)$ en développant la forme factorisée.
Dresser le tableau de signes de $f'$ en utilisant l'allure de la parabole ($a=3>0$).
En déduire le tableau des variations de $f$.

II.B · Dérivée de degré 2Correction Exemple 6

Correction — Exemple 6

✓ a) $f'(x)$

$f'(x)=3x^2-6x-9$

✓ b) Vérification

$3(x+1)(x-3)=3(x^2-3x+x-3)=3(x^2-2x-3)=3x^2-6x-9$ ✓

✓ c) et d) Tableaux — $a=3>0$, racines $x_1=-1$, $x_2=3$

$f(-1)=-1-3+9+5=10$ (max local) · $f(3)=27-27-27+5=-22$ (min local)

II.B · Dérivée de degré 2Exemple 7

Exemple 7

Exemple 7 — Contexte économique

Le chiffre d'affaires mensuel (en milliers d'euros) d'un magasin en fonction du budget publicitaire $x$ (en milliers d'euros) est :

$$R(x)=-x^3+6x^2+15 \quad \text{sur } [0\,;\,7]$$

Calculer $R'(x)$ et factoriser $R'(x)$.
Dresser le tableau de signes de $R'$ (utiliser l'allure de la parabole, $a=-3<0$).
En déduire le tableau des variations de $R$, puis déterminer le budget publicitaire optimal.

II.B · Dérivée de degré 2Correction Exemple 7

Correction — Exemple 7

✓ a) $R'(x)$

$R'(x)=-3x^2+12x=-3x(x-4)$

✓ b) Signe de $R'$ — $a=-3<0$, parabole vers le bas, racines $0$ et $4$

Sur $[0\,;\,4]$ : $R'(x)\geq 0$ · Sur $[4\,;\,7]$ : $R'(x)\leq 0$

✓ c) Tableau des variations — budget optimal

$R(0)=15$ · $R(4)=-64+96+15=47$ · $R(7)=-343+294+15=-34$

Budget publicitaire optimal : $x=4$ milliers d'euros, donnant $R(4)=47$ milliers d'euros (maximum sur $[0\,;\,7]$).

II.B · Dérivée de degré 2Exemple 8

Exemple 8

Exemple 8 — Cas particulier (identité remarquable)

Soit $g(x)=x^3-3x+2$ sur $\mathbb{R}$.

Calculer $g'(x)$ et vérifier que $g'(x)=3(x-1)(x+1)$.
Dresser le tableau des variations de $g$.

II.B · Dérivée de degré 2Correction Exemple 8

Correction — Exemple 8

✓ a) $g'(x)$

$g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)\iff g' (x)=3(x^2-1^2)=3(x-1)(x+1)$ ✓

✓ b) Tableau des variations — $a=3>0$, racines $x_1=-1$, $x_2=1$

$g(-1)=-1+3+2=4$ (maximum local) · $g(1)=1-3+2=0$ (minimum local)

Chapitre 8Section III

III — Extremums d'une fonction

A

Définitions

B

Extremum local et dérivée

III.A · DéfinitionsDéfinition 2

Extremums d'une fonction

Définition 2

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

On dit que $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si $f(x)\leq f(a)$ pour tout $x\in I$.
On dit que $f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si $f(x)\geq f(a)$ pour tout $x\in I$.
On appelle extremum de $f$ sur $I$ le maximum ou le minimum de $f$ sur $I$.

III.B · Extremum local et dérivéePropriété 4

Extremum local et dérivée

Propriété 4

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $x_0$ un réel intérieur à $I$.

Si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f(x_0)$ est un extremum local de $f$ :

$f'$ change de $+$ à $-$ en $x_0 \;\Longrightarrow\; f(x_0)$ est un maximum local.
$f'$ change de $-$ à $+$ en $x_0 \;\Longrightarrow\; f(x_0)$ est un minimum local.

Réciproque (admise) : si $f(x_0)$ est un extremum local de $f$, alors $f'(x_0)=0$.

III.B · Extremum local et dérivéeRemarque 3

Attention — $f'(x_0)=0$ ne garantit pas un extremum

Remarque 3

Attention : $f'(x_0)=0$ ne suffit pas à garantir un extremum. Si $f'$ s'annule en $x_0$ sans changer de signe, il n'y a pas d'extremum en $x_0$.

Contre-exemple : $f(x)=x^3-9x^2+27x-22$.

On calcule $f'(x)=3x^2-18x+27=3(x-3)^2\geq 0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

$f'(3)=0$ mais $f'$ ne change pas de signe, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et n'admet pas d'extremum en $x=3$.

III.B · Extremum local et dérivéeMéthode

Méthode — Variations et extremums d'un polynôme de degré 3

Exercice type 1 — Méthode

Pour étudier les variations de $f$ polynôme de degré $\leq 3$ sur un intervalle $I$ :

Calculer $f'(x)$.
Factoriser $f'(x)$ sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ si deux racines distinctes, ou $a(x-x_0)^2$ si racine double.
Utiliser l'allure de la parabole $y=f'(x)$ pour dresser le tableau de signes de $f'$.
En déduire le tableau des variations de $f$, puis calculer les valeurs aux points remarquables.
Conclure sur les extremums (locaux et sur $I$).

III.B · Extremum local et dérivéeExemple 9

Exemple 9

Exemple 9 — Gestion d'un stock

Le coût total de gestion (en euros) est :

$$C(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 20 \quad \text{sur } [0\,;\,5]$$

où $x$ est la quantité commandée (en centaines d'unités).

Calculer $C'(x)$.
On admet que $C'(x)=3(x-1)(x-3)$. Vérifier par développement.
Dresser le tableau des variations de $C$ sur $[0\,;\,5]$.
Déterminer pour quelle quantité le coût est minimal. Quel est ce coût minimal ?

III.B · Extremum local et dérivéeCorrection Exemple 9

Correction — Exemple 9

✓ a) $C'(x)=3x^2-12x+9$

✓ b) Vérification

$3(x-1)(x-3)=3(x^2-3x-x+3)=3(x^2-4x+3)=3x^2-12x+9=C'(x)$ ✓

✓ c) et d) Tableau des variations

$C$ admet un maximum local $C(1)=24$€ en $x=1$.

Sur $[0\,;\,5]$, le minimum est $C(0)=C(3)=20$€ et le maximum est $C(5)=40$€.

Le coût est minimal pour $x=0$ et $x=3$ centaines d'unités commandées, avec $C(0)=C(3)=20$€.

III.B · Extremum local et dérivéeExemple 10

Exemple 10 — Coût marginal et variations

Une entreprise produit des sacs en cuir. Le coût total de production (en euros) de $x$ sacs (par semaine, $x\in[0\,;\,9]$) est modélisé par : $C(x)=x^3-12x^2+36x+100$

Définition 3 — Coût marginal

Le coût marginal est le coût supplémentaire engendré par la production d'une unité supplémentaire. En pratique, il est approché par la dérivée $C'(x)$ :

$C'(x)>0$ : produire une unité de plus augmente le coût total.
$C'(x)<0$ : produire une unité de plus diminue le coût total (gain d'efficacité, économies d'échelle).
$C'(x)=0$ : on atteint un seuil — le coût ne varie plus instantanément.

Calculer $C'(x)$. On admet que $C'(x)=3(x-2)(x-6)$. Vérifier par développement.
Calculer $C(5)-C(4)$ puis $C'(4)$. Comparer et commenter.
Dresser le tableau des variations de $C$ sur $[0\,;\,9]$.
Pour quelles quantités le coût marginal est-il nul ? Que se passe-t-il pour la fonction coût à ces endroits ?
Calculer $C'(1)$, $C'(4)$ et $C'(8)$. Interpréter chaque valeur dans le contexte.

III.B · Extremum local et dérivéeCorrection Exemple 10 (1/2)

Correction — Exemple 10

✓ a) $C'(x)=3x^2-24x+36$
Pour tout réel $x$ on a : $3(x-2)(x-6)=3(x^2-8x+12)=3x^2-24x+36$ ✓
Ainsi on a vérifié que pour tout réel $x$ : $C'(x)= 3(x-2)(x-6)$.

✓ b) Question b) — comparaison $C(5)-C(4)$ et $C'(4)$

$C(5)-C(4)=(125-300+180+100)-(64-192+144+100)=105-116=\mathbf{-11}$€

$C'(4)=3\times 16-24\times 4+36=48-96+36=\mathbf{-12}$€

Les deux valeurs sont très proches (écart de moins de 10 %) et ont le même signe négatif : produire le 5^e sac fait baisser le coût total d'environ 11 à 12€.

$C'(4)$ est une bonne approximation du coût réel de la prochaine unité.

III.B · Extremum local et dérivéeCorrection Exemple 10 (2/2)

Correction — Exemple 10

✓ c) Tableau des variations

✓ d) et e) Interprétation

Sur $[0\,;\,2]$ : $C'(x)>0$, chaque sac supplémentaire coûte de plus en plus cher (faibles volumes, démarrage). Sur $[2\,;\,6]$ : $C'(x)<0$, l'entreprise réalise des économies d'échelle. En $x=6$ : $C'(6)=0$ et $C(6)=100$€ est un minimum local — quantité la plus efficace. Sur $[6\,;\,9]$ : $C'(x)>0$, coûts en hausse (surcharge, heures supplémentaires…).

$C'(1)=3-24+36=15>0$ : produire le 2^e sac coûte environ 15€. · $C'(4)=-12<0$ : produire le 5^e sac économise environ 12€. · $C'(8)=3\times64-192+36=36>0$ : reprend à la hausse.

III.B · Extremum local et dérivéeExemple 11

Exemple 11 — Coût marginal et variations

Une entreprise produit des sacs en cuir. Le coût total de production (en euros) de $x$ sacs (par semaine, $x\in[0\,;\,8]$) est modélisé par :

$$C(x)=x^3-\dfrac{21}{2}x^2+30x+20$$

Calculer $C'(x)$.
Que représente $C'(5)$ en terme de coût marginal ?
On admet que $C'(x)=3(x-2)(x-5)$. Vérifier par développement.
Dresser le tableau des variations de $C$ sur $[0\,;\,8]$.
Interpréter : pour quelle quantité le coût marginal est-il nul ? Que se passe-t-il pour la fonction coût à cet endroit ?

III.B · Extremum local et dérivéeCorrection Exemple 11 (1/2)

Correction — Exemple 11

✓ a) $C'(x)$

$C'(x)=3x^2-21x+30$

✓ b) Interprétation de $C'(5)$

$C'(5)$ représente le coût marginal en $x=5$ : il approche le coût supplémentaire engendré par la production d'un 6^e sac.

✓ c) Vérification

Pour tout réel $x$ on a : $3(x-2)(x-5)=3(x^2-5x-2x+10)=3(x^2-7x+10)=3x^2-21x+30$ ✓

Ainsi on a vérifié que pour tout réel $x$ : $C'(x)=3(x-2)(x-5)$ ✓

III.B · Extremum local et dérivéeCorrection Exemple 11 (2/2)

Correction — Exemple 11

✓ d) Tableau des variations

✓ e) Interprétation

Le coût marginal est nul en $x=2$ et $x=5$. En $x=2$ : maximum local $C(2)=46$€ (seuil avant économies d'échelle). En $x=5$ : minimum local $C(5)=32{,}5$€, quantité de production la plus efficace.

Chapitre 8Section IV

IV — Application en Python

Recherche numérique du minimum et affichage des valeurs de la dérivée.

IV · PythonExemple 12

Exemple 12 — Recherche numérique du minimum d'un coût

Exemple 12

Recherche numérique du minimum d'un coût.

Reprendre la fonction $C(x)=x^3-6x^2+9x+20$ sur $[0\,;\,5]$ de l'exemple 9. Le script ci-contre recherche le minimum de $C$ par balayage avec un pas de $0{,}01$.

Quel résultat obtient-on ? Est-ce cohérent avec le tableau des variations ?
Modifier la fonction pour rechercher le maximum sur $[0\,;\,5]$.
Tester avec $R(x)=-x^3+6x^2+15$ sur $[0\,;\,7]$ : retrouver le budget publicitaire optimal.

def C(x):
    return x**3 - 6*x**2 + 9*x + 20

def minimum(debut, fin, pas):
    x_min = debut
    val_min = C(debut)
    x = debut
    while x <= fin:
        if C(x) < val_min:
            val_min = C(x)
            x_min = x
        x = x + pas
    return round(x_min, 3), round(val_min, 3)

>>> minimum(0, 5, 0.01)
(3.0, 11.0)

IV · PythonCorrection Exemple 12

Correction — Exemple 12

✓ a) Résultat obtenu

>>> minimum(0, 5, 0.01)
(3.0, 11.0)

On obtient le minimum en $x=3{,}0$ avec $C(3)=11{,}0$. Oui, c'est cohérent avec le tableau des variations : le minimum de $C$ sur $[0\,;\,5]$ est bien atteint en $x=3$, avec $C(3)=11$€.

✓ b) Modifier pour rechercher le maximum

Remplacer if C(x) < val_min par if C(x) > val_min (et renommer en x_max, val_max). On obtient alors (1.0, 23.0).

✓ c) Test avec $R(x)=-x^3+6x^2+15$ sur $[0\,;\,7]$

En adaptant le script pour $R$ (et en cherchant le maximum), on obtient le budget publicitaire optimal $x=4$ milliers d'euros avec $R(4)=47$ milliers d'euros.

IV · PythonExemple 13

Exemple 13 — Affichage des valeurs de la dérivée

Exemple 13

Affichage des valeurs de la dérivée.

Le script ci-contre calcule et affiche le signe de $C'(x)=3x^2-12x+9$ pour des valeurs entières de $x$ sur $[0\,;\,5]$.

Exécuter mentalement ce programme et compléter le tableau de résultats attendus.
Les résultats sont-ils cohérents avec le tableau des variations établi précédemment ?

def derivee_C(x):
    return 3*x**2 - 12*x + 9

for x in range(0, 6):
    d = derivee_C(x)
    if d > 0:
        signe = "positif -> C croissante"
    elif d < 0:
        signe = "negatif -> C decroissante"
    else:
        signe = "nul -> extremum possible"
    print("x =", x, ": C'(x) =", d, "(", signe, ")")

IV · PythonCorrection Exemple 13

Correction — Exemple 13

✓ a) Exécution mentale du programme

x = 0 : C'(x) = 9  ( positif -> C croissante )
x = 1 : C'(x) = 0  ( nul -> extremum possible )
x = 2 : C'(x) = -3 ( negatif -> C decroissante )
x = 3 : C'(x) = 0  ( nul -> extremum possible )
x = 4 : C'(x) = 9  ( positif -> C croissante )
x = 5 : C'(x) = 24 ( positif -> C croissante )

✓ b) Cohérence avec le tableau des variations

Oui, les résultats sont cohérents :

En $x=0$ : $C'(0)=9>0$, $C$ est croissante. ✓
En $x=1$ : $C'(1)=0$, extremum possible (maximum local de $C$). ✓
En $x=2$ : $C'(2)=-3<0$, $C$ est décroissante. ✓
En $x=3$ : $C'(3)=0$, extremum possible (minimum local de $C$). ✓
En $x=4$ et $x=5$ : $C'>0$, $C$ est croissante. ✓