Une suite numérique est une liste de nombres « numérotés » avec les nombres entiers naturels soit à partir de 0, soit à partir de 1.
Une suite $U$ est une fonction définie sur l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels.
L'image de l'entier naturel $n$ par la suite $U$, notée $U(n)$ ou $U_n$ est appelée terme d'indice $n$ (ou de rang $n$) de la suite.
L'ensemble des termes de la suite sera noté $(U_n)$.
On dit que la suite $(U_n)$ est définie de manière explicite lorsque connaissant $n$ on peut calculer directement le terme $U_n$ en fonction de son rang $n$.
Lorsque pour tout entier $n$, le terme $U_n$ s'exprime directement en fonction de son rang $n$, on dit que la suite $(U_n)$ est définie à l'aide d'une formule explicite.
Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite de nombres $(U_n)$ par son terme général $U_n=\sqrt{n^2+9}$.
Pour l'entier $n=4$ on peut calculer directement $U_4=\ldots$
Cela marche pour tout $n\in\mathbb{N}$ donc la suite $(U_n)$ est donnée de manière explicite !
Pour $n=4$ : $U_4=\sqrt{4^2+9}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
On peut calculer directement $U_4=5$ sans avoir besoin de connaître les termes précédents.
De même, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $U_n=\sqrt{n^2+9}$ s'obtient directement en fonction de $n$ : la suite $(U_n)$ est bien donnée de manière explicite.
On considère la suite : $1\,;\,5\,;\,13\,;\,29\,;\,61\,;\,125\,;\,253\,;\,509\ldots$
On a calculé les huit premiers termes. Quel est le centième terme ?
On considère la suite : $1\,;\,5\,;\,13\,;\,29\,;\,61\,;\,125\,;\,253\,;\,509\ldots$
Le calcul serait très long car il faudrait calculer le huitième, puis le neuvième, …, jusqu'au 99° et 100° terme.
La suite n'est pas définie de manière explicite car nous n'avons pas de formule qui permette d'obtenir directement le résultat.
On connaît : $\begin{cases} \text{Le premier terme } U_0=1\\ \text{Un terme est égal à deux fois le précédent} + 3 \end{cases}$
On écrira : $\begin{cases} U_0=1\\ U_{n+1}=2\times U_n+3 \end{cases}$
Définir une suite $(U_n)$ par une formule de récurrence, c'est donner la valeur du terme initial ($U_0$ par exemple) et un procédé qui permet de calculer un terme à partir de celui qui le précède ($U_{n+1}$ à partir de $U_n$).
En général $U_{n+1}\neq U_n+1$ : $U_{n+1}$ est le terme de rang $n+1$ alors que $U_n+1$ est le terme de rang $n$ auquel on ajoute $1$.
Dans la suite $1\,;\,5\,;\,13\,;\,29\,;\,61\,;\,125\,;\,253\,;\,509\ldots$ avec $n=2$, $U_{2+1}=U_3=\ldots$ alors que $U_2+1=\ldots$
Dans la suite $1\,;\,5\,;\,13\,;\,29\,;\ldots$ avec $n=2$ :
$U_{2+1}=U_3=\mathbf{29}$ (le terme de rang 3)
$U_2+1=13+1=\mathbf{14}$ (le terme de rang 2 auquel on ajoute 1)
$29\neq 14$ : et donc $U_{2+1}\neq U_2+1$. ✓
Soit la suite $(U_n)$ définie par $\begin{cases}U_0=3\\U_{n+1}=2U_n-1\end{cases}$
Calculer les quatre premiers termes $U_0$, $U_1$, $U_2$ et $U_3$ de la suite.
$U_0=3$ (donné)
$U_1=2\times U_0-1=2\times3-1=6-1=\mathbf{5}$
$U_2=2\times U_1-1=2\times5-1=10-1=\mathbf{9}$
$U_3=2\times U_2-1=2\times9-1=18-1=\mathbf{17}$
Dans un repère du plan, la représentation graphique de la suite $(U_n)$ est l'ensemble des points de coordonnées $(n\,;\,U_n)$ où $n$ décrit les entiers naturels.
La suite $(U_n)$, définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $U_n=n^2$ a pour représentation graphique le nuage de points ci-contre.
Les coordonnées des points obtenus sont $(0;0)$, $(1;1)$, $(2;4)$, $(3;9)$, $(4;16)$,$(5;25)$,…
Certaines suites ne sont ni croissantes ni décroissantes. Par exemple, la suite $(U_n)$ définie par son terme général $U_n=(-2)^n$ où deux termes consécutifs sont de signes opposés.
Pour étudier le sens de variation d'une suite $(U_n)$, on peut étudier le signe de $U_{n+1}-U_n$ :
Étudier les variations des suites suivantes :
On calcule $u_{n+1}-u_n$ : d'après la formule de récurrence, $u_{n+1}=u_n+n^2$, donc :
$u_{n+1}-u_n=n^2$
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n^2\geq0$, donc $u_{n+1}-u_n\geq0$. La suite $(u_n)$ est croissante.
Pour $n=0$ : $n^2=0$, la suite est stationnaire entre $u_0$ et $u_1$ ($u_1-u_0=0$), et strictement croissante pour $n\geq1$.
$v_{n+1}-v_n=[-3(n+1)+2]-(-3n+2)=-3n-3+2+3n-2=-3$
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}-v_n=-3<0$. La suite $(v_n)$ est strictement décroissante.
Pour étudier le sens de variation d'une suite $(U_n)$, dont les termes sont strictement positifs, on peut comparer le quotient $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}$ avec $1$ :
$U_0=10>0$ et $U_{n+1}=1{,}05\times U_n$, donc tous les termes sont strictement positifs.
$\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=1{,}05>1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
La suite $(U_n)$ est strictement croissante.
$V_n=3\times5^n>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
$\dfrac{V_{n+1}}{V_n}=\dfrac{3\times5^{n+1}}{3\times5^n}=5>1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
La suite $(V_n)$ est strictement croissante.
Pour étudier le sens de variation d'une suite $(U_n)$, définie par une formule explicite $U_n=f(n)$ où $f$ est une fonction définie sur $[0\,;\,+\infty[$, on peut étudier les variations de la fonction $f$ :
Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_n=n^2-5n$ pour $n\geq0$.
Les termes semblent dépasser n'importe quel seuil à partir d'un certain rang. Par exemple à partir du rang $n=31626$, tous les termes dépassent un milliard.
Nous disons que la suite $(U_n)$ tend vers $+\infty$, ce qui s'écrit $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n=+\infty$.
Lorsque les termes de $(U_n)$ restent au-dessus de n'importe quel seuil à partir d'un certain rang, on dira que $(U_n)$ tend vers $+\infty$ :
Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_n=8-12n$ pour $n\geq0$.
Un tableau de valeurs obtenu à la calculatrice montre que les termes de cette suite semblent tendre vers $-\infty$.
Nous disons que la suite $(U_n)$ tend vers $-\infty$, ce qui s'écrit $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n=-\infty$.
Lorsque les termes de $(U_n)$ restent en-dessous de n'importe quel seuil à partir d'un certain rang, on dira que $(U_n)$ tend vers $-\infty$ :
Considérons la suite $(U_n)$ définie par $U_n=3-\dfrac{1}{n}$ pour $n\geq1$.
Les valeurs de $(U_n)$ se rapprochent de $3$ lorsque $n$ tend vers l'infini. La limite de $(U_n)$ est $3$ : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=3$
Lorsque les termes de $(U_n)$ se rapprochent d'un nombre réel $L$, on dira que $(U_n)$ converge vers $L$ :
Le couloir $[L-\varepsilon\,;\,L+\varepsilon]$ rétrécit → les termes restent dedans à partir d'un certain rang
Une suite $(U_n)$ est divergente, lorsqu'elle n'est pas convergente (ce qui inclut le cas où sa limite est infinie).
La suite $(U_n)$ définie par $U_n=(-1)^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ alterne entre $-1$ et $1$.
Elle ne se rapproche ni d'un nombre fini, ni de l'infini. La suite $(U_n)$ n'a pas de limite, elle est divergente.
Le script ci-dessous permet de générer très facilement les termes $U_0$ à $U_9$ de la suite définie pour tout entier $n$ par $U_n=n^2+3$ :
On obtiendra en console les termes de cette suite, par exemple $U_3$ :
U = [n**2 + 3 for n in range(0,10)]
*** Console de processus distant Réinitialisée *** >>> U [3, 4, 7, 12, 19, 28, 39, 52, 67, 84] >>> U[3] 12
Calcul d'un terme de la suite $(U_n)$ définie par $\begin{cases}U_0=2\\U_{n+1}=3\times U_n+5\end{cases}$
On obtiendra en console les termes de cette suite et par exemple $U_2$ :
U = [2] #la liste est initialisée for n in range(10): U = U + [3*U[n]+5]
*** Console de processus distant Réinitialisée *** >>> U [2, 11, 38, 119, 362, 1091, 3278, 9839, 29522, 88571, 265718] >>> U[2] 38
Calcul d'un terme de la suite $(U_n)$ définie par $\begin{cases}U_0=2\\U_{n+1}=3\times U_n+5\end{cases}$
On veut trouver le plus petit entier $n$ pour lequel $U_n\geq1000$.
Sans exécuter le code ci-contre, compléter le tableau de variables avec les valeurs obtenues pour l'exécution test(1000) en console.
Application : Un laboratoire pharmaceutique met en culture une colonie de bactéries E. coli comptant 5 milliers d'individus à midi. Le technicien de laboratoire estime qu'à chaque minute le nombre de bactérie augmente de 5 %. À quelle heure la colonie dépassera les 10 000 individus ?
def test(seuil): U = 2 n = 0 while U < seuil : U = 3*U + 5 n = n + 1 return n
La suite $(U_n)$ est définie par son terme général $U_n=2n^2+3$.
Le script ci-contre se compose de deux fonctions. La première permet de renvoyer pour tout entier $n$ le terme $U_n$ et la seconde somme(n) permet de renvoyer la somme $S=U_0+U_1+U_2+\ldots+U_n$.
On obtient en console la valeur de la somme $S=U_0+U_1+U_2+U_3$ :
*** Console de processus distant Réinitialisée *** >>> somme(3) 40
def U(n): return 2*n**2+3 def somme(n): S = 0 for i in range(0,n+1): S = S + U(i) return S
La « suite de Syracuse » est une suite classique en mathématiques. On part d'un nombre entier plus grand que zéro appelé graine.
En répétant l'opération, on obtient une suite d'entiers positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur. Par exemple, à partir de 7, on obtient la suite des nombres :
$7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,\ldots$
La conjecture de Syracuse (aussi appelée conjecture de Collatz, conjecture d'Ulam, ou problème $3x+1$) est l'hypothèse mathématique selon laquelle la suite de Syracuse de n'importe quel entier strictement positif atteint à un moment donné le nombre $1$.
Vérifier que la suite de Syracuse associée à la graine $3$ atteint à un moment donné le nombre $1$.
syracuseOn donne ci-dessous une fonction syracuse(graine) qui retourne une liste contenant les 20 premiers termes de la suite de Syracuse du nombre graine.
Question 2.
a. Recopier et tester cette fonction. En console, on obtiendra :
>>> syracuse(3) [3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1]
b. Expliquer le rôle des lignes 4 à 7.
def syracuse(graine): syr = [graine] for i in range(19): if graine%2 == 0: # %2 donne le reste de la division par 2 graine = graine//2 #quotient dans la division euclidienne par 2 else: graine = 3*graine+1 syr = syr + [graine] return(syr)