Mathématiques · Première

Chapitre 6

Équation du second degré
Signe du trinôme et inéquations

Discriminant · Factorisation · Signe du trinôme · Python

Chapitre 6 – Second degréPlan

Plan du chapitre

I

Équations du second degré
A. Discriminant · B. Résolution de $ax^2+bx+c=0$

II

Factorisation de $f(x)=ax^2+bx+c$ suivant le signe de $\Delta$

III

Signe de $f(x)=ax^2+bx+c$ suivant le signe de $\Delta$ et de $a$

IV

Application au langage Python

Chapitre 6Section I

I — Équations du second degré

A

Discriminant

B

Résolution de $ax^2+bx+c=0$

I · Équations du second degréA. Discriminant — Définition 1

Discriminant

Définition 1

Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$, on appelle discriminant de $f$ le nombre :

$$\Delta = b^2 - 4\times a \times c$$

Remarque : Le discriminant permet de déterminer le nombre de solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ et de connaître le signe du trinôme.

I.B · RésolutionPropriété 1

Résolution de $ax^2+bx+c=0$

Propriété 1 — Résolution de $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$

On calcule le discriminant : $\Delta=b^2-4\times a\times c$.

Si $\Delta < 0$ : l'équation n'admet pas de solution dans $\mathbb{R}$.
Si $\Delta = 0$ : l'équation admet une unique solution
$$x_0 = -\frac{b}{2\times a}$$
Si $\Delta > 0$ : l'équation admet deux solutions
$$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\times a} \qquad\text{et}\qquad x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\times a}$$

I.B · RésolutionDémonstration — Prop 1

Démonstration — Propriété 1

Démonstration

Faire la démonstration puzzle sur :

www.webclasse.fr → PREMIERE S → SECOND DEGRE

La démonstration repose sur la mise sous forme canonique de $f(x)=ax^2+bx+c$ :

$$f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]$$

On étudie ensuite le signe selon $\Delta$ pour factoriser et trouver les racines. $\square$

I.B · RésolutionExemple 1

Exemple 1

Résoudre chacune des équations ci-dessous. Si cela est nécessaire, calculer $\Delta$ puis appliquer la Propriété 1.

$3 + x^2 - 4x = 0$
$-2x^2 + 5x - 3 = 1$
$x^2 - 8x = 0$

$x^2 - 4 = 0$
$-3x^2 + 4x - 5 = 0$
$x^2 + 1 = 0$

I.B · RésolutionCorrection Exemple 1 — Q1, 2, 3

Correction Exemple 1 (1/2)

✓ Q1 — $x^2-4x+3=0$

$a=1,\ b=-4,\ c=3$

$\Delta=(-4)^2-4\times1\times3=16-12=4>0$

$x_1=\dfrac{4-2}{2}=1 \quad x_2=\dfrac{4+2}{2}=3$

$\mathcal{S}=\{1\,;\,3\}$

✓ Q3 — $x^2-8x=0$

On factorise directement : $x(x-8)=0$

$x=0$ ou $x-8=0$

$\mathcal{S}=\{0\,;\,8\}$

(ou : $a=1,b=-8,c=0$, $\Delta=64$, $x_1=0$, $x_2=8$)

✓ Q2 — $-2x^2+5x-4=0$

On réécrit : $-2x^2+5x-3=1 \Rightarrow -2x^2+5x-4=0$

$a=-2,\ b=5,\ c=-4$

$\Delta=25-4\times(-2)\times(-4)=25-32=-7<0$

$\mathcal{S}=\varnothing$ (pas de solution dans $\mathbb{R}$)

I.B · RésolutionCorrection Exemple 1 — Q4, 5, 6

Correction Exemple 1 (2/2)

✓ Q4 — $x^2-4=0$

On factorise : $(x-2)(x+2)=0$

$x=2$ ou $x=-2$

$\mathcal{S}=\{-2\,;\,2\}$

(ou : $a=1,b=0,c=-4$, $\Delta=16$, $x_1=-2$, $x_2=2$)

✓ Q5 — $-3x^2+4x-5=0$

$a=-3,\ b=4,\ c=-5$

$\Delta=16-4\times(-3)\times(-5)=16-60=-44<0$

$\mathcal{S}=\varnothing$

✓ Q6 — $x^2+1=0$

$a=1,\ b=0,\ c=1$

$\Delta=0-4\times1\times1=-4<0$

$\mathcal{S}=\varnothing$

En effet $x^2\geq0$ donc $x^2+1\geq1>0$ pour tout $x$.

Chapitre 6Section II

II — Factorisation de $f(x)=ax^2+bx+c$

Factorisation suivant le signe du discriminant $\Delta$.

II · FactorisationPropriété 2

Factorisation de $f(x)=ax^2+bx+c$

Propriété 2 — Factorisation suivant le signe de $\Delta$

On calcule le discriminant : $\Delta=b^2-4\times a\times c$.

Si $\Delta < 0$ : pas de factorisation possible.
Si $\Delta = 0$ :
$$f(x)=a(x-x_0)^2 \quad\text{où } x_0 \text{ est l'unique racine de } f.$$
Si $\Delta > 0$ :
$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) \quad\text{où } x_1 \text{ et } x_2 \text{ sont les racines de } f.$$

II · FactorisationExemple 2

Exemple 2

Si cela est possible, factoriser les fonctions polynômes de degré 2 suivantes :

$f(x)=3+x^2-4x$
$g(x)=-2x^2+5x-3$
$h(x)=x^2-8x$
$k(x)=x^2-4$

$m(x)=-3x^2+4x-5$
$n(x)=x^2+1$
$p(x)=-5x^2+30x-45$

II · FactorisationCorrection Exemple 2 — 1 à 4

Correction Exemple 2 (1/2)

✓ Q1 — $f(x)=x^2-4x+3$

$\Delta=16-12=4>0$, $x_1=1$, $x_2=3$

$f(x)=(x-1)(x-3)$

✓ Q2 — $g(x)=-2x^2+5x-3$

$a=-2,b=5,c=-3$ : $\Delta=25-24=1>0$

$x_1=\dfrac{-5-1}{-4}=\dfrac{3}{2}$... attendre : $x_1=\dfrac{-5-1}{2\times(-2)}=\dfrac{-6}{-4}=\dfrac{3}{2}$, $x_2=\dfrac{-5+1}{-4}=1$

$x_1=1 < x_2=\frac{3}{2}$, donc :

$g(x)=-2(x-1)\!\left(x-\tfrac{3}{2}\right)$

✓ Q3 — $h(x)=x^2-8x$

$\Delta=64>0$, $x_1=0$, $x_2=8$

$h(x)=x(x-8)$

✓ Q4 — $k(x)=x^2-4$

$\Delta=16>0$, $x_1=-2$, $x_2=2$

$k(x)=(x+2)(x-2)$

II · FactorisationCorrection Exemple 2 — 5, 6, 7

Correction Exemple 2 (2/2)

✓ Q5 — $m(x)=-3x^2+4x-5$

$a=-3,b=4,c=-5$ : $\Delta=16-60=-44<0$

Pas de factorisation possible.

✓ Q6 — $n(x)=x^2+1$

$a=1,b=0,c=1$ : $\Delta=-4<0$

Pas de factorisation possible.

✓ Q7 — $p(x)=-5x^2+30x-45$

$a=-5,b=30,c=-45$

$\Delta=900-4\times(-5)\times(-45)=900-900=0$

$x_0=\dfrac{-30}{2\times(-5)}=\dfrac{-30}{-10}=3$

$p(x)=-5(x-3)^2$

Chapitre 6Section III

III — Signe de $f(x)=ax^2+bx+c$

Faire l'activité sur : www.webclasse.fr → PREMIERE S → SECOND DEGRE

Signe suivant le signe de $\Delta$ et de $a$ : six configurations.

III · Signe du trinômeAnimation — $a>0$, $\Delta>0$

Signe de $f(x)$ — cas $a>0$, $\Delta>0$

La parabole ouvre vers le haut ($a>0$).

Elle coupe l'axe en $x_1$ et $x_2$ ($\Delta>0$).

$f(x)>0$ à l'extérieur des racines
$f(x)<0$ entre les racines

III · Signe du trinômeAnimation — $a<0$, $\Delta>0$

Signe de $f(x)$ — cas $a<0$, $\Delta>0$

La parabole ouvre vers le bas ($a<0$).

Elle coupe l'axe en $x_1$ et $x_2$ ($\Delta>0$).

$f(x)<0$ à l'extérieur des racines
$f(x)>0$ entre les racines

III · Signe du trinômePropriété 3 — cas $a>0$

Signe de $f(x)$ — cas $a>0$

$\Delta < 0$

$\Delta = 0$

$\Delta > 0$

$a>0$

Règle mnémotechnique : Le signe de $f(x)$ est le signe de $a$ à l'extérieur des racines. Entre les racines (quand $\Delta>0$), le signe est opposé à celui de $a$.

III · Signe du trinômePropriété 3 — cas $a<0$

Signe de $f(x)$ — cas $a<0$

$\Delta < 0$

$\Delta = 0$

$\Delta > 0$

$a<0$

Compléter le tableau par les factorisations possibles.

Règle : signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe opposé entre les racines.

III · Signe du trinômePropriété 4

Signe de $f(x)=ax^2+bx+c$ — Propriété 4

Propriété 4

Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x$.

Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$, nul en $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.

Si $\Delta > 0$ : $f$ s'annule en $x_1$ et $x_2$, signe de $a$ à l'extérieur, signe opposé entre, tableau dans le cas où $x_1 < x_2$ :

Remarque 1

On retient facilement ces tableaux en se rappelant qu'on place le signe de $a$ à l'extérieur des racines.

III · Signe du trinômeExemple 3

Exemple 3

Dresser le tableau de signes des fonctions polynômes de degré 2 suivantes :

$f(x)=3+x^2-4x$
$g(x)=-2x^2+5x-3$
$h(x)=x^2-8x$

$k(x)=x^2-4$
$m(x)=-3x^2+4x-5$
$n(x)=x^2+1$

III · Signe du trinômeCorrection Exemple 3 — Q1, 2, 3

Correction Exemple 3 (1/2)

✓ Q1 — $f(x)=x^2-4x+3$, $a=1>0$, $\Delta=4>0$, $x_1=1$, $x_2=3$

✓ Q2 — $g(x)=-2x^2+5x-3$, $a=-2<0$, $\Delta=1>0$, $x_1=1$, $x_2=\frac{3}{2}$

✓ Q3 — $h(x)=x^2-8x$, $a=1>0$, $\Delta=64>0$, $x_1=0$, $x_2=8$

III · Signe du trinômeCorrection Exemple 3 — Q4, 5, 6

Correction Exemple 3 (2/2)

✓ Q4 — $k(x)=x^2-4$, $a=1>0$, $\Delta=16>0$, $x_1=-2$, $x_2=2$

✓ Q5 — $m(x)=-3x^2+4x-5$, $a=-3<0$, $\Delta=-44<0$

✓ Q6 — $n(x)=x^2+1$, $a=1>0$, $\Delta=-4<0$

III · Signe du trinômeExercice de référence

Exercice type 1

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=3x^3+3x^2-12x-12$.

Calculer $g(2)$.
Déterminer 3 réels $a$, $b$ et $c$ tels que $g(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)$.
Résoudre l'équation $g(x)=0$.

III · Signe du trinômeCorrection de référence (1/3)

Correction — Exercice de référence

✓ Q1 — Calcul de $g(2)$

$g(2)=3\times2^3+3\times2^2-12\times2-12=24+12-24-12=0$

Donc $2$ est une racine de $g$, et $(x-2)$ est un facteur de $g(x)$.

✓ Q2 — Identification des coefficients

On cherche $a$, $b$, $c$ tels que :

Pour tout réel $x \quad : \quad \underbrace{3x^3+3x^2-12x-12}_{g(x)} = (x-2)(\textcolor{#1d4ed8}{a}x^2+\textcolor{#b91c1c}{b}x+\textcolor{#059669}{c})$

On développe le membre de droite :

$\underbrace{3x^3+3x^2-12x-12}_{g(x)} = \textcolor{#1d4ed8}{a}x^3+\textcolor{#b91c1c}{b}x^2+\textcolor{#059669}{c}x-2\textcolor{#1d4ed8}{a}x^2-2\textcolor{#b91c1c}{b}x-2\textcolor{#059669}{c}$

$\underbrace{3x^3+3x^2-12x-12}_{g(x)} = \textcolor{#1d4ed8}{a}x^3+(\textcolor{#b91c1c}{b}-2\textcolor{#1d4ed8}{a})x^2+(\textcolor{#059669}{c}-2\textcolor{#b91c1c}{b})x-2\textcolor{#059669}{c}$

III · Signe du trinômeCorrection de référence (2/3)

Correction — Exercice de référence

✓ Q2 — Identification des coefficients

On cherche $a$, $b$, $c$ tels que :

Pour tout réel $x : $ $\underbrace{3x^3+3x^2-12x-12}_{g(x)} = \textcolor{#1d4ed8}{a}x^3+(\textcolor{#b91c1c}{b}-2\textcolor{#1d4ed8}{a})x^2+(\textcolor{#059669}{c}-2\textcolor{#b91c1c}{b})x-2\textcolor{#059669}{c}$

Par identification des coefficients de même degré :

Degré 3 : $\textcolor{#1d4ed8}{a}=3$

$\Rightarrow \textcolor{#1d4ed8}{a}=3$

Degré 2 : $\textcolor{#b91c1c}{b}-2\times\textcolor{#1d4ed8}{a}=3 \iff \textcolor{#b91c1c}{b}-2\times\textcolor{#1d4ed8}{3}=3$

$\Rightarrow \textcolor{#b91c1c}{b}=9$

Degré 0 : $-2\times\textcolor{#059669}{c}=-12$

$\Rightarrow \textcolor{#059669}{c}=6$

$$\forall x\in \mathbb{R} \quad : \quad g(x)=(x-2)(\textcolor{#1d4ed8}{3}x^2+\textcolor{#b91c1c}{9}x+\textcolor{#059669}{6})$$

III · Signe du trinômeCorrection Exercice de référence (3/3)

Correction — Exercice de référence (suite)

Rappel

Pour tout réel $x \quad : \quad g(x)=(x-2)(3x^2+9x+6)=3(x-2)(x^2+3x+2)$

✓ Q3 — Résolution de $g(x)=0$

$g(x)=0 \Leftrightarrow (x-2)\underbrace{(x^2+3x+2)}_{\text{trinôme à résoudre}}=0$

Résolution de $x^2+3x+2=0$ :

$a=1,\quad b=3,\quad c=2$ donc $\Delta = 3^2 - 4\times1\times2 = 1 > 0$

$x_1 = \dfrac{-3-\sqrt{1}}{2\times1}=\dfrac{-4}{2}=-2$ $\qquad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{1}}{2\times1}=\dfrac{-2}{2}=-1$

Donc : $x^2+3x+2=(x+2)(x+1)$

On obtient la factorisation complète :

$$g(x)=3(x-2)(x+1)(x+2)$$

$g(x)=0 \Leftrightarrow x-2=0$ ou $x+1=0$ ou $x+2=0$

$$\mathcal{S}=\{-2\;;\;-1\;;\;2\}$$

Chapitre 6Section IV

IV — Application au langage Python

Script permettant de résoudre $ax^2+bx+c=0$ en Python.

IV · PythonExemple 4

Exemple 4 — Résolution en Python

Le script ci-dessous donne les solutions de $ax^2+bx+c=0$ arrondies à $10^{-3}$.

Si nécessaire, remplacer la ligne 4 par :
delta = round(b**2-4*a*c, 16)

Résultats :

>>> sol(1,-4,4)
2.0
>>> sol(1,0,-5)
(-2.236, 2.236)
>>> sol(1,1,1)
'pas de solution'

from math import *

def sol(a,b,c):
    delta = b**2-4*a*c
    if delta < 0:
        return "pas de solution"
    elif delta == 0:
        x0 = -b/(2*a)
        return round(x0,3)
    else:
        x1 = (-b-sqrt(delta))/(2*a)
        x2 = (-b+sqrt(delta))/(2*a)
        return round(x1,3),round(x2,3)