Définir une suite $(U_n)$ par une formule de récurrence, c'est donner :
Soit la suite $(U_n)$ définie pour tout entier $n$ par :
$\left\{ \begin{array}{l} U_0 = 3 \\ U_{n+1} = -2U_n - 5 \end{array} \right.$
Calculer les 5 premiers termes de cette suite.
$U_0 = 3$
$U_1 = -2\times 3 - 5 = -11$
$U_2 = -2\times(-11) - 5 = 17$
$U_3 = -2\times 17 - 5 = -39$
$U_4 = -2\times(-39) - 5 = 73$
Soit $(U_n)$ définie par : $\left\{ \begin{array}{l} U_0 = 9 \\ U_{n+1} = \sqrt{U_n + 2} \end{array} \right.$
$U_0=9$, $U_1=\sqrt{11}\approx 3{,}32$, $U_2=\sqrt{5{,}32}\approx 2{,}31$
La suite semble décroissante et converge vers la valeur fixe $\ell$ telle que $\ell = \sqrt{\ell+2}$, i.e. $\ell^2=\ell+2 \Rightarrow \ell=2$.
La limite conjecturée est $2$ (intersection de $y=\sqrt{x+2}$ et $y=x$).
Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même réel : la raison $R$.
$U_{n+1} = U_n + R$
Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on vérifie que $U_{n+1} - U_n$ est constant (ne dépend pas de $n$).
1) Pour tout entier $n$ : $U_{n+1} - U_n = (U_n - 4) - U_n = -4$.
Cette différence est constante et ne dépend pas de $n$, donc $(U_n)$ est arithmétique de raison $R = -4$.
2) $U_0=2$, $U_1=2\times 2+6=10$, $U_2=2\times 10+6=26$, $U_3=2\times 26+6=58$.
$U_1-U_0=8$, $U_2-U_1=16$. Comme $8\neq 16$, la différence n'est pas constante.
Donc $(U_n)$ n'est pas arithmétique.
1) Pour tout entier $n$ : $U_{n+1} - U_n = \bigl(-3(n+1)+5\bigr) - (-3n+5) = -3n-3+5+3n-5 = -3$.
Cette différence est constante et ne dépend pas de $n$, donc $(U_n)$ est arithmétique de raison $R = -3$.
2) $U_0=0$, $U_1=1$, $U_2=4$, $U_3=9$.
$U_1-U_0=1$, $U_2-U_1=3$. Comme $1\neq 3$, la différence n'est pas constante.
Donc $(U_n)$ n'est pas arithmétique.
Soit $(U_n)$ arithmétique de raison $R$ :
Suite arithmétique de premier terme $U_0$ et de raison $R$ :
$U_n = U_0 + n\times R$
Plus généralement, pour $n > p$ :
$U_n = U_p + (n-p)\times R$
Terme cherché = terme donné + (différence des rangs) × raison
Par définition : $U_1 = U_0 + R$, $U_2 = U_1 + R = U_0 + 2R$, $U_3 = U_0 + 3R$, …
En appliquant $n$ fois la relation $U_{k+1} = U_k + R$ :
$U_n = U_0 + \underbrace{R + R + \cdots + R}_{n\,\text{fois}} = U_0 + n\times R$
De même $U_n - U_p = (U_0 + nR) - (U_0 + pR) = (n-p)R$, d'où $U_n = U_p + (n-p)R$.
$(U_n)$ est arithmétique avec $U_0=4$ et $R=-5$. Calculer $U_{17}$.
$(U_n)$ est arithmétique avec $U_1=-2$ et $R=3$. Calculer $U_{17}$ puis donner la formule explicite.
Exo 1 : $U_{17} = U_0 + 17\times R = 4 + 17\times(-5) = 4 - 85 = \mathbf{-81}$
Exo 2 : $U_{17} = U_1 + (17-1)\times R = -2 + 16\times 3 = -2 + 48 = \mathbf{46}$
Formule : $U_n = U_1 + (n-1)\times 3 = -2 + 3(n-1) = 3n - 5$. Donc $U_n = 3n - 5$.
Pour tout entier naturel $n$ non nul :
$1+2+3+\dots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$
Posons $S = 1+2+3+\dots+n$.
En écrivant $S$ à l'endroit et à l'envers :
$S = 1\phantom{\ +\ n} + 2\phantom{\ +\ (n-1)} + \dots + n$
$S = n\phantom{\ +\ 1} + (n-1)\phantom{\ +\ 2} + \dots + 1$
En additionnant terme à terme : $2S = (n+1)+(n+1)+\dots+(n+1) = n\times(n+1)$
Donc $S = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
Calculer la somme $1+2+3+4+\dots+100$.
$S = 1+2+\dots+100 = \dfrac{100\times 101}{2} = \dfrac{10100}{2} = \mathbf{5050}$
Soit $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0$ et de dernier terme $u_n$.
La somme des $n$ premiers termes est :
$S_n = u_0+u_1+\dots+u_n = \dfrac{(n+1)\,(u_0+u_n)}{2}$
$S_n = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$
Calculer la somme $2+7+12+17+\dots+397+402$.
On écrit $S = u_1 ++\dots+u_n$,
où $(u_n)$ est la suite arithmétique telle que $u_1=2$, $r=5$, $u_n=402$.
$u_n= u_1+(n-1)\times r=402$.
$u_n = 2+(n-1)\times 5 = 402 \Rightarrow (n-1)\times 5=400 \Rightarrow n=81$ termes.
$S = \dfrac{81\times(2+402)}{2} = \dfrac{81\times 404}{2} = 81\times 202 = \mathbf{16362}$
Une suite est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même réel : la raison $q$.
$U_{n+1} = q\times U_n$
Pour démontrer qu'une suite est géométrique, on vérifie que $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}$ est constant.
1) Pour tout entier $n$ (avec $U_n \neq 0$) : $\dfrac{U_{n+1}}{U_n} = \dfrac{4U_n}{U_n} = 4$.
Ce quotient est constant et ne dépend pas de $n$, donc $(U_n)$ est géométrique de raison $q = 4$.
2) $U_0=2$, $U_1=10$, $U_2=26$, $U_3=58$.
$\dfrac{U_1}{U_0}=5$, $\dfrac{U_2}{U_1}=2{,}6$. Comme $5\neq 2{,}6$ le quotient n'est pas constant.
Donc $(U_n)$ n'est pas géométrique.
1) Pour tout entier $n$ : $\dfrac{U_{n+1}}{U_n} = \dfrac{2\times 5^{n+1}}{2\times 5^n} = \dfrac{5^{n+1}}{5^n} = 5$.
Ce quotient est constant et ne dépend pas de $n$, donc $(U_n)$ est géométrique de raison $q = 5$.
2) $U_1=1$, $U_2=4$, $U_3=9$, $U_4=16$.
$\dfrac{U_2}{U_1}=4$, $\dfrac{U_3}{U_2}=\dfrac{9}{4}=2{,}25$. Comme $4\neq 2{,}25$ le quotient n'est pas constant.
Donc $(U_n)$ n'est pas géométrique.
Soit $(q^n)$ une suite géométrique de raison $q > 0$ :
Suite géométrique de premier terme $U_0$ et de raison $q$ :
$U_n = U_0 \times q^n$
Pour $n > p$ :
$U_n = U_p \times q^{n-p}$
Terme cherché = terme donné × raison$^{\text{différence des rangs}}$
$U_1 = q\times U_0$, $U_2 = q\times U_1 = q^2\times U_0$, $U_3 = q^3\times U_0$, …
En appliquant $n$ fois la relation $U_{k+1} = q\times U_k$ :
$U_n = \underbrace{q\times q\times\cdots\times q}_{n\,\text{fois}}\times U_0 = U_0\times q^n$
De même $U_n = U_0\times q^n$ et $U_p = U_0\times q^p$, donc $U_n = U_p\times q^{n-p}$.
$(U_n)$ est géométrique avec $U_0=4$ et $q=2$. Calculer $U_{14}$.
$(U_n)$ est géométrique avec $U_1=-2$ et $q=3$. Calculer $U_{14}$ puis donner la formule explicite.
Exo 1 : $U_{14} = U_0\times q^{14} = 4\times 2^{14} = 4\times 16384 = \mathbf{65536}$
Exo 2 : $U_{14} = U_1\times q^{13} = -2\times 3^{13} = -2\times 1594323 = \mathbf{-3188646}$
Formule : $U_n = U_1\times q^{n-1} = -2\times 3^{n-1}$, soit $U_n = -\dfrac{2}{3}\times 3^n$.
Pour tout réel $a$, la suite $(U_n)$ de terme général $U_n = e^{na}$ est une suite géométrique.
Preuve :Pour tout entier $n$,on a $\dfrac{U_{n+1}}{U_n} = \dfrac{e^{(n+1)a}}{e^{na}} = e^a$. Constant → géométrique de raison $e^a$.
Pour tout entier $n \geq 1$ et tout réel $q \neq 1$ :
$1+q+q^2+\dots+q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$= \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$
Posons $S = 1+q+q^2+\dots+q^n$.
$qS = q+q^2+\dots+q^n+q^{n+1}$
$S - qS = 1 - q^{n+1}$
$S(1-q) = 1-q^{n+1}$
Comme $q\neq 1$ : $S = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Calculer $S = 1+2+2^2+2^3+\dots+2^{10}$.
Soit $(u_n)$ géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q\neq 1$. La somme des $n+1$ premiers termes est :
$S = u_0+u_1+\dots+u_n = u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
1) $(u_n)$ est une suite géométrique, telle que $u_0=5$, $q=3$. Calculer $S = u_0+u_1+\dots+u_9$.
2) Ecrire un programme python permettant de calculer cette somme (en utilisant une boucle for)
Exo 1 : $S = \dfrac{1-2^{11}}{1-2} = \dfrac{1-2048}{-1} = \mathbf{2047}$
Exo 2 : $S = 5\times\dfrac{1-3^{10}}{1-3} = 5\times\dfrac{1-59049}{-2} = 5\times\dfrac{59048}{2} = 5\times 29524 = \mathbf{147620}$
Écrire un programme Python permettant de calculer $S = u_0+u_1+\dots+u_9$ où $(u_n)$ est géométrique avec $u_0=5$ et $q=3$.
On initialise $S$ à $5$ et $u$ à $u_0 = 5$.
À chaque itération, on calcule le terme suivant en multipliant par $q=3$ et on l'ajoute à $S$.
def somme_geo(): S = 5 u = 5 for k in range(n + 1): u = u * 3 S = S + u return S # Calcul de u0+u1+...+u9 resultat = somme_geo() print(resultat)
Résultat affiché : $147\,620$, cohérent avec la formule.
« Un accroissement de 2 % par an peut sembler faible, il correspond pourtant à un doublement en 35 ans, donc à un quadruplement en 70 ans. » — A. Jacquard
def temps(t): q = 1 + t n = 0 while q**n < ...: n = ... return n
1) $q = 1{,}02$ (augmentation de 2 %)
2) $U_{35}=1{,}02^{35}\approx 1{,}99$ $U_{70}\approx 3{,}97$ $U_{100}\approx 7{,}24$
3) Doublement en 35 ans : $\approx 1{,}99$ ✓ Quadruplement en 70 ans : $\approx 3{,}97$ ✓ ×7 en moins d'un siècle : $\approx 7{,}24$ ✓
5) À 10 % : $q=1{,}1$. On calcule $U_7 = 1{,}1^7 \approx 1{,}95 < 2$ et $U_8 = 1{,}1^8 \approx 2{,}14 > 2$.
Donc il faut 8 ans pour doubler la population.
def temps(t): q = 1 + t n = 0 while q**n < 2: n = n + 1 return n