Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $D$.
Si $f$ est dérivable en tout réel $a$ de $D$, on dit que $f$ est dérivable sur l'intervalle $D$.
La fonction qui à tout réel $x$ de $D$ associe le nombre $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$.
On la note $f'$.
Rappel : $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.
$\displaystyle f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand cette limite existe.
$f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$.
$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(a+h)^2-a^2}{h}$
$\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2ah+h^2}{h}=\lim_{h\to0}(2a+h)=2a$
Le calcul ci-dessus est valable pour tout réel $a$, donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
La fonction dérivée $f'$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
| Fonction $f$ | $f$ dérivable sur | Fonction dérivée $f'$ |
|---|---|---|
| $f(x)=c$ (constante) | $\mathbb{R}$ | $f'(x)=0$ |
| $f(x)=x$ | $\mathbb{R}$ | $f'(x)=1$ |
| $f(x)=x^2$ | $\mathbb{R}$ | $f'(x)=2x$ |
| $f(x)=x^3$ | $\mathbb{R}$ | $f'(x)=3x^2$ |
| $f(x)=x^n$ où $n\in\mathbb{N}$ | $\mathbb{R}$ | $f'(x)=nx^{n-1}$ |
| $f(x)=\dfrac{1}{x}$ | $\left]-\infty;0\right[$ et $\left]0;+\infty\right[$ | $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ |
| $f(x)=\dfrac{1}{x^n}$, $n\in\mathbb{N}^*$ | $\left]-\infty;0\right[$ et $\left]0;+\infty\right[$ | $f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ |
| $f(x)=\sqrt{x}$ | $\left]0;+\infty\right[$ | $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $f(x)=\cos(x)$ | $\mathbb{R}$ | $f'(x)=-\sin(x)$ |
| $f(x)=\sin(x)$ | $\mathbb{R}$ | $f'(x)=\cos(x)$ |
Soit $f(x)=\dfrac{1}{x}$, dérivable sur $\left]-\infty;0\right[$ et $\left]0;+\infty\right[$. Pour tout $a\neq0$ :
$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h}$
$\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{\dfrac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-h}{h\times a(a+h)}=\lim_{h\to0}\frac{-1}{a(a+h)}=\frac{-1}{a^2}$
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions définies et dérivables sur $D$, alors $u+v$ est dérivable sur $D$ et :
La fonction $u-v$ est dérivable sur $D$ et : $\forall x\in D:\;(u-v)'(x)=u'(x)-v'(x)$
Si $u$ est dérivable sur $D$ et $k$ un réel, alors $k\times u$ est dérivable sur $D$ et :
$x\mapsto x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $x\mapsto x^3$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Donc par somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, la fonction $f : x\mapsto x^2+x^3$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (Propriété 2).
$x\mapsto x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $x\mapsto\sqrt{x}$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. Donc par la Propriété 2, $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et :
Pour chacune des fonctions suivantes, justifier qu'elle est dérivable sur $D$ puis calculer sa dérivée :
$x\mapsto x$ dérivable sur $\mathbb{R}$. Par Prop 3 : $f'(x)=3\times1=3$
$x\mapsto\frac{1}{x}$ dérivable sur $]0;+\infty[$. Par Prop 3 : $g'(x)=-5\times\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\dfrac{5}{x^2}$
Prop 2 et 3 : $h'(x)=0+2x=2x$
$k'(x)=2\times2x+5\times1-0=4x+5$
$m'(x)=3\times\left(-\frac{1}{x^2}\right)-8=-\dfrac{3}{x^2}-8$
$n'(t)=3\times2t+5=6t+5$
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions définies et dérivables sur $D$, alors $u\times v$ est dérivable sur $D$ et :
$\displaystyle(u\times v)'(a)=\lim_{h\to0}\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}$
On ajoute et soustrait $u(a+h)v(a)$ :
$\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a+h)v(a)+u(a+h)v(a)-u(a)v(a)}{h}$
$\displaystyle=\lim_{h\to0}u(a+h)\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a)$
$=u(a)\times v'(a)+u'(a)\times v(a)$ $\square$
1. En général $(u\times v)'\neq u'\times v'$ 2. Pour $u(x)=v$ : $(u^2)'=2u\times u'$
Justifier que la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par
est dérivable sur $]0;+\infty[$, puis calculer sa dérivée pour tout réel $x\in]0;+\infty[$.
On pose $u(x)=x-1$ et $v(x)=\sqrt{x}$.
$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $]0;+\infty[$, et $v$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
Par la Propriété 4, $f=u\times v$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
$\forall x\in ]0;+\infty[ :$
$u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$f'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)=1\times\sqrt{x}+(x-1)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$=\sqrt{x}+\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{1}+\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}}{1\times 2\sqrt{x}}+\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{2x}{1\times 2\sqrt{x}}+\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{2x+x-1}{2\sqrt{x}}$
Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $D$ et $v$ ne s'annule pas sur $D$, alors :
Pour chacune des fonctions suivantes, justifier qu'elle est dérivable sur $D$ puis calculer sa dérivée :
On pose $v(x)=2x^2-8$. Sur $]-2;2[$, $v(x)=2(x^2-4)$ et $x^2<4$ donc $v(x)<0$, $v$ ne s'annule pas.
$v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc $f=\frac{1}{v}$ est dérivable sur $]-2;2[$ et :
$v'(x)=4x$, donc :
$u(x)=5x-10$, $v(x)=2x-6$. Sur $]3;+\infty[$, $v(x)=2(x-3)>0$ donc $v$ ne s'annule pas.
$u'(x)=5$, $v'(x)=2$
$g'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{5(2x-6)-2(5x-10)}{(2x-6)^2}=\dfrac{10x-30-10x+20}{(2x-6)^2}=\dfrac{-10}{(2x-6)^2}$
On considère un intervalle $D$ et deux réels $a$ et $b$.
Soit $I$ l'intervalle formé des valeurs prises par $ax+b$ lorsque $x$ décrit $D$.
Si $g$ est dérivable sur $I$, alors la fonction $f$ définie sur $D$ par
est dérivable sur $D$ et pour tout réel $x\in D$ :
Cas courants : Si $f(x)=\sqrt{ax+b}$ alors $f'(x)=\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}$
Si $f(x)=(ax+b)^n$ alors $f'(x)=na(ax+b)^{n-1}$
Si $f(x)=\cos(ax+b)$ alors $f'(x)=-a\sin(ax+b)$
Si $f(x)=\sin(ax+b)$ alors $f'(x)=a\cos(ax+b)$
Justifier que $f$ définie sur $]-\infty;4]$ par $f(x)=\sqrt{8-2x}$ est dérivable sur $]-\infty;4[$, puis calculer $f'(x)$.
Justifier que $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos(-3x+4)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, puis calculer $f'(x)$.
On pose $g(t)=\sqrt{t}$, dérivable sur $]0;+\infty[$, et $ax+b=-2x+8$ avec $a=-2$, $b=8$.
Sur $]-\infty;4[$, $-2x+8>0$ donc $f=g(-2x+8)$ est dérivable et :
$g'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}$, donc par Prop 6 avec $a=-2$ :
On pose $g(t)=\cos(t)$, dérivable sur $\mathbb{R}$, et $ax+b=-3x+4$ avec $a=-3$.
$g'(t)=-\sin(t)$, donc par Prop 6 avec $a=-3$ :
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $D$.
Remarque : ne pas confondre $f$ croissante avec $f$ positive.
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $[0;4]$ dont la courbe est représentée ci-contre.
$f$ est strictement décroissante
↕
$f'$ est
négative
$f$ est
constante
↕
$f'$ est
nulle
$f$ est strictement
croissante
↕
$f'$ est
positive
Pour chacune des fonctions dérivables sur $D$, calculer la dérivée, étudier son signe puis dresser le tableau de variations :
Dérivée : $f'(x)=4x+12$
Signe de $f'$ : $f'(x)=0\Leftrightarrow x=-3$. Sur $[-5;-3]$, $f'(x)\leq0$ ; sur $[-3;10]$, $f'(x)\geq0$.
Valeurs : $f(-5)=50-60+10=0$ ; $f(-3)=18-36+10=-8$ ; $f(10)=200+120+10=330$
On pose : $u(x)=2x+12,\;u'(x)=2,\;v(x)=2x+6,\;v'(x)=2$
( $u$ et $v$ sont dérivables sur $]-3;+\infty[$ et $v\neq 0$ sur $]-3;+\infty[$ donc $g$ est dérivable sur $]-3;+\infty[$ )
$g'(x)=\dfrac{2(2x+6)-2(2x+12)}{(2x+6)^2}=\dfrac{4x+12-4x-24}{(2x+6)^2}=\dfrac{-12}{(2x+6)^2}$
$(2x+6)^2>0$ donc $g'(x)<0$ sur $]-3;+\infty[$. $g$ est strictement décroissante.
On pose : $u(x)=-7x+21,\;u'(x)=-7,\;v(x)=12-4x,\;v'(x)=-4$
$h'(x)=\dfrac{(-7)(12-4x)-(-4)(-7x+21)}{(12-4x)^2}=\dfrac{-84+28x-28x+84}{(12-4x)^2}=\dfrac{0}{(12-4x)^2}=0$
$h'(x)=0$ pour tout $x\in]3;+\infty[$. Donc $h$ est constante.
De plus $h(4)=\dfrac{-28+21}{12-16}=\dfrac{-7}{-4}=\dfrac{7}{4}$ donc pour tout $x \in ]3;+\infty[$, $h(x)=\dfrac{7}{4}$
Préciser les extremums des fonctions $f$ et $g$ de l'Exemple 9.
Rappel des résultats de l'Exemple 9 :
D'après le tableau de variations de l'Exemple 9 :
$g$ est strictement décroissante sur $]-3;+\infty[$.
Remarque : sur un intervalle ouvert, une fonction peut ne pas admettre d'extremum.
On donne ci-contre la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.
Soit $a$ un réel de $D$ qui n'est pas une borne de $D$.
Attention : $f'(a)=0$ n'implique pas nécessairement que $f$ a un extremum en $a$ (ex : $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$ mais pas d'extremum en $0$).
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f'(x)=\dfrac{3x^2}{12}-\dfrac{18x}{8}+\dfrac{9}{2}=\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{9x}{4}+\dfrac{9}{2}$
$f'(x)=\dfrac{x^2-9x+18}{4}=\dfrac{(x-3)(x-6)}{4}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=3$ ou $x=6$ (on peut utiliser $\Delta$)
$a=1/4>0$ donc :
$f(3)=\dfrac{27}{12}-\dfrac{81}{8}+\dfrac{27}{2}=\dfrac{9}{4}-\dfrac{81}{8}+\dfrac{108}{8}=\dfrac{45}{8}$ de même $f(6)=\dfrac{9}{2}$
Le script ci-contre définit $f(x)=x^2-6x+8$ et « balaye » $f$ entre $0$ et $5$ avec un pas de $0{,}1$ pour déterminer un minimum local.
La fonction maxlocal renvoie les valeurs de $a$ et du minimum $m=f(a)$ arrondies à $10^{-3}$ près.
Analyse : $f(x)=x^2-6x+8=(x-3)^2-1$.
Le minimum de $f$ est $-1$, atteint en $x=3$.
La console confirme : maxlocal(0,5,0.1) renvoie (3.0, -1.0).
def f(x): return x**2 - 6*x + 8 def maxlocal(debut,fin,pas): a = debut m = f(a) x = debut while x<=fin: x = x + pas if f(x)<m: a = x m = f(a) return round(a,3),round(m,3)
*** Console de processus distant Réinitialisée *** >>> maxlocal(0,5,0.1) (3.0, -1.0)