ou encore : $\displaystyle\vec{u}\bullet\vec{v} = \tfrac{1}{2}\!\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\right)$
Remarque 1
Dans un triangle $ABC$ la formule $\vec{u}\bullet\vec{v} = \tfrac{1}{2}\!\left(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{v}-\vec{u}\|^2\right)$ devient : $\overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}\!\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)$
car $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ par Chasles, donc $\|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\|^2=BC^2$.
Propriété 3
Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}\bullet\vec{v}=0$
$\vec{u}\bullet\vec{u} = \|\vec{u}\|^2$
I · B · Formules normesDémonstrations — Remarque 1 et Propriété 3
Démonstrations — Rem. 1 et P3
Démonstrations
Remarque 1. Par Chasles : $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, donc $\|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\|^2=BC^2$.
I · Expressions du produit scalaireC · Formule dans un repère orthonormé
C — Formule dans un repère orthonormé
Propriété 4
Soient $\vec{u}\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\!\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. Alors :
Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$, les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ vérifient : $\vec{i}\bullet\vec{i}=1$, $\vec{j}\bullet\vec{j}=1$, $\vec{i}\bullet\vec{j}=0$.
Pour tout vecteur $\vec{u}\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ :
$$x = \vec{u}\bullet\vec{i} \qquad\text{et}\qquad y = \vec{u}\bullet\vec{j}$$
Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$, on considère les points $A(3;2)$, $B(7;4)$ et $C(8;1)$.
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC}$.
En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de l'angle $\widehat{BAC}$.
I · D · Formule trigonométriqueCorrection — Exemple 3
Correction — Exemple 3
✓ Correction
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}\iff \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}7-3\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}8-3\\1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC}= AB\times AH$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ de même sens
$\overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC}= -AB\times AH$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ de sens opposés
I · E · Projeté orthogonalAnimation interactive
Visualisation — Projeté orthogonal
Angle $\theta$ :60°Cas 1 : même sens
AB · AC = AB × AH = 10 × 2,50 = 25,00
$\overrightarrow{AB}$ (bleu, fixe) · $\overrightarrow{AC}$ (coloré, tourne) · $H$ projection de $C$ sur $(AB)$ · formule du projeté : $\overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC}=AB\times AH$
I · E · Projeté orthogonalDémonstration — Propriété 7
Démonstration — Propriété 7
Démonstration
$(HC)\perp(AB)$ donc $\overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{HC}=0$. Par Chasles : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}$, d'où :
II · Propriétés du produit scalaireB · Orthogonalité
B — Orthogonalité
Définition 5
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux lorsque les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
Propriété 11 — Caractérisation de l'orthogonalité
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si :
$$\vec{u}\bullet\vec{v} = 0$$
Application pratique
Pour vérifier que deux droites sont perpendiculaires, on calcule le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs et on vérifie qu'il est nul.
II · B · OrthogonalitéExemple 6
Exemple 6 — Orthogonalité
Exemple 6
Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$, on considère les points $A(3;2)$, $B(7;4)$ et $C(5;-2)$.
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC}$.
Que peut-on en déduire pour le triangle $ABC$ ?
II · B · OrthogonalitéCorrection — Exemple 6
Correction — Exemple 6
✓ Correction
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}7-3\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}5-3\\-2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}$
L'ensemble des points $M$ à distance $\dfrac{AB}{2}$ de $I$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$, c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$. $\square$
Concourrance des hauteurs d'un triangle Propriété 15 · L'orthocentre d'un triangle
IV · ApprofondissementsOrthocentre d'un triangle
P15 — Concourrance des hauteurs
Propriété 15 — Orthocentre
Les trois hauteurs d'un triangle $ABC$ sont concourantes.
Leur point de concours est l'orthocentre du triangle, noté $H$.
Rappel
La hauteur issue de $A$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(BC)$.
IV · OrthocentreDémonstration — Propriété 15 (1/2)
Démonstration — Concourrance des hauteurs (1/2)
Démonstration
Notons $H$ l'intersection des hauteurs issues de $A$ et de $B$. Montrons que $(CH)\perp(AB)$, c'est-à-dire que $\overrightarrow{HC}\bullet\overrightarrow{AB}=0$.
Propriété de la hauteur issue de $A$ :
$(AH)\perp(BC)$ donc $\overrightarrow{HA}\bullet\overrightarrow{BC}=0$.
Or $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HC}-\overrightarrow{HB}$, donc :
Or $\overrightarrow{HB}-\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{AB}$, donc :
$\overrightarrow{HC}\bullet\overrightarrow{AB}=0$
Cela signifie que $(CH)\perp(AB)$ : la droite $(CH)$ est donc bien la hauteur issue de $C$.
Les trois hauteurs sont donc concourantes en $H$, qui est l'orthocentre du triangle $ABC$. $\square$
Chapitre 9 · Produit ScalaireSection V
V — Application au langage Python
▸
Exemple 8 Calcul des angles d'un triangle connaissant ses trois côtés — Application des formules d'Al-Kashi
V · PythonExemple 8
Exemple 8 — Script Python
Exemple 8
Le script ci-dessous permet de trouver les angles de $ABC$ en degrés (arrondis à $10^{-3}$), connaissant $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$.
from math import *
defangle(a, b, c):
cosA = (b**2 + c**2 - a**2) / (2*b*c)
A = degrees(acos(cosA))
returnround(A, 3)
>>> angle(5, 7, 9)33.557
Justifier la formule cosA = (b**2 + c**2 - a**2)/(2*b*c).
Compléter la fonction pour qu'elle renvoie les trois angles du triangle.
V · PythonCorrection — Exemple 8
Correction — Exemple 8
✓ Correction
1. Justification : D'après Al-Kashi : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat{A}$, donc :
$$\cos\hat{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$
La fonction calcule $\hat{A}=\arccos(\cos\hat{A})$ converti en degrés. Pour angle(5,7,9) : $a=5$, $b=7$, $c=9$, $\cos\hat{A}=\tfrac{49+81-25}{126}=\tfrac{5}{6}$, $\hat{A}\approx33{,}557°$.
2. Fonction complète :
from math import *
defangle(a, b, c):
cosA = (b**2 + c**2 - a**2) / (2*b*c)
A = degrees(acos(cosA))
cosB = (a**2 + c**2 - b**2) / (2*a*c)
B = degrees(acos(cosB))
cosC = (a**2 + b**2 - c**2) / (2*a*b)
C = degrees(acos(cosC))
returnround(A,3), round(B,3), round(C,3)