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Chapitre 8

Indépendance de deux événements

Événements indépendants · Épreuves de Bernoulli · Marches aléatoires

Chapitre 8 · Indépendance de deux événementsPlan

Plan du chapitre

I

Événements indépendants
Définition · Propriétés · Démonstrations

II

Épreuves indépendantes
Épreuve de Bernoulli · Répétition de $n$ épreuves · Marches aléatoires

III

Application au langage Python
Script de vérification de l'indépendance

Chapitre 8 · IndépendanceSection I

I — Événements indépendants

1.1

Définition

1.2

Propriétés

I · Événements indépendants1.1 · Définition

Définition — Événements indépendants

Définition 1

Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités non nulles d'un même univers $\Omega$.

On dit que $A$ et $B$ sont indépendants lorsque :

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Remarque 1

Il ne faut pas confondre événements indépendants et événements incompatibles ($P(A \cap B) = 0$).

Des événements incompatibles ne sont pas indépendants en général !

I · Événements indépendants1.1 · Exemple 1

Exemple 1 — Double six

Exemple 1

On lance successivement deux dés à 6 faces.

Quelle est la probabilité d'obtenir un double six ?

🎲

I · Événements indépendants1.1 · Correction Exemple 1

Correction — Exemple 1

✓ Mise en place

On pose $A$ = « obtenir un 6 au premier dé » et $B$ = « obtenir un 6 au second dé ».

Les deux lancers sont indépendants (le résultat du premier dé n'influence pas le second). Donc :

$P(A) = \dfrac{1}{6}$ et $P(B) = \dfrac{1}{6}$

✓ Calcul

$P(\text{double six}) = P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

$$P(\text{double six}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \approx 0{,}028$$

I · Événements indépendants1.1 · Exemple 2

Exemple 2 — Urne de boules

Exemple 2

On tire au hasard une boule dans une urne qui contient :

3 boules rouges notées A, B, C
2 boules vertes notées A et B
1 boule noire notée A

A B C A B A

Les événements $R$ « on tire une boule rouge » et $\mathcal{A}$ « on tire une boule notée A » sont-ils indépendants ?
Même question pour $R$ et $\mathcal{B}$ (« on tire une boule notée B »).

I · Événements indépendants1.1 · Correction Exemple 2

Correction — Exemple 2

✓ Préliminaire

L'urne contient 6 boules au total.

$P(R) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ · $P(\mathcal{A}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ (rouge A, verte A, noire A)

$P(\mathcal{B}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ (rouge B, verte B)

✓ Q1 — R et 𝒜

$R \cap \mathcal{A}$ = boule rouge notée A → 1 boule → $P(R \cap \mathcal{A}) = \dfrac{1}{6}$

$P(R) \times P(\mathcal{A}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{6} \neq \dfrac{1}{4}$ → $R$ et $\mathcal{A}$ ne sont pas indépendants.

✓ Q2 — R et ℬ

$R \cap \mathcal{B}$ = boule rouge notée B → 1 boule → $P(R \cap \mathcal{B}) = \dfrac{1}{6}$

$P(R) \times P(\mathcal{B}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6}$ → $R$ et $\mathcal{B}$ sont indépendants. ✓

I · Événements indépendants1.2 · Propriétés

Propriété 1 — Probabilités conditionnelles

Propriété 1

Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités non nulles d'un même univers $\Omega$.

$A$ et $B$ sont indépendants si, et seulement si, $P_A(B) = P(B)$.
$A$ et $B$ sont indépendants si, et seulement si, $P_B(A) = P(A)$.

Interprétation

$A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de $A$ ne change pas la probabilité de $B$ (et réciproquement).

Connaître que $A$ est réalisé n'apporte aucune information sur la probabilité de $B$.

I · Événements indépendants1.2 · Démonstration

Démonstration — Propriété 1

Démonstration

($\Rightarrow$) Supposons $A$ et $B$ indépendants, c'est-à-dire $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Par définition de la probabilité conditionnelle :

$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B) \checkmark$$

($\Leftarrow$) Supposons $P_A(B) = P(B)$.

Alors, par définition de la probabilité conditionnelle :

$$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = P(A) \times P(B)$$

Donc $A$ et $B$ sont indépendants. $\square$

I · Événements indépendants1.2 · Exemple 3

Exemple 3 — Lecture d'un arbre

Exemple 3

Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités non nulles d'un même univers $\Omega$.

On donne l'arbre de probabilités ci-contre.

Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

I · Événements indépendants1.2 · Correction Exemple 3

Correction — Exemple 3

✓ Lecture de l'arbre

$P(A) = 0{,}7$, $P_A(B) = 0{,}4$, $P(\overline{A}) = 0{,}3$, $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}4$

✓ Calcul de P(B)

Les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de $\Omega$. On applique donc la formule des probabilités totales :

$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = 0{,}7 \times 0{,}4 + 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}28 + 0{,}12 = 0{,}40$

✓ Conclusion

On a $P_A(B) = 0{,}4$ et $P(B) = 0{,}4$.

Puisque $P_A(B) = P(B)$, les événements $A$ et $B$ sont indépendants. ✓

On le vérifie aussi : $P(A)\times P(B) = 0{,}7 \times 0{,}4 = 0{,}28 = P(A \cap B)$. ✓

I · Événements indépendants1.2 · Propriété 2

Propriété 2 — Événements complémentaires

Propriété 2

Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités non nulles d'un même univers $\Omega$.

Si les événements $A$ et $B$ sont indépendants, alors les événements $A$ et $\overline{B}$ sont aussi indépendants.

Remarque 2

Lorsque les événements $A$ et $B$ sont indépendants, on a aussi :

$\overline{A}$ et $B$ indépendants,
$\overline{A}$ et $\overline{B}$ indépendants.

I · Événements indépendants1.2 · Démonstration

Démonstration — Propriété 2

Démonstration

Hypothèse : $A$ et $B$ sont indépendants, donc $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Objectif : montrer que $P(A \cap \overline{B}) = P(A) \times P(\overline{B})$.

Puisque $A \cap B$ et $A \cap \overline{B}$ forment une partition de $A$, donc d'après la formule des probabilités totales :

$$\iff P(A)= P(A \cap B)+P(A \cap \overline{B})$$

$$\iff P(A)- P(A \cap B)=P(A \cap \overline{B})$$

$$\iff P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$$

$$\iff P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A)\times P(B)$$

$$\iff P(A \cap \overline{B}) = P(A)\times\bigl(1 - P(B)\bigr) = P(A) \times P(\overline{B})$$

Donc $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants. $\square$

Chapitre 8 · IndépendanceSection II

II — Épreuves indépendantes

2.1

Succession de deux épreuves indépendantes

2.2

Épreuve de Bernoulli

2.3

Répétition de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques

2.4

Approfondissement : marches aléatoires

II · Épreuves indépendantes2.1 · Définition

Succession de deux épreuves indépendantes

Définition 2

On appelle succession de deux épreuves indépendantes lorsqu'on répète deux fois à l'identique une expérience aléatoire, les résultats de la première épreuve n'influençant pas ceux de la seconde.

II · Épreuves indépendantes2.1 · Exemple 4

Exemple 4 — Urne avec remise

Exemple 4

Dans une urne il y a 2 boules blanches et 1 boule rouge.

On tire successivement et avec remise deux boules.

Le résultat obtenu au premier tirage a-t-il une influence sur le résultat des tirages suivants ?
Construire l'arbre de probabilités correspondant.

B B R

II · Épreuves indépendantes2.1 · Correction Exemple 4

Correction — Exemple 4

✓ Indépendance

Comme le tirage est avec remise, la composition de l'urne est la même à chaque tirage. Le résultat du premier tirage n'influence pas le second.

$P(B) = \dfrac{2}{3}$ · $P(R) = \dfrac{1}{3}$ à chaque tirage.

II · Épreuves indépendantes2.2 · Épreuve de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

Définition 3

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ (avec $0 < p < 1$) est une expérience aléatoire qui ne peut donner que deux résultats :

le succès $S$, de probabilité $p$,
l'échec $\overline{S}$, de probabilité $q = 1 - p$.

Exemple 5

Trois exemples classiques :

Lancer un dé, succès = « obtenir un 6 » : $p = \dfrac{1}{6}$, $q = \dfrac{5}{6}$.
Tirer une carte dans un jeu de 32, succès = « obtenir un as » : $p = \dfrac{1}{8}$, $q = \dfrac{7}{8}$.
Lancer une pièce, succès = « obtenir Pile » : $p = \dfrac{1}{2}$, $q = \dfrac{1}{2}$.

Remarque 3

Il ne faut pas confondre épreuve de Bernoulli et indépendance d'événements . Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues ; l'indépendance concerne la relation entre les résultats de plusieurs épreuves successives.

II · Épreuves indépendantes2.3 · Répétition de n épreuves

Répétition de $n$ épreuves de Bernoulli

Définition 4

On dit que l'on répète $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques de paramètre $p$ lorsque :

chaque épreuve est une épreuve de Bernoulli de même paramètre $p$,
le résultat d'une épreuve n'influence pas les résultats des autres épreuves.

En pratique : cela correspond à des tirages avec remise, ou à la répétition de la même expérience dans les mêmes conditions.

Propriété 3

Lors de la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques de paramètre $p$ :

L'arbre comporte $n$ niveaux. Chaque nœud a une branche $S$ (probabilité $p$) et une branche $\overline{S}$ (probabilité $q=1-p$).
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.
Un chemin comportant exactement $k$ succès et $(n-k)$ échecs a pour probabilité :

$$p^k \times (1-p)^{n-k}$$

II · Épreuves indépendantes2.3 · Exemple 6

Exemple 6 — Pièce lancée deux fois

Exemple 6

On lance deux fois une pièce de monnaie équilibrée.

Succès $S$ = « Pile », $p = \dfrac{1}{2}$, $q = \dfrac{1}{2}$.

Représenter l'arbre pondéré associé.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois Pile.

II · Épreuves indépendantes2.3 · Correction Exemple 6

Correction — Exemple 6

✓ L'arbre

L'arbre ci-dessus représente les 4 issues : $SS$, $S\overline{S}$, $\overline{S}S$, $\overline{S}\overline{S}$, chacune de probabilité $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$.

✓ P(exactement un Pile)

Les issues favorables sont $S\overline{S}$ (Pile puis Face) et $\overline{S}S$ (Face puis Pile).

Ces issues sont incompatibles, donc :

$$P(\text{exactement un Pile}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

Avec la formule : $k=1$ succès sur $n=2$ épreuves : $p^1 \times q^1 = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$, et il y a 2 chemins. ✓

II · Épreuves indépendantes2.3 · Exemple 7

Exemple 7 — Contrôle qualité LED

Exemple 7

Dans une usine de fabrication de LED, 10 % des ampoules produites sont défectueuses.

On prélève au hasard et avec remise 3 ampoules.

Succès $S$ = « tirer une ampoule défectueuse », $p = 0{,}1$, $q = 0{,}9$.

Vérifier qu'il s'agit de la répétition de 3 épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.
Calculer $P(\text{aucune ampoule défectueuse})$.
Calculer $P(\text{au moins une ampoule défectueuse})$.
Calculer $P(\text{exactement deux ampoules défectueuses})$.

II · Épreuves indépendantes2.3 · Correction Exemple 7

Correction — Exemple 7

✓ Q1 — Bernoulli

Chaque tirage : 2 issues (défectueux ou non), $p=0{,}1$ constant. Les tirages sont avec remise donc indépendants. ✓ C'est bien une répétition de 3 épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.

✓ Q2 — Aucune défectueuse

0 succès, 3 échecs : chemin $\overline{S}\,\overline{S}\,\overline{S}$ :

$$P(\text{aucune}) = q^3 = 0{,}9^3 = \mathbf{0{,}729}$$

✓ Q3 — Au moins une défectueuse

Par complémentaire :

$$P(\text{au moins une}) = 1 - P(\text{aucune}) = 1 - 0{,}729 = \mathbf{0{,}271}$$

✓ Q4 — Exactement deux défectueuses

$k=2$ succès, $n-k=1$ échec. Il y a $\binom{3}{2} = 3$ chemins possibles ($SS\overline{S}$, $S\overline{S}S$, $\overline{S}SS$), chacun de probabilité $p^2 \times q = 0{,}01 \times 0{,}9 = 0{,}009$.

$$P(\text{exactement 2}) = 3 \times 0{,}009 = \mathbf{0{,}027}$$

II · Épreuves indépendantes2.4 · Marches aléatoires

Marches aléatoires

Définition 5

Une marche aléatoire est une succession d'étapes indépendantes lors desquelles un mobile se déplace selon le résultat d'une épreuve aléatoire.

C'est une application directe de la répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes.

Applications

Les marches aléatoires modélisent de nombreux phénomènes :

Le mouvement d'une particule dans un fluide (mouvement brownien),
L'évolution d'un cours boursier,
La propagation d'une information dans un réseau.

II · Épreuves indépendantes2.4 · Exemple 8

Exemple 8 — Marche aléatoire en 3 étapes

Exemple 8

Un pion part de la position 0 sur une droite graduée.

À chaque étape, on lance une pièce équilibrée :

si Pile ($p = \tfrac{1}{2}$) : le pion avance de +1,
si Face ($q = \tfrac{1}{2}$) : le pion recule de $-1$.

On effectue 3 étapes.

Quelles sont les positions possibles après 3 étapes ?
Calculer $P(\text{position} = +1)$.
Calculer $P(\text{position} = -3)$.

II · Épreuves indépendantes2.4 · Animation interactive

Animation — Marche aléatoire

Étape : 0 / 3 Position : 0

Historique : 0

Appuyez sur « Lancer la pièce » pour simuler chaque étape (3 au total)

II · Épreuves indépendantes2.4 · Correction Exemple 8

Correction — Exemple 8

✓ Q1 — Positions possibles

Après 3 étapes, le pion a effectué 3 lancers. Si $k$ représente le nombre de Pile, la position est $k - (3-k) = 2k - 3$.

Nombre de Pile $k$	0	1	2	3
Position $2k-3$	$-3$	$-1$	$+1$	$+3$

Les positions possibles sont : $\{-3;\,-1;\,+1;\,+3\}$.

✓ Q2 — P(position = +1)

Position $+1$ ⟺ $k = 2$ Pile et 1 Face. Il y a $\binom{3}{2} = 3$ chemins (PPF, PFP, FPP), chacun de probabilité $\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}$.

$$P(\text{position} = +1) = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$$

✓ Q3 — P(position = −3)

Position $-3$ ⟺ $k = 0$ Pile, soit 3 Face. Il n'y a qu'un seul chemin (FFF) :

$$P(\text{position} = -3) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

Chapitre 8 · IndépendanceSection III

III — Application au langage Python

3.1

Vérification de l'indépendance via un tableau de probabilités

III · Application au langage PythonExemple 9

Exemple 9 — Script de vérification

Exemple 9

On donne les probabilités dans le tableau :

	$A$	$\overline{A}$
$B$	0,42	0,18
$\overline{B}$	0,28	0,12

Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Le script ci-contre généralise avec $m, n, p, q$ correspondant aux cases du tableau :

	$A$	$\overline{A}$
$B$	m	n
$\overline{B}$	p	q

On obtient en console :

*** Console de processus distant Réinitialisée ***
>>> ind(0.42,0.18,0.28,0.12)
'A et B sont indépendants'

def ind(m, n, p, q):
    if (m + p) * (m + n) == m:
        return "A et B sont indépendants"
    else:
        return "A et B ne sont pas indépendants"

Questions :

Que calcule (m + p) ? Que calcule (m + n) ?
Quelle condition mathématique la fonction teste-t-elle ?
Vérifier à la main que $A$ et $B$ sont indépendants pour le tableau donné.

III · Application au langage PythonCorrection Exemple 9

Correction — Exemple 9

✓ Q1 — Signification des expressions

(m + p) $= P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) = P(A)$

(m + n) $= P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(B)$

Donc (m+p)*(m+n) calcule $P(A) \times P(B)$.

✓ Q2 — Condition testée

La condition (m + p)*(m + n) == m teste si :

$$P(A) \times P(B) = P(A \cap B)$$

C'est exactement la définition de l'indépendance !

✓ Q3 — Vérification à la main

$P(A) = 0{,}42 + 0{,}28 = 0{,}70$

$P(B) = 0{,}42 + 0{,}18 = 0{,}60$

$P(A) \times P(B) = 0{,}70 \times 0{,}60 = 0{,}42 = P(A \cap B)$ ✓

Donc $A$ et $B$ sont bien indépendants.

✓ Tableau complet

	$A$	$\overline{A}$	Total
$B$	0,42	0,18	0,60
$\overline{B}$	0,28	0,12	0,40
Total	0,70	0,30	1