Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, toute droite admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+c = 0$ avec $a$ et $b$ réels non simultanément nuls et $c$ réel quelconque.
Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, on considère la droite d'équation $4x -2y + 6 = 0$.
$4\times 0 - 2y + 6 = 0 \;\Leftrightarrow\; -2y = -6 \;\Leftrightarrow\; y = 3.$
Donc pour $x=0$, la solution est $y=3$.
$4x - 2\times 0 + 6 = 0 \;\Leftrightarrow\; 4x = -6 \;\Leftrightarrow\; x = -\dfrac{3}{2}.$
Donc pour $y=0$, la solution est $x=-\dfrac{3}{2}$.
D'après les calculs précédents : $A\!\left(0\,;\,3\right)$ et $B\!\left(-\dfrac{3}{2}\,;\,0\right)$ sont deux points de la droite.
Dire qu'un vecteur $\vec{u}$ non nul est un vecteur directeur d'une droite $d$ signifie qu'il existe deux points $A$ et $B$ distincts de la droite $d$ tels que $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$.
On considère une droite $d$ admettant une équation cartésienne de la forme $ax+by+c = 0$.
Alors la droite $d$ admet le vecteur $\vec{u}\!\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ comme vecteur directeur.
Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, on considère la droite $d$ d'équation $3x+4y-1 = 0$ et la droite $d'$ d'équation $2x-5y-16=0$.
La droite $d$ a pour équation $3x+4y-1=0$, donc $a=3$ et $b=4$. D'après la Propriété 1, un vecteur directeur de $d$ est :
$\vec{u}\!\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix} = \vec{u}\!\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}$
Vérif. : $A(0;\frac{1}{4})\in d$ et $B(-4+0;3+\frac{1}{4})=(-4;\frac{13}{4})\in d$, et $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}$ ✓
La droite $d'$ a pour équation $2x-5y-16=0$, donc $a=2$ et $b=-5$. D'après la Propriété 1, un vecteur directeur de $d'$ est :
$\vec{v}\!\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix} = \vec{v}\!\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$
Si deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont la même direction, on dit qu'ils sont colinéaires.
Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, on considère les vecteurs $\vec{u}\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\!\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$.
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si $x\times y' - x'\times y =0$.
Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, on considère $\vec{u}\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\!\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$.
On appelle déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le réel :
$\det(\vec{u},\vec{v}) = x \times y' - x' \times y$
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec{u},\vec{v})=0$.
Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, on considère la droite $d$ d'équation $3x+4y-1 = 0$ et la droite $d'$ d'équation $2x-5y-16=0$.
On nomme $\vec{u}$ un vecteur directeur de la droite $d$ et $\vec{v}$ un vecteur directeur de la droite $d'$.
D'après l'Exemple 2 : $\vec{u}\!\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\!\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$.
On applique la Propriété 2 : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $x\times y'-x'\times y=0$.
$(-4)\times 2 - 5\times 3 = -8-15 = -23 \neq 0$
Comme $-23\neq 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
$\vec{u}$ est directeur de $d$ et $\vec{v}$ est directeur de $d'$. Comme $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, ils n'ont pas la même direction.
On peut en déduire que les droites $d$ et $d'$ ne sont pas parallèles : elles se coupent en exactement un point.
On cherche le couple $(x;y)$ solution de $\begin{cases}3x+4y=1 \quad\text{(L1)}\\2x-5y=16\quad\text{(L2)}\end{cases}$
On croise les coefficients devant $y$ :
On effectue $-5\times\text{(L1)} - 4\times\text{(L2)} \rightarrow -15x-20y-8x+20y=-5-64$, soit $-23x=-69$, donc $x=3$.
De même on croise les coefficients devant $x$ :
On effectue $2\times\text{(L1)} - 3\times\text{(L2)} \rightarrow 6x+8y-6x+15y=2-48$, soit $23y=-46$, donc $y=-2$.
Vérification dans (L2) : $2\times 3-5\times(-2)=6+10=16$ ✓
La solution du système est $(x\,;\,y)=\mathbf{(3\,;\,-2)}$, qui est aussi le point d'intersection de $d$ et $d'$.
On appelle vecteur normal à une droite $d$, tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de $d$.
Si $\vec{u}$ est directeur de $d$ et $\vec{n}$ est normal à $d$, alors $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$.
Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé, la droite $d$ d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ admet le vecteur $\vec{n}\!\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ comme vecteur normal.
Voir la diapositive suivante. →
Objectif : montrer que $\vec{n}\!\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $d$.
D'après la Propriété 1, la droite $d : ax+by+c=0$ admet le vecteur $\vec{u}\!\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ comme vecteur directeur.
Calculons le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{n}$ :
Donc $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$, ce qui signifie que $\vec{n}$ est orthogonal à $\vec{u}$.
Comme $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $d$ et que $\vec{n}$ lui est orthogonal, par définition $\vec{n}\!\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ est bien un vecteur normal à $d$. $\square$
Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé, on considère la droite $d$ d'équation $3y-2x-1 = 0$.
On réécrit l'équation sous la forme standard $ax+by+c=0$ : $-2x+3y-1=0$, d'où $a=-2$ et $b=3$.
D'après la Propriété 1, les coordonnées de $\vec{u}$ vecteur directeur de $d$ sont :
$\vec{u}\!\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}=\vec{u}\!\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}$
D'après la Propriété 3, les coordonnées de $\vec{n}$ vecteur normal de $d$ sont :
$\vec{n}\!\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\vec{n}\!\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$
On calcule le produit scalaire :
$\vec{u}\cdot\vec{n}=(-3)\times(-2)+(-2)\times 3=6-6=0$
Comme $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$, $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont bien orthogonaux. ✓
Tout multiple non nul d'un vecteur directeur est lui-même un vecteur directeur de la même droite. Deux autres vecteurs directeurs de $d$ sont, par exemple :
$\vec{u}_1\!\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ et $\vec{u}_2\!\begin{pmatrix}-6\\-4\end{pmatrix}$ (car $\vec{u}_1=-\vec{u}$ et $\vec{u}_2=2\vec{u}$)
De même, tout multiple non nul d'un vecteur normal est un vecteur normal de la même droite. Deux autres vecteurs normaux de $d$ sont, par exemple :
$\vec{n}_1\!\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ et $\vec{n}_2\!\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}$ (car $\vec{n}_1=-\vec{n}$ et $\vec{n}_2=2\vec{n}$)
On se place dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé.
$\vec{n}\!\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$ donc $a=2$, $b=-1$. L'équation est de la forme $2x-y+c=0$.
$A(-2\,;\,-1)$ appartient à $d$, donc ses coordonnées vérifient l'équation :
$2\times(-2)-(-1)+c=0 \;\Leftrightarrow\; -4+1+c=0 \;\Leftrightarrow\; c=3$
Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $\mathbf{2x-y+3=0}$.
Vérif. — $A(-2;-1)$ : $2\times(-2)-(-1)+3=0$ ✓
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$ est vecteur directeur de $(AB)$, donc vecteur normal à la droite cherchée. Ainsi $a=3$, $b=-1$. L'équation est de la forme $3x-y+c=0$.
$B(7\,;\,1)$ appartient à la droite, donc :
$3\times 7-1+c=0 \;\Leftrightarrow\; 21-1+c=0 \;\Leftrightarrow\; c=-20$
Une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $B$ est donc $\mathbf{3x-y-20=0}$.
Vérif. — $B(7;1)$ : $3\times 7-1-20=0$ ✓
La médiatrice passe par $I=$ milieu $[AB]=(1\,;\,1)$ et est perpendiculaire à $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$, qui est son vecteur normal. Ainsi $a=6$, $b=4$. L'équation est de la forme $6x+4y+c=0$.
$I(1\,;\,1)$ appartient à la médiatrice, donc :
$6\times 1+4\times 1+c=0 \;\Leftrightarrow\; 10+c=0 \;\Leftrightarrow\; c=-10$
On obtient $6x+4y-10=0$, soit en simplifiant par $2$ :
Une équation cartésienne de la médiatrice de $[AB]$ est donc $\mathbf{3x+2y-5=0}$.
Vérif. — $I(1;1)$ : $3\times 1+2\times 1-5=0$ ✓
Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé, le cercle de centre $\Omega(x_\Omega;y_\Omega)$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $\Omega M^2 = R^2$. Il a pour équation cartésienne :
On se place dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé.
Déterminer une équation cartésienne du cercle de centre $\Omega(2;1)$ et de rayon $3$.
Vérifier à la calculatrice.
D'après la Propriété 4, le cercle de centre $\Omega(2;1)$ et de rayon $3$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $\Omega M^2=R^2$, soit :
En développant : $x^2-4x+4+y^2-2y+1=9$, soit aussi $x^2+y^2-4x-2y-4=0$.
Une équation cartésienne du cercle demandé est donc $\mathbf{(x-2)^2+(y-1)^2=9}$.
Vérif. — Le point $\Omega(2;1)$ est bien le centre car $(2-2)^2+(1-1)^2=0\neq9$ ✓. Par exemple le point $(5;1)$ est sur le cercle : $(5-2)^2+(1-1)^2=9$ ✓.
Soient deux points distincts $A$ et $B$ du plan et $I$ le milieu du segment $[AB]$.
L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}\bullet\overrightarrow{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.
Ce cercle a pour centre $I$ et pour rayon $R=\dfrac{AB}{2}$.
Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé, on considère les points $A(-2;-1)$ et $B(4;3)$.
Donner une équation cartésienne du cercle de diamètre $[AB]$.
D'après la Propriété 5, un point $M(x;y)$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
$\overrightarrow{MA}=\begin{pmatrix}-2-x\\-1-y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{MB}=\begin{pmatrix}4-x\\3-y\end{pmatrix}$, donc :
$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(-2-x)(4-x)+(-1-y)(3-y)$
On développe chaque facteur :
$(-2-x)(4-x)=x^2+2x-4x-8=x^2-2x-8$
$(-1-y)(3-y)=y^2+y-3y-3=y^2-2y-3$
Donc : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=x^2+y^2-2x-2y-11$
L'équation cartésienne du cercle de diamètre $[AB]$ est :
Vérif. par la méthode centre-rayon : $I=$ milieu $[AB]=(1;1)$, $R^2=\frac{AB^2}{4}=\frac{(4-(-2))^2+(3-(-1))^2}{4}=\frac{36+16}{4}=13$.
Équation : $(x-1)^2+(y-1)^2=13$ soit $x^2+y^2-2x-2y-11=0$ ✓
En développant une équation de cercle (défini par un rayon ou par un diamètre), on remarque qu'elle peut s'écrire sous la forme : $x^2+y^2+ax+by+c=0$.
Mais la réciproque n'est pas toujours vraie : une équation de la forme $x^2+y^2+ax+by+c=0$ ne définit pas toujours un cercle.
On complète le carré séparément en $x$ et en $y$ :
$(x^2+2x\mathbf{+1})\mathbf{-1}+(y^2-20y\mathbf{+100})\mathbf{-100}+76=0$
$(x+1)^2+(y-10)^2=1+100-76=25$
L'équation $x^2+y^2+2x-20y+76=0$ est bien l'équation d'un cercle, de centre $\Omega(-1\,;\,10)$ et de rayon $R=5$.
On complète le carré :
$(x^2-2x\mathbf{+1})\mathbf{-1}+(y^2+4y\mathbf{+4})\mathbf{-4}+8=0$
$(x-1)^2+(y+2)^2=1+4-8=-3$
Le membre de droite est $-3<0$, ce qui est impossible pour une somme de deux carrés (qui est toujours $\geq0$).
L'équation $x^2-2x+y^2+4y+8=0$ n'est donc pas l'équation d'un cercle.
On se place dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé. On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega(1;2)$ et de rayon $\sqrt{10}$, et la droite $d$ d'équation $x-2y+4=0$.
Le cercle $\mathcal{C}$ a pour centre $\Omega(1;2)$ et pour rayon $\sqrt{10}$, donc son équation cartésienne est :
On substitue les coordonnées de $A$ dans l'équation du cercle :
$(-2-1)^2+(1-2)^2=(-3)^2+(-1)^2=9+1=10$ ✓
Le point $A(-2;1)$ appartient bien au cercle $\mathcal{C}$.
On substitue dans $x-2y+4=0$ :
$(-2)-2\times 1+4=-2-2+4=0$ ✓
Le point $A(-2;1)$ appartient bien à la droite $d$.
On substitue $x=2y-4$ dans $(x-1)^2+(y-2)^2=10$ :
$(2y-5)^2+(y-2)^2=10$
$\Leftrightarrow\; 4y^2-20y+25+y^2-4y+4=10$
$\Leftrightarrow\;5y^2-24y+19=0$
$\Delta=(-24)^2-4\times5\times19=576-380=196=14^2$
$y_1=\dfrac{24+14}{10}=\dfrac{38}{10}=\dfrac{19}{5}$ ou
$ y_2=\dfrac{24-14}{10}=\dfrac{10}{10}=1$
Pour $y_2=1$ : $x=2\times 1 -4=-2$ → point $A(-2\,;\,1)$ ✓
Pour $y_1=\tfrac{19}{5}$ : $x=2\times\tfrac{19}{5}-4=\tfrac{18}{5}$ → point $B\!\left(\tfrac{18}{5}\,;\,\tfrac{19}{5}\right)$
Les deux points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $d$ sont $A(-2\,;\,1)$ et $B\!\left(\dfrac{18}{5}\,;\,\dfrac{19}{5}\right)$.
On se place dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé. On considère les points $A(1;4)$, $B(5;2)$ et $C(3;0)$.
$AB=\sqrt{(5-1)^2+(2-4)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
$BC=\sqrt{(3-5)^2+(0-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
$AC=\sqrt{(3-1)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
On a $AB=AC=2\sqrt{5}$ et $BC=2\sqrt{2}\neq AB$. Comme deux côtés issus de $A$ sont égaux, le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
La médiatrice de $[BC]$ passe par $I$ milieu de $[BC]$ donc $I\left(4\,;\,1\right)$ et est perpendiculaire à $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}$, et donc admet comme vecteur normal $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ (simplifié par $-2$). On obtient ainsi :
$1x+1y + c =0$, en remplaçant par les coordonnées de $I\left(4\,;\,1\right)$ on obtient $c=-5$
Une équation cartésienne de la médiatrice de $[BC]$ est $\mathbf{x+y-5=0}$.
On substitue $A(1;4)$ dans l'équation de la médiatrice :
$x_A+y_A-5=1+4-5=0$ ✓
Le point $A$ appartient bien à la médiatrice de $[BC]$.
Tout point de la médiatrice de $[BC]$ est équidistant de $B$ et de $C$. On peut donc en déduire que $AB=AC$, ce qui confirme que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
Étant donnés un point $F$ et une droite $\delta$ ne passant pas par $F$, l'ensemble des points $M$ du plan équidistants de $F$ et de $\delta$ est une courbe appelée parabole de foyer $F$ et de directrice $\delta$.
On se place dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé. On considère le point $F(0;1)$ et l'axe des abscisses. Soit $M(x;y)$ un point du plan ; $H(x;0)$ est le pied de la perpendiculaire de $M$ à l'axe.
$H(x;0)$ est le pied de la perpendiculaire menée de $M(x;y)$ à l'axe des abscisses, donc $MH$ est la distance verticale entre $M$ et l'axe.
(Pour un point situé au-dessus de l'axe des abscisses, $y>0$ donc $MH=y$.)
$F$ a pour coordonnées $(0;1)$, donc pour tout point $M(x;y)$ :
En écrivant $MH=MF \Leftrightarrow MH^2=MF^2$ (avec $y\geq0$) :
$y^2=x^2+(y-1)^2 \;\Leftrightarrow\; y^2=x^2+y^2-2y+1 \;\Leftrightarrow\; 0=x^2-2y+1$
$\Leftrightarrow\; 2y=x^2+1$, d'où, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
L'ensemble des points $M$ équidistants de l'axe des abscisses et de $F(0;1)$ a bien pour équation $y=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}$. ✓
On lit directement : $y=\dfrac{1}{2}x^2+\mathbf{0}\times x+\dfrac{1}{2}$, avec $a=\dfrac{1}{2}$, $b=0$, $c=\dfrac{1}{2}$.
L'équation est bien de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=\dfrac{1}{2}\neq0$ ($a>0$ : la parabole est ouverte vers le haut). ✓
On se place dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé. On considère le point $F(0;p)$ avec $p>0$ et l'axe des abscisses.
Soit $M(x;y)$ un point équidistant de l'axe des abscisses et du point $F$.
$MH=|y|=y$ (pour $y>0$) et $MF=\sqrt{x^2+(y-p)^2}$.
En écrivant $MH=MF$ et en prenant les carrés :
$y^2=x^2+(y-p)^2 \;\Leftrightarrow\; y^2=x^2+y^2-2py+p^2 \;\Leftrightarrow\; 0=x^2-2py+p^2$
$\Leftrightarrow\; 2py=x^2+p^2$, d'où, pour tout $x\in\mathbb{R}$ (et $p>0$) :
Tout point $M$ équidistant de l'axe et de $F(0;p)$ vérifie bien cette équation. ✓
On substitue $p=2$ dans la formule générale établie en Q1 :
L'équation de la parabole de foyer $F(0;2)$ et de directrice l'axe des abscisses est $\mathbf{y=\dfrac{x^2}{4}+1}$.
Pour déterminer l'intersection d'une courbe (cercle ou parabole) avec une droite parallèle à un axe, on substitue l'équation de la droite dans l'équation de la courbe, ce qui ramène à la résolution d'une équation du second degré en une inconnue. Le discriminant $\Delta$ permet de conclure :
On se place dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé. On considère le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $(x-1)^2+(y-2)^2=9$ et la droite $d$ d'équation $y=4$ (parallèle à l'axe des abscisses).
On substitue $y=4$ dans l'équation du cercle $(x-1)^2+(y-2)^2=9$ :
$(x-1)^2+(4-2)^2=9 \;\Leftrightarrow\; (x-1)^2+4=9 \;\Leftrightarrow\; (x-1)^2=5$
En développant : $x^2-2x+1-5=0$, d'où l'équation du second degré en $x$ :
$a=1$, $b=-2$, $c=-4$ → $\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times1\times(-4)=4+16=20$
$\Delta=20>0$ : il y a donc deux valeurs distinctes de $x$, ce qui signifie que la droite $d$ d'équation $y=4$ coupe le cercle $\mathcal{C}$ en deux points distincts.
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2+\sqrt{20}}{2}=\dfrac{2+2\sqrt{5}}{2}=1+\sqrt{5}$
$x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-\sqrt{20}}{2}=\dfrac{2-2\sqrt{5}}{2}=1-\sqrt{5}$
Les deux points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $d$ sont :
$P_1\!\left(1+\sqrt{5}\,;\,4\right)$ et $P_2\!\left(1-\sqrt{5}\,;\,4\right)$
Vérif. $P_1$ : $(1+\sqrt{5}-1)^2+(4-2)^2=5+4=9$ ✓
On se place dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé. On considère le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $(x+2)^2+(y-1)^2=4$.
On substitue $x=1$ dans l'équation du cercle $(x+2)^2+(y-1)^2=4$ :
$(1+2)^2+(y-1)^2=4 \;\Leftrightarrow\; 9+(y-1)^2=4$
$\Leftrightarrow\; (y-1)^2=-5$
Équation du second degré :
$y^2-2y+6=0$. $\Delta=4-24=-20$
$\Delta=-20<0$ : cette équation n'a pas de solution réelle.
→ La droite $d'$ d'équation $x=1$ et le cercle $\mathcal{C}$ n'ont aucun point d'intersection.
On substitue $x=-1$ dans l'équation du cercle :
$(-1+2)^2+(y-1)^2=4 \;\Leftrightarrow\; 1+(y-1)^2=4 \;\Leftrightarrow\; (y-1)^2=3$
Équation du second degré : $y^2-2y-2=0$. $\Delta=4+8=12>0$
$y_1=\dfrac{2+\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}$
$y_2=\dfrac{2-\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2-2\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt{3}$
Les deux points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $d''$ sont :
$Q_1\!\left(-1\,;\,1+\sqrt{3}\right)$ et $Q_2\!\left(-1\,;\,1-\sqrt{3}\right)$
Vérif. $Q_1$ : $(-1+2)^2+(1+\sqrt{3}-1)^2=1+3=4$ ✓
On se place dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé. On considère la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2-2x-3$.
On substitue $y=0$ dans l'équation de $\mathcal{P}$ : pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2-2x-3=0$.
$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0$ → deux solutions :
$x_1=\dfrac{2+4}{2}=3 \quad$ ou $\quad x_2=\dfrac{2-4}{2}=-1$
Les deux points d'intersection de $\mathcal{P}$ et de $d_1$ sont $\mathbf{(-1\,;\,0)}$ et $\mathbf{(3\,;\,0)}$.
On substitue $y=5$ : pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2-2x-3=5 \;\Leftrightarrow\; x^2-2x-8=0$.
$\Delta=4+32=36>0$ → deux solutions :
$x_1=\dfrac{2+6}{2}=4 \quad$ ou $\quad x_2=\dfrac{2-6}{2}=-2$
Les deux points d'intersection de $\mathcal{P}$ et de $d_2$ sont $\mathbf{(-2\,;\,5)}$ et $\mathbf{(4\,;\,5)}$.
On substitue $x=3$ dans l'équation de $\mathcal{P}$ : $y=3^2-2\times3-3=9-6-3=0$.
La droite $d_3$ d'équation $x=3$ coupe $\mathcal{P}$ en un unique point d'intersection : $\mathbf{(3\,;\,0)}$.
Remarque : ce point est commun avec la droite $d_1$ : $x=3$ est la droite verticale passant par l'une des racines de la parabole.
On considère le script Python ci-dessous.
from math import * def mystere(a,b,c): L=[] for x in range(-5,6): for y in range(-5,6): if a*x+b*y+c==0: L.append((x,y)) return L
La variable $L$ est initialisée par L=[]. Le type de la variable $L$ est une liste (type list en Python).
L.append((x,y)) ?
L'instruction L.append((x,y)) ajoute l'élément (x,y) à la fin de la liste $L$. L'élément ajouté est un couple ordonné de deux entiers.
mystere ?
La fonction teste tous les couples d'entiers $(x,y)$ avec $x\in\{-5,\ldots,5\}$ et $y\in\{-5,\ldots,5\}$, et ajoute dans $L$ ceux qui vérifient $ax+by+c=0$.
L'objectif de la fonction mystere est de retourner la liste de tous les couples d'entiers $(x,y)$ solutions de l'équation $ax+by+c=0$, c'est-à-dire les points à coordonnées entières situés sur la droite d'équation $ax+by+c=0$.
L'équation $3x-y=4$ s'écrit $3x-y-4=0$, i.e. $a=3$, $b=-1$, $c=-4$.
Pour chaque valeur de $x$ entière, on calcule $y=3x-4$ :
$x=0 : y=-4$ → $(0\,;\,-4)$ $x=1 : y=-1$ → $(1\,;\,-1)$
$x=2 : y=2$ → $(2\,;\,2)$ $x=3 : y=5$ → $(3\,;\,5)$
Quatre couples d'entiers solutions sont donc : $(0;-4)$, $(1;-1)$, $(2;2)$ et $(3;5)$.
Le script ci-dessous permet de déterminer si, dans un repère orthonormé, l'équation $x^2+y^2+ax+by+c=0$ définit un cercle et d'en donner le centre et le rayon.
On obtient en console :
*** Console de processus distant Réinitialisée *** >>> cercle(2,-20,76) cercle de centre : (-1.0, 10.0) et de rayon R = 5.0 >>> cercle(-2,4,8) Cette équation ne définit pas un cercle
from math import * def cercle(a,b,c): if 1/4*(a**2+b**2)-c>=0: xO = -1/2*a yO = -1/2*b R = sqrt(a**2+b**2-4*c)/2 print("cercle de centre : ", (xO,yO), " et de rayon R = ", round(R,3)) else: print("Cette équation ne définit pas un cercle")
L'équation $x^2+y^2+ax+by+c=0$ se réécrit après complétion du carré :
$\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{b}{2}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{4}-c$
Cette équation représente un cercle si et seulement si $\dfrac{a^2+b^2}{4}-c>0$, ce qui explique le test if 1/4*(a**2+b**2)-c >= 0. Dans ce cas, le centre est $\Omega\!\left(-\tfrac{a}{2}\,;\,-\tfrac{b}{2}\right)$ et le rayon $R=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}$.
cercle(2,-20,76)
$a=2$, $b=-20$, $c=76$. On vérifie : $\frac{4+400}{4}-76=101-76=25>0$ → c'est un cercle.
$x_O=-\frac{2}{2}=-1$, $y_O=-\frac{-20}{2}=10$, $R=\frac{\sqrt{4+400-304}}{2}=\frac{\sqrt{100}}{2}=5$.
La console affiche bien : cercle de centre $(-1.0\,;\,10.0)$ et de rayon $R=5.0$. ✓
cercle(-2,4,8)
$a=-2$, $b=4$, $c=8$. On vérifie : $\frac{4+16}{4}-8=5-8=-3<0$ → la condition est fausse.
La console affiche : Cette équation ne définit pas un cercle. ✓
En effet, en complétant le carré : $(x-1)^2+(y+2)^2=-3$, ce qui est impossible puisqu'une somme de carrés est toujours positive ou nulle.