Première Spécialité — Mathématiques
Fonction
Exponentielle
Chapitre 10
$e^x$  ·  $\exp'= \exp$  ·  $e \approx 2{,}718$
Fonction exponentielle

Plan du chapitre

1Définition et premières propriétés
2Notation $e$ et propriétés algébriques
3Étude de la fonction exponentielle
4Application au langage Python
Définition

La fonction exponentielle

Propriété et définition

Il existe une unique fonction $f$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, telle que :

$f' = f \qquad \text{et} \qquad f(0) = 1$

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée $\exp$.

Remarque

L'existence est admise (conjecturée par la méthode d'Euler).

L'unicité se démontre. Sa démonstration figure sur la diapositive suivante.

Démonstration — Unicité

Démonstration guidée — Unicité de $\exp$

Supposons que $f$ et $g$ soient deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ vérifiant :

$f(0)=1$, $f'=f$  et  $g(0)=1$, $g'=g$

On pose $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Questions
  1. Vérifier que $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $h'(x)$ pour tout réel $x$.
  2. Calculer $h(0)$.
  3. En déduire que pour tout réel $x$ : $h(x) = 1$.
  4. En déduire que $f = g$.
Démonstration — Unicité

Démonstration — Unicité de $\exp$

Démonstration

On pose $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.

  1. $g$ ne s'annule pas (on le montrera). Par la règle du quotient : $$h'(x) = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{f(x)\,g(x) - f(x)\,g(x)}{[g(x)]^2} = 0$$
  2. $h'(x) = 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $h$ est constante.
  3. $h$ est constante et $h(0) = \dfrac{f(0)}{g(0)} = \dfrac{1}{1} = 1$, donc $h(x) = 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
  4. $\dfrac{f(x)}{g(x)} = 1 \Longrightarrow f(x) = g(x)$ pour tout $x$ : les deux fonctions sont égales d'où l'unicité.
Propriétés

Première propriété fondamentale

Propriété

Pour tout réel $x$ :

$\exp(x) \times \exp(-x) = 1$

Corollaire

Pour tout réel $x$, $\quad\exp(x) \neq 0$.

Démonstration

Démonstration guidée — $\exp(x)\times\exp(-x)=1$

On pose pour tout réel $x$ : $g(x) = \exp(x)\times\exp(-x)$.

Questions
  1. Montrer que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
  2. Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ et montrer que $g'$ est la fonction nulle.
  3. Calculer $g(0)$.
  4. En déduire que $\exp(x)\times\exp(-x)=1$ pour tout réel $x$, et conclure que $\exp$ ne s'annule pas.
Démonstration

Démonstration — $\exp(x)\times\exp(-x) = 1$

Démonstration

On pose $g(x) = \exp(x)\times\exp(-x)$.

  1. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables.

  2. On rappelle la règle de la dérivée de $h(x)=f({\color{red}-1}\times x)$ avec $h'(x)={\color{red}-1}\times f'({\color{red}-1}\times x)$.

    Par la règle du produit : $$g'(x) = \exp'(x)\times\exp(-x) + \exp(x)\times(-1)\times\exp(-x) = \exp(x)\exp(-x) - \exp(x)\exp(-x) = 0$$ $g'$ est la fonction nulle : $g$ est constante.
  3. $g(0) = \exp(0)\times\exp(0) = 1\times 1 = 1$.
  4. $g$ est constante et $g(0)=1$, donc $g(x)=1$ pour tout $x$. En particulier on déduit de : $\forall x\in\mathbb{R}\quad\exp(x)\times\exp(-x)=1$ que $\exp(x)\neq 0$ et $\exp(x) = \dfrac{1}{\exp(-x)}$.
Propriétés algébriques

Propriétés algébriques

Propriétés

Pour tous réels $x$ et $y$, pour tout entier relatif $n$ :

$\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$

$\exp(x+y) = \exp(x)\times\exp(y)$

$\exp(x-y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$

$\exp(n\times x) = (\exp(x))^n$

Démonstration

Démonstration guidée — $\exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)$

Soit $y$ un réel fixé. On pose pour tout réel $x$ : $g(x) = \exp(x+y)\times\exp(-x)$.

Questions
  1. Montrer que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
  2. Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ et montrer que $g'$ est une fonction constante.
  3. Calculer $g(0)$.
  4. En déduire que $\exp(x+y) = \exp(x)\times\exp(y)$ pour tout réel $x$.
Démonstration

Démonstration — $\exp(x+y) = \exp(x)\times\exp(y)$

Démonstration

Soit $y$ un réel fixé. On pose $g(x) = \exp(x+y)\times\exp(-x)$.

  1. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables.
  2. $g'(x) = \exp(x+y)\times\exp(-x) + \exp(x+y)\times(-1)\times\exp(-x) = \exp(x+y)\exp(-x)(1-1) = 0$.
    $g'$ est nulle : $g$ est constante.
  3. $g(0) = \exp(0+y)\times\exp(0) = \exp(y)\times 1 = \exp(y)$.
  4. $g$ est constante égale à $\exp(y)$, donc pour tout réel $x$: $g(x)=exp(y)\Leftrightarrow{\color{blue}\exp(x+y)\exp(-x)=\exp(y)}$.
    On rappelle que pour tout réel $x$ : $\exp(-x)\exp(x)=1$
    Donc en multipliant chaque membre par $\exp(x)$ : ${\color{blue}\exp(x+y)\exp(-x)}\times \exp(x)={\color{blue}\exp(y)}\times \exp(x)\Leftrightarrow\exp(x+y) = \exp(x)\times\exp(y)$.
Démonstration

Démonstration — La suite $(e^{na})$ est géométrique

Démonstration

Soit $a$ un réel fixé. On pose, pour tout entier naturel $n$, $U_n = e^{na}$.

  1. Pour tout entier $n$, on calcule le terme $U_{n+1}$ :
    $U_{n+1} = e^{(n+1)a} = e^{na + a}$.
  2. D'après la propriété fondamentale de l'exponentielle ($\exp(x+y) = \exp(x)\times\exp(y)$), on a :
    $U_{n+1} = e^{na} \times e^a = U_n \times e^a$.
  3. On calcule alors le rapport de deux termes consécutifs :
    $\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{e^{na} \times e^a}{e^{na}} = e^a$.
    Ainsi : $\frac{U_{n+1}}{U_n} = e^a \Leftrightarrow {\color{blue}U_{n+1} = e^a \times U_n}$.
  4. On pose $q = e^a$. Comme $a$ est un réel fixé, $q$ est une constante réelle.
    On a donc la relation de récurrence : $U_{n+1} = q \times U_n$.
  5. Conclusion : La suite $(U_n)$ est une suite géométrique de raison $q = e^a$ et de premier terme $U_0 = e^{0\times a} = e^0 = 1$.
Propriétés algébriques

Exercice — Simplification

Exercice

Simplifier les expressions suivantes :

  1. $A = \exp(5-\sqrt{3})\times\exp(5+\sqrt{3})$
  2. $B = \dfrac{\exp(6)\times\exp(4)}{(\exp(5))^3}$
Propriétés algébriques

Simplification — Correction ✓

✓ Correction
1) Expression $A$

$A = \exp\bigl((5-\sqrt{3})+(5+\sqrt{3})\bigr) = \exp(10)$

2) Expression $B$

$B = \dfrac{\exp(6+4)}{\exp(5\times 3)} = \dfrac{\exp(10)}{\exp(15)} = \exp(10-15) = \exp(-5)$

Notation $e$

Le nombre $e$ et la notation $e^x$

Définition

L'image du réel $1$ par la fonction $\exp$ est notée $e$ :

$\exp(1) = e$

Remarques
  • $e$ est un nombre réel irrationnel : $e \approx 2{,}71828\ldots$
  • Pour tout entier naturel $n$ : $\exp(n) = e^n$.
  • On peut démontrer que pour tout réel $x$ :

$\exp(x) = e^x$

Notation $e$

Propriétés avec la notation $e^x$

Propriétés

Pour tous réels $x$ et $y$, pour tout entier relatif $n$ :

$e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$

$e^{x+y} = e^x \times e^y$

$e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y}$

$e^{n\times x} = (e^x)^n$

Démonstration : réécriture des propriétés précédentes avec la notation $e$.

Notation $e$

Exercice — Notation $e^x$

Exercice 1

Reprendre les expressions $A$ et $B$ de l'exercice précédent en utilisant la notation $e^x$ :

  1. $A = e^{5-\sqrt{3}}\times e^{5+\sqrt{3}}$
  2. $B = \dfrac{e^6\times e^4}{(e^5)^3}$
Notation $e$

Exercice 1 — Correction ✓

✓ Correction

$A = e^{(5-\sqrt{3})+(5+\sqrt{3})} = e^{10}$

$B = \dfrac{e^{6+4}}{e^{15}} = \dfrac{e^{10}}{e^{15}} = e^{10-15} = e^{-5}$

Notation $e$

Exercice — Calculs algébriques

Exercice 2
  1. Pour tout réel $x$, simplifier $A(x) = (e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2$
  2. Montrer que pour tout réel $x$ :
    $e^x + e^{-x} - 2 \geq 0$
Notation $e$

Exercice 2 — Correction ✓

✓ Correction
1) Simplification de $A(x)$

$A(x) = \bigl[(e^x+e^{-x})+(e^x-e^{-x})\bigr]\bigl[(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})\bigr]$

$= (2e^x)(2e^{-x}) = 4\,e^{x+(-x)} = 4\,e^0 = \mathbf{4}$

2) Inégalité

$e^x + e^{-x} - 2 = e^x - 2\,e^{x/2}\times e^{-x/2} + e^{-x} = (e^{x/2} - e^{-x/2})^2 \geq 0$

Le carré d'un réel est toujours $\geq 0$, donc $e^x + e^{-x} - 2 \geq 0$.

Notation $e$

Lien avec les suites géométriques

Propriété

Pour tout réel $a$, la suite $\bigl(e^{na}\bigr)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique.

Remarque

La démonstration sera vue dans le chapitre suivant sur les suites. C'est une application directe de la propriété $e^{na} = (e^{a})^n$.

Démonstration

Démonstration — La suite $(e^{na})$ est géométrique

Démonstration

Soit $a$ un réel fixé. On pose, pour tout entier naturel $n$, $U_n = e^{na}$.

  1. Pour tout entier $n$, on calcule le terme $U_{n+1}$ :
    $U_{n+1} = e^{(n+1)a} = e^{na + a}$.
  2. Par propriété ($e^{x+y} = e^x\times e^y$), on a :
    $U_{n+1} = e^{na} \times e^a = U_n \times e^a$.
  3. On calcule alors le rapport de deux termes consécutifs :
    $\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{e^{na} \times e^a}{e^{na}} = e^a$.
    Ainsi : $\frac{U_{n+1}}{U_n} = e^a \Leftrightarrow {\color{blue}U_{n+1} = e^a \times U_n}$.
  4. On pose $q = e^a$. Comme $a$ est un réel fixé, $q$ est une constante réelle.
    On a donc, pour tout entier $n$, la relation de récurrence : $U_{n+1} = q \times U_n$.
  5. Conclusion : La suite $(U_n)$ est une suite géométrique de raison $q = e^a$ et de premier terme $U_0 = e^{0\times a} = e^0 = 1$.
Étude de la fonction exponentielle

Signe et sens de variation

Propriété — Positivité

$\forall x \in \mathbb{R},\quad e^x > 0$

Preuve : On a montré que $e^x \neq 0$. De plus :
$e^x = e^{x/2 + x/2} = e^{x/2}\times e^{x/2} = \left(e^{x/2}\right)^2 \geq 0$
Comme $e^x \neq 0$ et $e^x \geq 0$, on conclut $e^x > 0$.

Propriété — Croissance

$e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Preuve : $(e^x)' = e^x > 0$ pour tout $x$.

x −∞ +∞ (eˣ)ʼ = eˣ + eˣ 0 +∞
Étude de la fonction exponentielle

Conséquences de la croissance

Propriété — Conséquences directes

$e^x$ est strictement croissante, donc elle conserve l'ordre :

  • $e^a > e^b \Longleftrightarrow a > b$
  • $e^a = e^b \Longleftrightarrow a = b$
  • En particulier : $e^x > 1 \Longleftrightarrow x > 0$
Exercice
  1. Résoudre l'équation $e^{x^2-x} = e^2$
  2. Résoudre l'inéquation $\left(e^x\right)^2 \leq \left(\dfrac{1}{e}\right)^2$
Étude de la fonction exponentielle

Équation et inéquation — Correction ✓

✓ Correction
1) Équation $e^{x^2-x} = e^2$

$e^{x^2-x} = e^2 \Leftrightarrow x^2 - x = 2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0$

$\Delta = 1 + 8 = 9$, donc $x_1 = \dfrac{1+3}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{1-3}{2} = -1$.

$\mathcal{S} = \{-1\,;\,2\}$

2) Inéquation

$(e^x)^2 \leq \left(\dfrac{1}{e}\right)^2 \Leftrightarrow e^{2x} \leq e^{-2} \Leftrightarrow 2x \leq -2 \Leftrightarrow x \leq -1$

$\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-1]$

Étude de la fonction exponentielle

Courbe représentative de $e^x$

Propriété
  • La courbe passe par $(0\,;\,1)$ et $(1\,;\,e)$.
  • Elle est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.
  • Elle ne coupe jamais l'axe des abscisses.
Tangente en $x=0$

En $x=0$ : $f'(0)=e^0=1$ et $f(0)=1$, donc la tangente a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

Soit l'équation : $y = x + 1$.

−1 1 2 1 e y = x+1 (0 ; 1) (1 ; e) x y O asymptote
Étude de la fonction exponentielle

Dérivée de $e^{ax+b}$

Propriété

Soient $a$ et $b$ deux réels. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = e^{{\color{red}a}\times x + b}$

est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :

$f'(x) = {\color{red}a} \times e^{a\times x + b}$

Démonstration : règle de la dérivée de $f(x)=g({\color{red}a}x+b)$ où $f'(x)={\color{red}a}\times g'({\color{red}a}x+b)$.

Représentation graphique
x y O 1 eˣᵏ e⁻ˣᵏ (0 ; 1)

Représentation de $e^{kx}$ et $e^{-kx}$ ($k>0$)

Étude de la fonction exponentielle

Exercice — $f(x) = e^{-3x+6}$

Exercice

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-3x+6}$.

  1. Calculer la dérivée $f'$ de $f$.
  2. En déduire le tableau des variations de $f$.
  3. Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a=2$.
  4. Tracer la tangente $T$ puis la courbe $\mathcal{C}_f$.
Étude de la fonction exponentielle

$f(x)=e^{-3x+6}$ — Correction ✓

✓ Correction

1) $f'(x) = -3 \times e^{-3x+6}$

2) $f'(x) < 0$ pour tout $x$ (car $-3 < 0$ et $e^{-3x+6}>0$) : $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

3) $f(2) = e^{-6+6} = e^0 = 1$ et $f'(2) = -3e^0 = -3$.

Tangente : $y = f'(2)(x-2)+f(2)\iff y = -3(x-2)+1 \iff y = -3x+7$

La tangente au point d'abscisse $a=2$ a pour équation $y = -3x+7$

1 2 3 1 T : y = −3x+7 (2 ; 1) y x O
Application Python

Script — resol(k)

from math import *

def resol(k):
    x = 0
    while exp(x) < k:
        x = x + 0.1
    return x
Questions
  1. Compléter le tableau des variables lors de l'appel resol(2) :
    $k$                                
    $x$        
    $\exp(x)$        
  2. Quelle valeur est renvoyée par resol(2) ?
  3. Quelle valeur est renvoyée par resol(4) ?
  4. Quel est le rôle de ce script ?
Application Python

Script resol — Correction ✓

✓ Correction
Tableau pour resol(2)
$k$22222222
$x$00,10,20,30,50,60,70,7
$\exp(x)$11,11,221,351,651,822,01>2

2) resol(2) renvoie $x \approx 0{,}7$ car exp(0,6) < 2 mais exp(0,7) > 2. (valeur approchée de $\ln(2) \approx 0{,}693$).

3) resol(4) renvoie $x \approx 1{,}4$ car exp(1,3) < 4 mais exp(1,4) > 4.(valeur approchée de $\ln(4) \approx 1{,}386$).

4) Ce script calcule une valeur approchée de $x$ tel que $e^x \approx k$      (en terminale on parlera de $\ln(k)$ pour la solution de l'équation $e^x=k$).

Application Python

Méthode d'Euler — Construction de $e^x$

Équation de la tangente en $a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Près de $a$, la fonction est très proche de sa tangente.

Pour $x=a+h$ (avec $h$ petit) : $f(a+h)\approx f'(a)\times h+f(a)$.

Si $f(x)=\exp(x)$, alors $f'(x)=f(x)$ et $f(0)=1$.

Donc : $f(a+h)\approx f(a)\times h+f(a)$.

ou encore $f(x+h) \approx f(x)\times h +f(x)$.

# Methode d'Euler pour approximer exp(x)

def euler(x_cible, h):
    x = 0
    f = 1          # f(0) = 1
    while x < x_cible:
        f = f*h +  f  # f(x+h) = f(x)*h + f(x)
        x = x + h
    return f

print("exp(1) ≈", euler(1, 0.1))
print("exp(2) ≈", euler(2, 0.1))
Questions
  1. La variable f représente-t-elle une valeur de $f$ ou de $f'$ ?
  2. Pourquoi commence-t-on avec f = 1 ?
  3. Compléter le tableau pour l'appel euler(1, 0.5) :
    TourDépartTour 1Tour 2
    $x$0        
    $f$1        
  4. Tester euler(1, 0.1) puis euler(1, 0.01). Que constate-t-on ?
  5. Expliquer en une phrase pourquoi un $h$ plus petit donne un meilleur résultat.
Application Python

Méthode d'Euler — Correction ✓

✓ Correction

1) f représente une valeur approchée de $f(x)$, c'est-à-dire de $e^x$.

2) Car $f(0) = e^0 = 1$ : c'est la condition initiale de définition de l'exponentielle.

3) Tableau pour euler(1, 0.5) :

TourDépartTour 1Tour 2
$x$00,51,0
$f$1$1+0{,}5\times1=\mathbf{1{,}5}$$1{,}5+0{,}5\times1{,}5=\mathbf{2{,}25}$

4) euler(1, 0.1) ≈ 2,594  ·  euler(1, 0.01) ≈ 2,705  ·  $e\approx 2{,}718$ : on se rapproche.

5) Un $h$ plus petit effectue des pas plus fins, donc l'approximation linéaire $f(x+h)\approx f(x)+hf'(x)$ est plus précise.

Application Python

Approximation de $e$ par $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$

On admet (hors programme) que $u_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \xrightarrow[n\to+\infty]{} e$.

# Approximation de e par (1+1/n)^n

def approx_e(n):
    u = (1 + 1/n) ** n
    return u

print("n = 1    :", approx_e(1))
print("n = 10   :", approx_e(10))
print("n = 100  :", approx_e(100))
print("n = 1000 :", approx_e(1000))
n = 1 : 2.0
n = 10 : 2.5937424601...
n = 100 : 2.7048138294...
n = 1000 : 2.7169239322...
Questions
  1. Calculer à la main $\left(1+\dfrac{1}{1}\right)^1$. Retrouve-t-on la première ligne ?
  2. Vers quelle valeur semble converger $u_n$ d'après les résultats ?
  3. Sachant que $e \approx 2{,}71828$, calculer l'écart $|u_{1000} - e|$.
  4. Modifier le script pour afficher $n=10\,000$ et $n=100\,000$. Que constate-t-on ?
  5. La suite $(u_n)$ semble-t-elle croissante d'après les valeurs ? Conjecturer la limite.
Application Python

Suite $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ — Correction ✓

✓ Correction

1) $\left(1+\dfrac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2{,}0$ ✓

2) La suite semble converger vers $e \approx 2{,}718$.

3) $|u_{1000} - e| \approx |2{,}7169 - 2{,}7183| \approx 0{,}0014$ : la suite est bien proche de $e$.

4) Les valeurs se rapprochent encore davantage de $e$. La convergence est lente.

5) $(u_n)$ semble croissante. On conjecture que $u_n \to e$ quand $n \to +\infty$.