Une variable aléatoire est une fonction $X$ définie sur l'univers $\Omega$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$, qui à tout élément de $\Omega$ fait correspondre un nombre réel. On a $X~:~\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$
Soit $a$ un nombre réel. On note :
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
Si la carte tirée est un valet, une dame ou un roi on marque 20 points, dans les autres cas on marque le nombre de points correspondants à la valeur de la carte.
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de points obtenus.
Le jeu de 32 cartes contient les cartes : As (valeur 1), 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi — en 4 couleurs.
$\left\{ X = 7 \right\}$ correspond aux quatre 7 (trèfle, carreau, cœur, pique).
$X$ prend les valeurs 1, 7, 8, 9, 10, 20. Les valeurs $\ge 11$ sont uniquement $X = 20$.
$\left\{ X \ge 11 \right\}$ correspond aux valets, dames et rois (4 + 4 + 4 = 12 cartes).
$P(X \ge 11) = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8}$
On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au numéro de la face obtenue.
Du registre symbolique vers le langage naturel : Traduire en français les événements suivants.
Du langage naturel vers le registre symbolique : Écrire à l'aide des notations $\left\{ X = a \right\}$ ou $\left\{ X \le a \right\}$ les événements suivants, puis calculer leur probabilité.
Dans une école, on interroge un élève au hasard. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de frères et sœurs de cet élève. On sait que :
| Valeurs $x_i$ prises par $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Probabilités $P(X=x_i)$ | $0{,}15$ | $0{,}40$ | $0{,}30$ | $0{,}10$ | $0{,}05$ |
$\left\{ X = 0 \right\}$ : « L'élève n'a aucun frère ni sœur (est enfant unique). »
$P(X=0) = 0{,}15$
$\left\{ X \le 2 \right\}$ : « L'élève a au plus 2 frères et sœurs. »
$P(X \le 2) = 0{,}15 + 0{,}40 + 0{,}30 = \mathbf{0{,}85}$
« Au moins 3 frères et sœurs » $\rightarrow \left\{ X \ge 3 \right\}$
Méthode 1 : $P(X \ge 3) = P(X=3)+P(X=4) = 0{,}10+0{,}05 = \mathbf{0{,}15}$
Méthode 2 : $P(X \ge 3) = 1-P(X \le 2) = 1-0{,}85 = \mathbf{0{,}15}$
« Enfant unique » $\rightarrow \left\{ X = 0 \right\}$. Oui, c'est exactement le même événement.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est la probabilité de chacune des valeurs $x_i$ que peut prendre $X$.
On présente en général une loi de probabilité sous forme de tableau :
| Valeurs $x_i$ prises par $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
|---|---|---|---|---|
| Probabilités $P(X=x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_n$ |
Dans le tableau qui donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$, la somme des probabilités est égale à 1. Autrement dit :
Ou encore en utilisant le symbole $\Sigma$ :
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ définie dans l'exemple précédent et vérifier que $\displaystyle\sum_{i=1}^n P(X=x_i) = 1$
$X$ prend les valeurs 0, 1, 2, 3, 4..
| Valeurs $x_i$ prises par $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Probabilités $P(X=x_i)$ | $0{,}15$ | $0{,}40$ | $0{,}30$ | $0{,}10$ | $0{,}05$ |
$\displaystyle\sum_{i=1}^n P(X=x_i) = 0{,}15+ 0{,}40+ 0{,}30+0{,}10+0{,}05 = 1$ ✓
Dans le tableau ci-dessous, on donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$.
| Valeurs $x_i$ prises par $X$ | $10$ | $20$ | $30$ | $50$ |
|---|---|---|---|---|
| Probabilités $P(X=x_i)$ | $\dfrac{1}{8}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{3}{8}$ |
1. Calculer $\displaystyle\sum_{i=1}^3 p_i$
2. Calculer $\displaystyle\sum_{i=1}^4 p_i$
3. Calculer $\displaystyle\sum_{i=1}^2 x_i\times p_i$
$\displaystyle\sum_{i=1}^3 p_i = \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}$
$\displaystyle\sum_{i=1}^4 p_i = \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8} = \dfrac{1+2+2+3}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$ — on retrouve bien la propriété fondamentale.
$\displaystyle\sum_{i=1}^2 x_i\times p_i = 10\times\dfrac{1}{8}+20\times\dfrac{1}{4} = \dfrac{10}{8}+\dfrac{40}{8} = \dfrac{50}{8} = \dfrac{25}{4} = 6{,}25$
On considère une variable aléatoire $X$ définie sur un univers $\Omega$ fini dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
| Valeurs $x_i$ prises par $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
|---|---|---|---|---|
| Probabilités $P(X=x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_n$ |
L'espérance de la variable aléatoire $X$ est le réel noté $E(X)$ défini par :
Ou encore en utilisant le symbole $\Sigma$ :
L'espérance s'interprète comme la valeur moyenne prise par la la variable aléatoire $X$ lorsqu'on répète un grand nombre de fois l'expérience.
On dispose de deux dés cubiques non truqués.
L'un a cinq faces rouges et une face verte, l'autre a une face rouge, deux vertes et trois bleues.
On jette les deux dés, on gagne :
On appelle X la variable aléatoire égale au gain ou à la perte ainsi réalisés.
$X$ prend les valeurs $-1$, $2$, $5$.
$P(\text{rouge,rouge}) = \frac{5}{6}\times\frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ ; $P(\text{vert,vert}) = \frac{1}{6}\times\frac{2}{6} = \frac{2}{36}$ ; $P(\text{autres}) = \frac{29}{36}$
| $x_i$ | $-1$ | $2$ | $5$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\dfrac{29}{36}$ | $\dfrac{2}{36}$ | $\dfrac{5}{36}$ |
$E(X) = (-1)\times\dfrac{29}{36} + 2\times\dfrac{2}{36} + 5\times\dfrac{5}{36}$
$E(X) = \dfrac{-29+4+25}{36} = \dfrac{0}{36} = \mathbf{0}$
$E(X) = 0$ : le jeu est équitable (ni favorable, ni défavorable au joueur).
On considère une variable aléatoire $X$ définie sur un univers $\Omega$ fini dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
| Valeurs $x_i$ prises par $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
|---|---|---|---|---|
| Probabilités $P(X=x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_n$ |
La variance de la variable aléatoire $X$ est le réel noté $V(X)$ défini par :
Ou encore en utilisant le symbole $\Sigma$ :
Il existe une seconde formule équivalente, appelée formule de König-Huygens, très pratique à utiliser avec le tableau :
Ce qui donne dans le cas de notre tableau :
L'écart type de la variable aléatoire $X$ est le réel noté $\sigma(X)$ égal à la racine carrée de la variance :
Comme pour une série statistique, la variance (ou l'écart type) mesure la dispersion, la régularité d'une variable aléatoire.
Reprendre l'exemple précédent et calculer la variance $V(X)$ puis l'écart type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$.
On utilise la formule pratique : $V(X)=\displaystyle\sum p_i\times x_i^2 - \left(E(X)\right)^2$
$V(X) = (-1)^2\times\dfrac{29}{36} + 2^2\times\dfrac{2}{36} + 5^2\times\dfrac{5}{36} - 0^2 = \dfrac{29}{36}+\dfrac{8}{36}+\dfrac{125}{36} = \dfrac{162}{36} = \mathbf{4{,}5}$
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{4{,}5} = \sqrt{\dfrac{9}{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \approx \mathbf{2{,}12}$
Une urne contient $12$ boules bleues et $8$ boules rouges. On tire successivement avec remise $3$ boules dans cette urne. On appelle succès le tirage d'une boule rouge. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès.
L'unique chemin favorable est $SSS$ :
$P(X=3)=\left(\dfrac{2}{5}\right)^3=\dfrac{8}{125}$
On utilise l'événement contraire :
$P(X<3)=1-P(X=3)=1-\dfrac{8}{125}=\dfrac{117}{125}$
On regroupe les chemins selon la valeur de $X$ :
| $k$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=k)$ | $\dfrac{27}{125}$ | $\dfrac{54}{125}$ | $\dfrac{36}{125}$ | $\dfrac{8}{125}$ |
Vérification : $27+54+36+8=125$, donc $\displaystyle\sum P(X=k)=1$ ✓
$E(X)=0\times\dfrac{27}{125}+1\times\dfrac{54}{125}+2\times\dfrac{36}{125}+3\times\dfrac{8}{125}$
$E(X)=\dfrac{0+54+72+24}{125}=\dfrac{150}{125}=\dfrac{6}{5}=\mathbf{1{,}2}$
En répétant l'expérience un grand nombre de fois, on tire en moyenne 1,2 boule rouge sur 3 tirages.
$V(X)=0^2\times\dfrac{27}{125}+1^2\times\dfrac{54}{125}+2^2\times\dfrac{36}{125}+3^2\times\dfrac{8}{125}-\left(\dfrac{6}{5}\right)^2$
$V(X)=\dfrac{54}{25}-\left(\dfrac{6}{5}\right)^2=\dfrac{54}{25}-\dfrac{36}{25}=\dfrac{18}{25}=\mathbf{0{,}72}$
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\dfrac{18}{25}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{5}\approx\mathbf{0{,}849}$
On considère une variable aléatoire $X$ définie sur un univers $\Omega$.
Soient $a$ et $b$ deux réels et $Y$ la variable aléatoire définie par $Y=aX+b$.
Alors :
Dans le tableau ci-dessous, on donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ associée au gain, en euro, d'une tombola.
| Valeurs $x_i$ prises par $X$ | $10$ | $20$ | $30$ | $100$ |
|---|---|---|---|---|
| Probabilités $P(X=x_i)$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{5}$ | $\dfrac{1}{5}$ | $\dfrac{1}{10}$ |
$E(X) = 10\times\dfrac{1}{2} + 20\times\dfrac{1}{5} + 30\times\dfrac{1}{5} + 100\times\dfrac{1}{10} = 5 + 4 + 6 + 10 = \mathbf{25}$
$E(Y) = E(X-5) = E(X) - 5 = 25 - 5 = \mathbf{20}$
Un jeu est équitable si l'espérance du gain net est nulle. Ici $E(Y) = 20 > 0$, donc le jeu est favorable au joueur.
Dans le tableau ci-dessous, on donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ :
| $x_i$ | $10$ | $20$ | $30$ | $100$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{1}{10}$ |
On donne le script Python ci-dessous.
X = [10,20,30,100] P = [0.5,0.2,0.2,0.1] S = 0 for i in range(len(X)): S = S + X[i]*P[i] print(S)
len(X) retourne le nombre d'éléments de la liste X, ici 4.
X[0] est le premier élément : 10.
P[3] est le quatrième élément : 0.1.
Ce script calcule l'espérance $E(X) = \sum x_i\times p_i = 5+4+6+10 = 25$.
X = [10,20,30,100] P = [0.5,0.2,0.2,0.1] S = 0 # pour E(X) S2 = 0 # pour E(X²) for i in range(len(X)): S = S + X[i]*P[i] S2 = S2 + X[i]**2*P[i] VX = S2 - S**2 print("E(X) =", S) print("V(X) =", VX)
Le script Python ci-dessous :
On obtient en console :
*** Console de processus distant Réinitialisée *** >>> 0.16
Si on considère la variable aléatoire $X$ associée à la fréquence des lettres dans un texte en français, on a $X(e) = 0{,}15$.
Ainsi, ce type de script, permet d'identifier la langue du texte d'origine.
Voir aussi l'exercice 87 p 330.
texte = "J'aimerais connaître la fréquence d'apparition de la lettre e dans ce texte" texte.lower() #le texte est mis en minuscule # Le nom de la variable lettre peut être modifié # on remplace chaque lettre de la liste # ["é","è","ê","ë"] par un simple e for lettre in ["é","è","ê","ë"]: texte = texte.replace(lettre,"e") nombre_de_e = 0 for lettre in texte: if lettre == "e": nombre_de_e = nombre_de_e + 1 frequence_de_e = nombre_de_e/len(texte) print(frequence_de_e)
texte.lower() convertit tout le texte en minuscules, afin de traiter les lettres sans distinction de casse.
La boucle for sur la liste ["é","è","ê","ë"] remplace chaque variante accentuée par un "e" simple grâce à la méthode replace.
La seconde boucle parcourt le texte lettre par lettre et incrémente nombre_de_e à chaque "e" rencontré.
frequence_de_e = nombre_de_e / len(texte) donne la proportion de e dans le texte : 0,16.
La fréquence obtenue ($0{,}16$) est très proche de $X(e) = 0{,}15$ pour le français. Le texte est donc vraisemblablement en français.