Soit $a$ un réel et $n$ un entier naturel non nul. La puissance $n$-ième de $a$ est : $a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n\text{ fois}}$
Par convention : $a^0 = 1$ ($a\neq0$), $a^1=a$, et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ($a\neq0$, $n\geq1$).
Pour tous réels $a$, $b$ non nuls et tous entiers $m$, $n$ :
Simplifier les expressions suivantes :
1) $3^4\times3^{-2}=3^{4+(-2)}=3^2=9$
2) $\dfrac{5^7}{5^3}=5^{7-3}=5^4=625$
3) $(2^3)^4=2^{3\times4}=2^{12}=4096$
4) $(2\times5)^3=2^3\times5^3=8\times125=1000$
5) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}=\dfrac{4^2}{3^2}=\dfrac{16}{9}$
6) $\dfrac{a^5\times a^{-2}}{a^3}=\dfrac{a^{5-2}}{a^3}=\dfrac{a^3}{a^3}=a^0=1$
Écrire en notation scientifique :
1) $3{,}6\times10^4\times2\times10^{-2}=(3{,}6\times2)\times10^{4+(-2)}=7{,}2\times10^2$
2) $\dfrac{8{,}4\times10^5}{2{,}1\times10^2}=\dfrac{8{,}4}{2{,}1}\times10^{5-2}=4\times10^3$
3) $(3\times10^{-4})^2=3^2\times(10^{-4})^2=9\times10^{-8}$
Pour $a\geq0$, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique réel positif tel que $(\sqrt{a})^2=a$.
Autrement dit : $\sqrt{a}\geq0$ et $(\sqrt{a})^2=a$.
Pour $a\geq0$, $b\geq0$, $b\neq0$ pour la division :
$\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$ en général. Exemple : $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\neq3+4$.
Simplifier (résultats sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ sans facteur carré) :
1) $\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}$
2) $\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}$
3) $\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{12\times3}=\sqrt{36}=6$
4) $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$
5) $(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=(\sqrt{5})^2-1^2=5-1=4$
6) $\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$
Écrire sous la forme $\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d}$ avec $a,b,c,d$ entiers :
1) $\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{0+3\sqrt{2}}{2}$
2) On multiplie par $\dfrac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$ (quantité conjuguée) :
$\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{1-3}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{-2}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$
Pour tous réels $a$, $b$, $c$, $d$ :
$k(a+b)=ka+kb$
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
1) $3(2x-5)=6x-15$
2) $-2(x^2-3x+1)=-2x^2+6x-2$
3) $(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6$
4) $(2x-1)(x+4)=2x^2+8x-x-4=2x^2+7x-4$
5) $(x+1)(x^2-x+1)=x^3-x^2+x+x^2-x+1=x^3+1$
6) $3x(x-2)-(x+1)(x-1)=3x^2-6x-(x^2-1)=2x^2-6x+1$
Pour tous réels $a$ et $b$ :
$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$.
$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2$.
$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$.
Développer et réduire en utilisant les identités remarquables :
1) $(x+5)^2=x^2+10x+25$
2) $(2x-3)^2=4x^2-12x+9$
3) $(x+7)(x-7)=x^2-49$
4) $(3x+1)^2=9x^2+6x+1$
5) $(x-4)(x+4)=x^2-16$
6) $(\sqrt{2}+1)^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$
7) $(x+2)^2-(x-2)^2=(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)=8x$
8) $(2x-3)(2x+3)-x^2=4x^2-9-x^2=3x^2-9$
Factoriser une expression, c'est l'écrire comme un produit de facteurs.
On extrait le facteur commun $x$ : $ax^2+bx=x(ax+b)$.
Plus généralement, on extrait le plus grand facteur commun à tous les termes.
1) $6x^2+4x=2x(3x+2)$
2) $3x^2-9x=3x(x-3)$
3) $5x^3-10x^2+15x=5x(x^2-2x+3)$
4) $2x^2-8=2(x^2-4)$
5) $12x^3-8x^2=4x^2(3x-2)$
6) $-x^2+3x=x(-x+3)=x(3-x)$
1) $x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$
2) $4x^2-25=(2x)^2-5^2=(2x+5)(2x-5)$
3) $x^2+6x+9=x^2+2\times3\times x+3^2=(x+3)^2$
4) $x^2-10x+25=x^2-2\times5\times x+5^2=(x-5)^2$
5) $9x^2-1=(3x)^2-1^2=(3x+1)(3x-1)$
6) $x^2-4=x^2-2^2=(x+2)(x-2)$
Cas $+$ : $(ax+b)(cx+d)+(ax+b)(ex+f)=(ax+b)\bigl[(cx+d)+(ex+f)\bigr]$
Cas $-$ : $(ax+b)(cx+d)-(ax+b)(ex+f)=(ax+b)\bigl[(cx+d)-(ex+f)\bigr]$
On met en évidence le facteur commun $(ax+b)$ entre les deux termes.
1) $(2x+1)(x-3)+(2x+1)(x+5)=(2x+1)\bigl[(x-3)+(x+5)\bigr]=(2x+1)(2x+2)=2(2x+1)(x+1)$
2) $(x-4)(3x+2)-(x-4)(x-1)=(x-4)\bigl[(3x+2)-(x-1)\bigr]=(x-4)(2x+3)$
3) $(3x-2)(x+1)+(3x-2)=(3x-2)\bigl[(x+1)+1\bigr]=(3x-2)(x+2)$
4) $(x+1)(2x-5)+(x+1)^2=(x+1)\bigl[(2x-5)+(x+1)\bigr]=(x+1)(3x-4)$
5) $(2x-3)(x+4)-(2x-3)(3x-1)=(2x-3)\bigl[(x+4)-(3x-1)\bigr]=(2x-3)(-2x+5)$
6) $3(x-1)(2x+3)+6(x-1)=(x-1)\bigl[3(2x+3)+6\bigr]=(x-1)(6x+15)=3(x-1)(2x+5)$
Développer ou factoriser selon ce qui est utile :
1) $101^2=(100+1)^2=100^2+2\times100\times1+1^2=10000+200+1=\mathbf{10201}$
2) $99\times101=(100-1)(100+1)=100^2-1^2=10000-1=\mathbf{9999}$
3) $n^2-n=n(n-1)$ est le produit de deux entiers consécutifs $n-1$ et $n$.
Parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair, donc leur produit est toujours pair.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul :
$A(x)\times B(x)=0 \iff A(x)=0 \quad\text{ou}\quad B(x)=0$
Cette propriété est la clé pour résoudre les équations du type $A(x)B(x)=0$ : on résout séparément $A(x)=0$ et $B(x)=0$, puis on regroupe les solutions.
On factorise d'abord : $ax^2+bx=x(ax+b)=0$, puis on applique la propriété produit nul.
Résoudre les équations suivantes :
1) $(x-3)(x+5)=0\Leftrightarrow x-3=0$ ou $x+5=0\Leftrightarrow\mathcal{S}=\{-5\,;\,3\}$
2) $(2x+1)(x-4)=0\Leftrightarrow 2x+1=0$ ou $x-4=0\Leftrightarrow x=-\tfrac{1}{2}$ ou $x=4\Leftrightarrow\mathcal{S}=\left\{-\tfrac{1}{2}\,;\,4\right\}$
3) $x(3x-6)=0\Leftrightarrow x=0$ ou $3x-6=0\Leftrightarrow x=2\Leftrightarrow\mathcal{S}=\{0\,;\,2\}$
4) $(x+2)^2=0\Leftrightarrow x+2=0\Leftrightarrow x=-2\Leftrightarrow\mathcal{S}=\{-2\}$
5) $3x^2-12x=3x(x-4)=0\Leftrightarrow x=0$ ou $x=4\Leftrightarrow\mathcal{S}=\{0\,;\,4\}$
6) $x^2-9=(x+3)(x-3)=0\Leftrightarrow x=-3$ ou $x=3\Leftrightarrow\mathcal{S}=\{-3\,;\,3\}$
1) $A(x)=(x+1)\bigl[(2x-3)+(x+4)\bigr]=(x+1)(3x+1)$
2) $(x+1)(3x+1)=0\Leftrightarrow x=-1$ ou $x=-\dfrac{1}{3}$ → $\mathcal{S}=\left\{-1\,;\,-\dfrac{1}{3}\right\}$
3) $B(x)=(3x-1)\bigl[(x+2)-(2x-5)\bigr]=(3x-1)(-x+7)$
4) $(3x-1)(-x+7)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}$ ou $x=7$ → $\mathcal{S}=\left\{\dfrac{1}{3}\,;\,7\right\}$
| Signe de $A$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $0$ | quelconque |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de $B$ | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ | quelconque | $0$ |
| Signe de $A\times B$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | $0$ | $0$ |
Lorsque $A$ et $B$ sont de signes différents, il n'y a pas de règle pour le signe de la somme $A+B$.
On utilisera donc des tableaux de signes uniquement pour étudier le signe du produit $A\times B$ ou du quotient $\dfrac{A}{B}$.
Le gain (en euros) d'une entreprise qui vend $x$ objets est donné par la fonction :
$C(x)=(2x-2000)(-4x+600)$
Racines : $2x-2000=0\Leftrightarrow x=1000$ · $-4x+600=0\Leftrightarrow x=150$
1) Bénéfices : $C(x)>0$ pour $x\in\,]150\,;\,1000[$ → L'entreprise gagne de l'argent entre 151 et 999 objets vendus.
2) Pertes : $C(x)\lt0$ pour $x\in\,]-\infty\,;\,150[\cup]1000\,;\,+\infty[$→ L'entreprise perd de l'argent entre 0 et 149 objets vendus ou plus de 1000 objets vendus.
3) $x$ est un entier positif. Les seuils $x=150$ et $x=1000$ donnent un gain nul (seuils de rentabilité).
Dresser un tableau de signes et résoudre l'inéquation demandée :
$A(x)=(x-3)(x+2)$
$A(x)\lt0$ pour $x\in\,]-2\,;\,3[$
$B(x)=(2x+6)(1-x)$
$B(x)\geq0$ pour $x\in\,[-3\,;\,1]$
$C(x)=x(3x-9)$
$C(x)\leq0$ pour $x\in\,[0\,;\,3]$
$D(x)=(x+4)(x-1)(2x-3)$
$D(x)>0$ pour $x\in\,]-4\,;\,1[\cup]\tfrac{3}{2}\,;\,+\infty[$
Soit $f(x)=(x-2)(x+3)$.
2) $f(x)\geq0$ pour $x\in\,]-\infty\,;\,-3]\cup[2\,;\,+\infty[$
3) La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses exactement sur ces mêmes intervalles (en excluant les racines où elle les croise).
On effectue les mêmes opérations que pour résoudre une équation, en traitant les autres lettres comme des constantes.
Exprimer la variable indiquée en fonction des autres :
1) $U=RI\Leftrightarrow I=\dfrac{U}{R}$
2) $d=vt\Leftrightarrow t=\dfrac{d}{v}$
3) $S=\pi r^2\Leftrightarrow r^2=\dfrac{S}{\pi}\Leftrightarrow r=\sqrt{\dfrac{S}{\pi}}$ (car $r>0$)
4) $V=abc\Leftrightarrow c=\dfrac{V}{ab}$
5) $V=\pi r^2 h\Leftrightarrow h=\dfrac{V}{\pi r^2}$
Exprimer $y$ en fonction de $x$ (avec $b\neq0$) dans chacun des cas suivants :
1) $2x+3y=6\Leftrightarrow 3y=6-2x\Leftrightarrow y=\dfrac{6-2x}{3}=2-\dfrac{2}{3}x$
2) $x-4y=8\Leftrightarrow -4y=8-x\Leftrightarrow y=\dfrac{8-x}{-4}=\dfrac{x-8}{4}$
3) $5x+2y=0\Leftrightarrow 2y=-5x\Leftrightarrow y=-\dfrac{5}{2}x$
La surface latérale d'un cylindre est $S=2\pi r h$.
1) $S=2\pi r h\Leftrightarrow h=\dfrac{S}{2\pi r}$
2) $h=\dfrac{188{,}5}{2\times3{,}14\times3}=\dfrac{188{,}5}{18{,}84}\approx10$ cm.
La hauteur du cylindre est d'environ $\mathbf{10}$ cm.
def carre_somme(a, b): return a**2 + 2*a*b + b**2 def difference_carres(a, b): return a**2 - b**2 def signe_produit(A, B): produit = A * B if produit > 0: return "positif" elif produit < 0: return "negatif" else: return "nul" print(carre_somme(3, 4)) print(difference_carres(5, 3)) print(signe_produit(-2, 5))
carre_somme(3,4) ? Vérifier avec $(3+4)^2$.difference_carres(5,3) ? Vérifier avec $(5+3)(5-3)$.signe_produit(-2,5) ? Pourquoi ?signe_produit(-2,5) :
A | B | produit | renvoie (return) |
|---|---|---|---|
racines_produit(a,b,c,d) renvoyant les solutions de $(ax+b)(cx+d)=0$.1) 49 car $(3+4)^2=49$. La fonction calcule bien $a^2+2ab+b^2$.
2) 16 car $5^2-3^2=25-9=16=(5+3)(5-3)=8\times2=16$.
3) "negatif" car $(-2)\times5=-10\lt0$.
4) A=-2, B=5, produit=-10, retour "negatif".
def racines_produit(a, b, c, d): x1 = -b / a # solution de ax+b=0 x2 = -d / c # solution de cx+d=0 return sorted([x1, x2]) # Test : (2x+1)(x-4)=0 print(racines_produit(2,1,1,-4)) # → [-0.5, 4.0]