Mathématiques · Première
Chapitre 4
Dérivation
Nombre dérivé et tangente
Taux de variation · Nombre dérivé · Équation de la tangente · Python
Chapitre 4 – DérivationPlan

Plan du chapitre

I
Nombre dérivé
A. Sécante et taux de variation  ·  B. Position limite et tangente
II
Application au langage Python
Chapitre 4Section I

I — Nombre dérivé

A
Sécante à une courbe et taux de variation
B
Position limite et tangente
1. Approche graphique  ·  2. Approche algébrique
I · Nombre dérivéA. Sécante à une courbe et taux de variation

Sécante à une courbe

Rappel : Quel est le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ ?

On a pu observer que lorsque $h$ tend vers zéro, la sécante $(AM)$ semble se rapprocher de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.

Le taux de variation sera le coefficient directeur de la droite sécante bleue.

Sécante $(AM)$ en bleu

Tangente en $A$ en rouge

$h\to0$ : la sécante tend vers la tangente

I.A · Sécante et taux de variationDéfinition 1

Taux de variation (ou taux d'accroissement)

Définition 1 — Taux de variation (ou taux d'accroissement)

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $D$, telle que $a$ et $a+h$ appartiennent à $D$.

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est :

$$\tau(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Remarque 1
  • $\tau(h)$ est aussi le coefficient directeur de la sécante entre $a$ et $a+h$.
  • $\tau(0)$ n'existe pas mais on s'intéresse à ce que devient ce rapport quand $h$ se rapproche de $0$.
I.A · Taux de variationExemple 1

Exemple 1

Exemple 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.

  1. Soit $h$ un réel non nul.
    Exprimer en fonction de $h$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $1$ et $1+h$.
  2. Soit $h$ un réel non nul.
    Exprimer en fonction de $h$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $2$ et $2+h$.
I.A · Taux de variationCorrection Exemple 1

Correction — Exemple 1

✓ Q1 — Taux de variation de $f(x)=x^2$ entre $1$ et $1+h$

$\tau(h)=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{(1+h)^2-1^2}{h}=\dfrac{1+2h+h^2-1}{h}=\dfrac{h(2+h)}{h}$

$\tau(h)=2+h$
✓ Q2 — Taux de variation de $f(x)=x^2$ entre $2$ et $2+h$

$\tau(h)=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{(2+h)^2-4}{h}=\dfrac{4+4h+h^2-4}{h}=\dfrac{h(4+h)}{h}$

$\tau(h)=4+h$
I.A · Taux de variationExemple 2

Exemple 2

Exemple 2

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.

  1. Soit $h$ un réel positif non nul.
    Exprimer en fonction de $h$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $0$ et $0+h$.
  2. Soit $h$ un réel non nul (et $h\geq-1$).
    Exprimer en fonction de $h$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $1$ et $1+h$.
I.A · Taux de variationCorrection Exemple 2

Correction — Exemple 2

✓ Q1 — Taux entre $0$ et $h$ ($h>0$)

$\tau(h)=\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{\sqrt{h}-0}{h}=\dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$

✓ Q2 — Taux entre $1$ et $1+h$

$\tau(h)=\dfrac{\sqrt{1+h}-1}{h}$

On rationalise (multiplication par $\dfrac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1}$) :

$\tau(h)=\dfrac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h(\sqrt{1+h}+1)}=\dfrac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)}=\dfrac{1}{\sqrt{1+h}+1}$

I · Nombre dérivéB. Position limite et tangente

I.B — Position limite et tangente

1
Approche graphique du nombre dérivé
2
Approche algébrique du nombre dérivé
I.B.1 · Approche graphiqueExemple 3

Exemple 3 — Approche graphique du nombre dérivé

On a représenté ci-dessous une fonction $f$ et quelques-unes de ses tangentes.

  1. Quelle est l'abscisse du point $A$ ?
  2. Quel est le point de $\mathcal{C}_f$ ayant pour abscisse $-3$ ?
  3. Quel est le point de $\mathcal{C}_f$ ayant pour abscisse $5$ ?
  4. Quel est le nom de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-3$ ? Que vaut son coeff. directeur ?
  5. Quelle est l'abscisse du point où $T_4$ est tangente à $\mathcal{C}_f$ ? Que vaut son coeff. directeur ?
  6. Quel est le nom de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-6$ ? Que vaut son coeff. directeur ?
  7. Quel est le nom de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ ? Que vaut son coeff. directeur ?
  8. On note $f'(a)$ le coeff. directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $a$. Compléter :
    1. $f(-6)=\ldots$ et $f'(-6)=\ldots$
    2. $f(-3)=\ldots$ et $f'(-3)=\ldots$
    3. $f(0)=\ldots$ et $f'(0)=\ldots$
    4. $f(5)=\ldots$ et $f'(5)=\ldots$
-6 -4 -2 2 4 6 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x y A B C D T₁ T₂ T₃ T₄
I.B.1 · Approche graphiqueCorrection Exemple 3

Correction — Exemple 3

✓ Q1–3

$A$ a pour abscisse $\mathbf{-6}$. Le point d'abscisse $-3$ est $\mathbf{B}$. Le point d'abscisse $5$ est $\mathbf{D}$.

✓ Q4–7 — Tangentes et coefficients directeurs

La tangente en $-3$ est $T_2$, horizontale : $f'(-3)=0$.

$T_4$ est tangente en $D(5;0)$ : son coeff. dir. vaut $f'(5)=\tfrac{3}{2}$.

La tangente en $-6$ est $T_1$ : $f'(-6)=4$.

La tangente en $0$ est $T_3$ : $f'(0)=-\tfrac{3}{2}$.

✓ Q8 — Tableau des valeurs

$f(-6)=0$ et $f'(-6)=4$

$f(-3)=6$ et $f'(-3)=0$

$f(0)\approx2{,}81$ et $f'(0)=-\tfrac{3}{2}$

$f(5)=0$ et $f'(5)=\tfrac{3}{2}$

-6-4 -22 468 012 345 678 x y pente 4 pente 0 pente −3/2 pente 3/2 A B C D T₁ T₂ T₃ T₄
I.B.2 · Approche algébriqueExemple 4

Exemple 4 — Approche algébrique du nombre dérivé

Exemple 4

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.

Le programme Python ci-dessous renvoie la valeur arrondie à $10^{-3}$ près du taux de variation pour une valeur de $a$ et $h$ donné :

En console, on obtiendra :

>>> t(2,0.0001)
4.0
def f(x):
    return x**2

def t(a,h):
    tau = (f(a+h)-f(a))/h
    return round(tau,3) #round permet d'arrondir
I.B.2 · Approche algébriqueDéfinition 2 — Nombre dérivé

Nombre dérivé

Lorsque $h$ tend vers zéro, la position limite des sécantes $(AM)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.

Définition 2 — Nombre dérivé

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $D$, telle que $a$ et $a+h$ appartiennent à $D$.

Dire que $f$ est dérivable en $a$ signifie que lorsque $h$ tend vers zéro, $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel $L$.

Ce nombre réel $L$, est appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$ et on le note $f'(a)$.

On écrit :

$$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$$
I.B · Nombre dérivéPropriété 1

Propriété 1 (très importante)

Propriété 1 (très importante)
$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
I.B · Nombre dérivéExemple 5

Exemple 5

Exemple 5

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.

  1. Calculer $f'(1)$ et $f'(2)$.
  2. Vérifier que votre résultat est conforme à ce qui a été obtenu sur la calculatrice en sélectionnant $\mathit{Calcul\to Rechercher\to Tangente}$.
I.B · Nombre dérivéCorrection Exemple 5

Correction — Exemple 5

✓ Q1 — Calcul de $f'(1)$ et $f'(2)$ pour $f(x)=x^2$

D'après la Correction de l'Exemple 1 :

$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=2+h \xrightarrow[h\to0]{} 2 \quad\Rightarrow\quad f'(1)=2$

$\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=4+h \xrightarrow[h\to0]{} 4 \quad\Rightarrow\quad f'(2)=4$

Sur la calculatrice : $x=2$, $f(x)=4$, $f'(x)=4$, $y=a\times x+b$ avec $a=4$ et $b=-4$. ✓

I.B · Nombre dérivéExemple 6

Exemple 6

Exemple 6

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.

  1. Soit $h$ un réel positif non nul. Rappeler le taux de variation de la fonction $f$ entre $0$ et $0+h$.
  2. Montrer que la fonction $f$ n'est pas dérivable en $0$.
I.B · Nombre dérivéCorrection Exemple 6

Correction — Exemple 6

✓ Q1 — Taux de variation de $\sqrt{x}$ entre $0$ et $h$

D'après l'Exemple 2 Q1 : $\tau(h)=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$

✓ Q2 — $f$ n'est pas dérivable en $0$

Pour que $f$ soit dérivable en $0$, il faudrait que $\tau(h)=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ tende vers un nombre réel fini quand $h\to0^+$.

Or $\dfrac{1}{\sqrt{h}}\to+\infty$ quand $h\to0^+$ : il n'y a pas de limite finie.

Donc $f$ n'est pas dérivable en $0$. Géométriquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente verticale (l'axe des ordonnées) au point $(0\,;\,0)$.

I.B · Nombre dérivéPropriété 2 — Équation réduite de la tangente

Équation réduite de la tangente

Propriété 2 — Équation réduite de la tangente

$f$ est une fonction définie sur un intervalle $D$ et dérivable en $a\in D$.

L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est :

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
Démonstration

Voir diapositive suivante. $\square$

I.B · Équation de la tangenteDémonstration — méthode 1

Démonstration de la Propriété 2 — méthode 1

Démonstration 1 — $f'(a)$ est le coefficient directeur

D'après la Propriété 1, la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$.

Son équation réduite est donc de la forme $y = f'(a)\times x + p$, où $p$ est à déterminer.

Le point $A\!\left(a\,;\,f(a)\right)$ appartient à la courbe, donc aussi à la tangente :

$$A\!\left(a\,;\,f(a)\right) \in T \;\iff\; y_A = f'(a)\times x_A + p \;\iff\; f(a) = f'(a)\times a + p \;\iff\; p = f(a) - a\times f'(a)$$

En substituant $p$ dans l'équation $y = f'(a)\times x + p\quad$ on obtient l'équation de la tangente :

$$y = f'(a)\times x + f(a) - a\times f'(a) \iff y = f'(a)(x-a)+f(a) \qquad\square$$
I.B · Équation de la tangenteDémonstration — méthode 2

Démonstration de la Propriété 2 — méthode 2

Démonstration 2 — Vecteur directeur et colinéarité

La pente de la tangente vaut $f'(a) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f'(a)}{1}$, donc un vecteur directeur de la tangente est :

$$\vec{u}\begin{pmatrix}1\\f'(a)\end{pmatrix}$$

Soit $M(x\,;\,y)$ un point quelconque du plan, et $A(a\,;\,f(a))$ le point de tangence. Alors :

$$\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}x-a\\y-f(a)\end{pmatrix}$$

$M\in T \;\Longleftrightarrow\; \overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires $\;\Longleftrightarrow\; 1\times\bigl(y-f(a)\bigr) - f'(a)\times(x-a) = 0$

$$\Longleftrightarrow\; y - f(a) = f'(a)(x-a) \;\Longleftrightarrow\; y = f'(a)(x-a)+f(a) \qquad\square$$
I.B · Équation de la tangenteExemple 7

Exemple 7

Exemple 7

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.

  1. Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $2$.
  2. Vérifier que votre résultat est conforme à ce qui est obtenu sur la calculatrice en sélectionnant $\mathit{Calcul\to Rechercher\to Tangente}$.
I.B · Équation de la tangenteCorrection Exemple 7

Correction — Exemple 7

✓ Équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $x=2$

$f(2)=4$ et $f'(2)=4$ (calculé à l'Exemple 5).

D'après la Propriété 2 :

$y=f'(2)(x-2)+f(2)=4(x-2)+4=4x-8+4$

$y=4x-4$

Vérification : $y=4(2)-4=4=f(2)$ ✓. Sur la calculatrice : $a=4$, $b=-4$. ✓

Chapitre 4Section II

II — Application au langage Python

Génération de la liste des taux de variation pour $h$ décroissant vers $0$.
II · Application PythonExemple 8

Exemple 8

Exemple 8

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.

Le programme Python ci-dessous renvoie la liste des coefficients directeurs des sécantes au point d'abscisse $a$ pour $h$ variant de $1$ à $0{,}1$ avec un pas de $0{,}1$ :

En console, on obtiendra pour le point d'abscisse $a=2$ :

>>> liste(a = 2,h = 1)
[5.0, 4.9, 4.8, 4.7, 4.6, 4.5, 4.4, 4.3, 4.2, 4.1]

On observe que la liste converge vers $4=f'(2)$.

def f(x):
    return x**2

def t(a,h):
    tau = (f(a+h)-f(a))/h
    return round(tau,3)

def liste(a,h):
    l = []
    for i in range(0,10):
        l = l + [t(a,h)]
        h = h - 0.1
    return l