Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ sur lequel on a choisi :
On munit le plan d'un repère orthonormé $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ et on considère le cercle trigonométrique $\mathcal{C}$.
On appelle $\mathcal{D}$ la droite passant par $I$ et parallèle à l'axe des ordonnées (elle est donc tangente au cercle trigonométrique au point $I(1;0)$.
Sur cette droite on considère le point $A(1;1)$.
En « enroulant » cette droite sur le cercle $\mathcal{C}$, pour tout réel $x$ associé au point $N(1,x)$ de la droite on fait correspondre un unique point $M$ du cercle $\mathcal{C}$.
$M$ est appelé image de $x$ sur le cercle $\mathcal{C}$.
Inversement tout point $M$ du cercle $\mathcal{C}$ est associé à un nombre réel $x$, où $x$ est égal à la longueur de l'arc $\widehat{IM}$, d'origine $I$, d'extrémité $M$ et parcouru dans le sens positif.
Si $M$ est le point du cercle associé au réel $x$, alors il est aussi associé à tout réel de la forme $x+k\times2\pi$ où $k$ est un entier relatif ($k\in\mathbb{Z}$) correspondant au nombre de tours supplémentaires dans le sens direct ($k$ positif) ou indirect ($k$ négatif).
① Compas en $I$, ouverture $R$ → point à $\frac{\pi}{3}$.
② Compas en $\frac{\pi}{3}$, même ouverture → point à $\frac{2\pi}{3}$.
On construit un triangle équilatéral inscrit dans le cercle.
① Compas en $-\frac{\pi}{2}$, ② Compas en $-\pi$, même ouverture.
La droite $O$-croisement coupe le cercle en $-\frac{3\pi}{4}$ (bissectrice).
$-\dfrac{3\pi}{4}+6\times2\pi = \dfrac{45\pi}{4}$ — même point (+6 tours).
Soit un point $M$ du cercle trigonométrique $\mathcal{C}$, associé à un réel $x$.
On dit que $x$ est une mesure en radian de l'angle au centre $\widehat{IOM}$, orienté de $I$ vers $M$.
La mesure en radian d'un angle est directement proportionnelle à sa mesure en degré. Pour les conversions, on peut utiliser le tableau de proportionnalité ci-dessous.
| Mesure en radian | $\pi$ | $x$ |
|---|---|---|
| Mesure en degré | 180° | $\alpha$ |
On utilise le tableau de proportionnalité :
| Mesure en radian | $\pi$ | $x$ |
|---|---|---|
| Mesure en degré | $180°$ | $33°$ |
Le produit en croix donne :
$x = \dfrac{33 \times \pi}{180} = \dfrac{33\pi}{180} = \dfrac{11\pi}{60}$
On utilise le tableau de proportionnalité :
| Mesure en radian | $\pi$ | $\dfrac{3\pi}{8}$ |
|---|---|---|
| Mesure en degré | $180°$ | $\alpha$ |
Le produit en croix donne :
$\alpha = \dfrac{\dfrac{3\pi}{8} \times 180°}{\pi} = \dfrac{3 \times 180°}{8} = \dfrac{540°}{8}$
Soit un réel $x$ et $M$ le point du cercle trigonométrique associé à $x$.
Pour tout nombre réel $x$ on a :
Le point $M(\cos x\,;\,\sin x)$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon 1.
Ses coordonnées sont donc nécessairement comprises entre $-1$ et $1$. $\square$
Pour tout nombre réel $x$ on a :
Soit $M(\cos x\,;\,\sin x)$ le point du cercle associé à $x$, et $H$ le pied de la perpendiculaire de $M$ sur l'axe des abscisses.
Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ avec :
Par le théorème de Pythagore dans $OHM$ :
Cette définition de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ est cohérente et prolonge la définition donnée dans le cadre de la trigonométrie du triangle rectangle.
$H$ est le pied de la perpendiculaire de $M$ à l'axe $Ox$ :
| Angle $\widehat{IOM}$ en degré | $0°$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Réel associé $x\in\!\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| $\cos(x)$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\sin(x)$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
Démonstration : voir diapositives suivantes.
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos(x)$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\sin(x)$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
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Exercice
On s'intéresse à un triangle $ABC$ rectangle et isocèle en $B$ tel que $AB=BC=a$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ donc $\widehat{ABC}=90°=\dfrac{\pi}{2}$.
Il est isocèle en $B$ donc $AB=BC$, d'où $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$.
La somme des angles vaut $\pi$ : $\widehat{BAC}+\widehat{BCA}+\widehat{ABC}=\pi$
$2\widehat{BAC}=\pi-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2} \;\Rightarrow\; \widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$
La longueur de l'hypoténuse $AC$ vaut $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.
Dans le triangle rectangle en $B$, par rapport à l'angle en $A$ :
La longueur de l'hypoténuse $AC$ vaut $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.
Dans le triangle rectangle en $B$, par rapport à l'angle en $A$ :
Exercice
On s'intéresse à un triangle équilatéral $ABC$ de côté $a$. On appelle $D$ le pied de la hauteur issue de $C$.
Le triangle $ABC$ est équilatéral donc tous ses angles mesurent $60°=\dfrac{\pi}{3}$. Ainsi $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$
$D$ est le pied de la hauteur issue de $C$ dans le triangle équilatéral.
Par symétrie, $D$ est le milieu de $AB$ donc $AD=\dfrac{a}{2}$.
Dans le triangle $ACD$, rectangle en $D$, avec $AC=a$ et $AD=\dfrac{a}{2}$ :
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ACD$, rectangle en $D$
$AD^2+CD^2=AC^2$
$\iff CD^2=AC^2-AD^2$
$\iff CD=\sqrt{AC^2-AD^2}$
$\iff CD=\sqrt{a^2-\tfrac{a^2}{4}}$
$\iff CD=\sqrt{a^2-\tfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\tfrac{4a^2}{4}-\tfrac{a^2}{4}}$
$\iff CD=\dfrac{\sqrt{3a^2}}{2}\iff CD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
| $x$ | $-\pi$ | $-\frac{5\pi}{6}$ | $-\frac{4\pi}{6}$ | $-\frac{\pi}{2}$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{4\pi}{6}$ | $\frac{5\pi}{6}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos(x)$ | |||||||||||||
| $\sin(x)$ |
| $x$ | $-\pi$ | $-\dfrac{5\pi}{6}$ | $-\dfrac{2\pi}{3}$ | $-\dfrac{\pi}{2}$ | $-\dfrac{\pi}{3}$ | $-\dfrac{\pi}{6}$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos(x)$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-1$ |
| $\sin(x)$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
Remarques clés :
La fonction $x\longmapsto\cos(x)$ est paire.
Ainsi, $\forall x\in\mathbb{R} : \cos(-x)=\cos(x)$.
Sur le cercle trigonométrique : $M(x)$ et $M(-x)$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Ils ont la même abscisse : $\cos(-x)=\cos(x)$.
La courbe de cos est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La fonction $x\longmapsto\sin(x)$ est impaire.
Ainsi, $\forall x\in\mathbb{R} : \sin(-x)=-\sin(x)$.
Sur le cercle trigonométrique : $M(x)$ et $M(-x)$ sont symétriques par rapport à l'origine $O$.
Leurs ordonnées sont opposées : $\sin(-x)=-\sin(x)$.
La courbe de sin est symétrique par rapport à l'origine.
La fonction $x\longmapsto\cos(x)$ est périodique de période $2\pi$.
Ainsi, $\forall x\in\mathbb{R} : \cos(x+2\pi)=\cos(x)$.
Sur le cercle : $x$ et $x+2\pi$ correspondent au même point $M$ après un tour complet.
La courbe de cos se répète tous les $2\pi$.
La fonction $x\longmapsto\sin(x)$ est périodique de période $2\pi$.
Ainsi, $\forall x\in\mathbb{R} : \sin(x+2\pi)=\sin(x)$.
Sur le cercle : $x$ et $x+2\pi$ correspondent au même point $M$ après un tour complet.
La courbe de sin se répète tous les $2\pi$.
Pour tout réel $x$ :
Sur le cercle : $M(x)$ et $M(x+\pi)$ sont diamétralement opposés (symétrie centrale par rapport à $O$).
Leurs coordonnées sont toutes les deux opposées.
Pour tout réel $x$ :
Sur le cercle : $M(x)$ et $M(\pi-x)$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Même sinus, cosinus opposés.
La fonction $x\longmapsto\cos(x)$ est décroissante sur $[0\,;\,\pi]$.
La fonction $x\longmapsto\sin(x)$ est croissante sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ et décroissante sur $\left[\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$.
Les solutions de l'équation $\cos(x)=\cos(a)$ sont :
Les deux solutions $a$ et $-a$ ont la même abscisse sur le cercle : $\cos(a)=\cos(-a)$.
Elles sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Les solutions de l'équation $\sin(x)=\sin(a)$ sont :
Les deux solutions $a$ et $\pi-a$ ont la même ordonnée sur le cercle : $\sin(a)=\sin(\pi-a)$.
Elles sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
On a $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ (valeur remarquable). D'après la Propriété 12 :
On a $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ (valeur remarquable). D'après la Propriété 13 :
Le script Python ci-dessous permet d'obtenir la mesure principale d'un angle, c'est-à-dire la mesure de l'angle appartenant à l'intervalle $]-\pi\,;\,\pi]$.
L'appel en console permet d'afficher successivement les valeurs approchées des mesures principales des angles de mesures $2\pi$, $\dfrac{7\pi}{3}$, $-\dfrac{\pi}{2}$ et $-\dfrac{7\pi}{2}$.
from math import * #pour pouvoir utiliser la constante pi def mesure(x): if x > pi: while x > pi : x = x - 2*pi #on enlève des tours elif x<=-pi: while x <= -pi : x = x + 2*pi #on ajoute des tours return x
*** Console de processus distant Réinitialisée *** >>> mesure(2*pi) 0.0 >>> mesure(7*pi/3) 1.0471975511965974 >>> mesure(-pi/2) -1.5707963267948966 >>> mesure(-7*pi/2) 1.5707963267948966
Le script Python ci-dessous permet d'obtenir une approximation de $\pi$ par la méthode d'Archimède, telle que décrite dans votre livre p. 190.
Ce script est toutefois d'un intérêt limité car pour les calculs de $A$ et $B$ on utilise $\pi$. Historiquement, les calculs étaient faits « à la main ».
On obtient en console :
*** Console de processus distant Réinitialisée *** >>> archi(10) 3.1415926535564602
from math import * def archi(p): n = 6 P1 = 6 P2 = 4*sqrt(3) A = P1/2 B = P2/2 while (B-A)>10**(-p): n = n + 1 A = n*sin(pi/n) B = n*tan(pi/n) return A