Chez les Pythagoriciens (VIe s. av. J.-C.), tout nombre était censé être rationnel. La découverte que $\sqrt{2}$ ne l'était pas provoqua une véritable crise.
Selon la légende, Hippase de Métaponte aurait été jeté à la mer pour avoir révélé ce secret !
Le classement rigoureux des nombres fut achevé par trois grands mathématiciens :
Giuseppe Peano
1858 – 1932 · Italie
Richard Dedekind
1831 – 1916 · Allemagne
Georg Cantor
1845 – 1918 · Russie
L'ensemble de tous les nombres utilisés en seconde est appelé ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$.
On le représente par une droite numérique : chaque point correspond à un unique réel.
$\sqrt{2}$ et $\pi$ sont des irrationnels : leurs développements décimaux sont infinis et non périodiques.
$\pi \approx 3{,}14159\ldots$ $\sqrt{2} \approx 1{,}41421\ldots$
L'ensemble des entiers naturels, noté $\mathbb{N}$, contient les entiers positifs ou nuls :
$\mathbb{N} = \{0;\, 1;\, 2;\, 3;\, 4;\, \ldots\}$
L'ensemble des entiers relatifs, noté $\mathbb{Z}$, contient tous les entiers positifs ou négatifs :
$\mathbb{Z} = \{\ldots;\, -3;\, -2;\, -1;\, 0;\, 1;\, 2;\, 3;\, \ldots\}$
Tout entier naturel est un entier relatif. On dit que $\mathbb{N}$ est inclus dans $\mathbb{Z}$ et on note $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
Soit $n$ un entier relatif.
Pour chacun des nombres suivants, déterminer s'il est pair ou impair en justifiant à l'aide de la définition (trouver $k$) :
$6 = 2 \times 3$, donc 6 est pair (avec $k=3$).
$7 = 2 \times 3 + 1$, donc 7 est impair (avec $k=3$).
$-4 = 2 \times (-2)$, donc $-4$ est pair (avec $k=-2$).
Un nombre est décimal s'il s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Il s'écrit sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$. Ensemble noté $\mathbb{D}$.
Ex. $-3{,}89 = \dfrac{-389}{10^2}$ · $5{,}2 = \dfrac{52}{10^1}$ · $2 = \dfrac{2}{10^0}$
$\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ : développement infini → non décimal.
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire $\dfrac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{Z}^*$. Ensemble noté $\mathbb{Q}$.
Exemples rationnels : $\dfrac{3}{7}$, $-\dfrac{11}{4}$, $\dfrac{1}{3}$, $2$.
Irrationnels : $\sqrt{2}$, $\pi$ (ne peuvent s'écrire comme fraction d'entiers).
Tout décimal est rationnel mais l'inverse est faux :
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
Cliquez sur ▶ pour ajouter un ensemble à la fois
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. $b$ est divisible par $a$ (ou $a$ est un diviseur de $b$) lorsqu'il existe un entier $k \in \mathbb{Z}$ tel que
$b = k \times a$
On dit alors que $b$ est un multiple de $a$.
Un maçon dispose de carreaux de 15 cm et 20 cm. Pour couvrir un mur sans couper de carreaux, la longueur doit être un multiple commun de 15 et 20 : 60 cm, 120 cm, 180 cm…
Soit $a$ un entier relatif. La somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$.
Soient $b$ et $c$ deux multiples de $a$. Il existe $k \in \mathbb{Z}$ et $l \in \mathbb{Z}$ tels que $b = ka$ et $c = la$.
Donc $b + c = ka + la = (k+l) \times a$.
Comme $k+l \in \mathbb{Z}$, on conclut que $b+c$ est un multiple de $a$.
Le carré d'un nombre impair est impair.
Soit $n$ un entier impair. Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k+1$.
$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k) + 1$
En posant $K = 2k^2+2k \in \mathbb{Z}$, on a $n^2 = 2K+1$, donc $n^2$ est bien impair.
Vérifier que $7^2$ est impair et que $11^2$ est impair, en les écrivant sous la forme $2K+1$.
$7^2 = 49 = 2 \times 24 + 1$ → impair (avec $K = 24$).
$11^2 = 121 = 2 \times 60 + 1$ → impair (avec $K = 60$).
| Divisible par | Condition |
|---|---|
| 2 | Dernier chiffre $\in \{0;2;4;6;8\}$ (nombre pair) |
| 3 | Somme des chiffres multiple de 3 |
| 5 | Dernier chiffre $\in \{0;5\}$ |
| 9 | Somme des chiffres multiple de 9 |
| 10 | Dernier chiffre $= 0$ |
Le nombre $4\,518$ est-il divisible par 2, 3, 5, 9, 10 ?
Somme des chiffres : $4+5+1+8 = 18$.
$18 = 9\times 2$ → $4\,518$ est divisible par 9 et par 3.
Dernier chiffre 8 → divisible par 2, mais pas par 5 ni par 10.
L'écriture scientifique d'un réel non nul est $a \times 10^n$, où $n \in \mathbb{Z}$ et $a \in \mathbb{D}$ avec $1 \leq a < 10$.
Écrire les nombres suivants en écriture scientifique :
$200 = 2 \times 10^2$
$-7\,894 = -7{,}894 \times 10^3$
$0{,}07 = 7 \times 10^{-2}$
$-0{,}963 = -9{,}63 \times 10^{-1}$
$123\,456\,789 = 1{,}23456789 \times 10^8$
$3\text{ milliards} = 3 \times 10^9$
Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible si $a$ et $b$ n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Pour simplifier :
$\dfrac{k \times a}{k \times b} = \dfrac{a}{b} \qquad (k \neq 0)$
Rendre $\dfrac{32}{28}$ irréductible.
Les diviseurs communs à 32 et 28 incluent 2 et 4. En divisant par 4 :
$\dfrac{32}{28} = \dfrac{4 \times 8}{4 \times 7} = \dfrac{8}{7}$
La fraction $\dfrac{8}{7}$ est irréductible (8 et 7 n'ont aucun diviseur commun).
Rendre irréductibles les fractions $\dfrac{18}{24}$ et $\dfrac{35}{21}$.
$\dfrac{18}{24} = \dfrac{6 \times 3}{6 \times 4} = \dfrac{3}{4}$ (on divise par 6)
$\dfrac{35}{21} = \dfrac{7 \times 5}{7 \times 3} = \dfrac{5}{3}$ (on divise par 7)
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Addition (même dénom.) | $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$ | $\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{7}{3}$ |
| Dénom. différents | Réduire au même dénom. | $\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{10-12}{15}=\dfrac{-2}{15}$ |
| Multiplication | $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$ | $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{7}{4}=\dfrac{21}{20}$ |
| Division | $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$ | $\dfrac{3}{5}\div\dfrac{7}{4}=\dfrac{12}{35}$ |
Soit $n$ un entier et $a$ un nombre réel.
$a^0 = 1$ et $a^1 = a$
Pour $n \geq 2$ : $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{ facteurs}}$
Pour $n \geq 1$ et $a \neq 0$ : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | $a^n \times a^p = a^{n+p}$ |
| Quotient | $\dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p}$ |
| Puissance de puissance | $(a^n)^p = a^{n \times p}$ |
| Produit — exposant | $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ |
| Fraction — exposant | $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ |
Calculer (simplifier sans calculatrice autant que possible) :
$3^4 \times 3^5 = 3^9 = 19\,683$
$\dfrac{5^7}{5^3} = 5^4 = 625$
$(2^3)^4 = 2^{12} = 4\,096$
$(3 \times 5)^2 = 3^2 \times 5^2 = 9 \times 25 = 225$
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$
$2^{-3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$
$10^{-6} = 0{,}000\,001$
Soit $a$ un réel positif. La racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique nombre positif dont le carré est égal à $a$.
Exemples : $\sqrt{16}=4$ · $\sqrt{0}=0$ · $\sqrt{2}\approx 1{,}414$ · $(\sqrt{7})^2=7$ · $\sqrt{5^2}=5$
$\sqrt{-4}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$ (la racine carrée n'est définie que pour les réels positifs).
$a$ et $b$ désignent des réels positifs ($b \neq 0$ pour la division) :
$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Posons $P = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$. Ce nombre est positif.
$P^2 = (\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 = a \times b$
Ainsi $P$ est le nombre positif dont le carré vaut $a \times b$. Par définition de la racine carrée, $P = \sqrt{ab}$.
Simplifier les expressions suivantes en utilisant $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a}\times\sqrt{b}$ :
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$
$\sqrt{\dfrac{2}{9}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$
$\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$
On dispose d'une salle rectangulaire de 5 m sur 7 m.
Par Pythagore : $d = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25+49} = \sqrt{74}$
$\sqrt{74} \approx 8{,}602\,\text{m}$, soit environ $8\,\text{m}\,60\,\text{cm}$ au centimètre près.
$\sqrt{74}$ est irrationnel : 74 n'est pas un carré parfait, son développement décimal est infini et non périodique.
Pour démontrer qu'une propriété $P$ est vraie, on peut :
$\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.
Définition : Un nombre est décimal s'il existe
Démontrons par l'absurde que $\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal.
On suppose que $\dfrac{1}{3}$ soit , c'est-à-dire qu'on peut écrire
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n}$ où $a$ et $n$ sont des entiers naturels.
En effectuant un produit en croix, on obtient :
$1 \times$ $= 3 \times$ puis $10^n =$
Ainsi $10^n$ est un de 3.
Or la somme des chiffres de $10^n = 1\underbrace{00\cdots0}_{n}$ est égale à
Donc d'après le critère de divisibilité par 3, $10^n$ n'est pas un de 3.
On en déduit que la supposition de départ est fausse.
En supposant $\frac{1}{3}$ décimal, on est arrivé à une contradiction → $\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal.
Définition : Un nombre est décimal s'il existe $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$ tels qu'il s'écrit $\dfrac{a}{10^n}$.
Démontrons par l'absurde que $\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal.
On suppose que $\dfrac{1}{3}$ soit décimal, c'est-à-dire qu'on peut écrire
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n}$ où $a$ et $n$ sont des entiers naturels.
En effectuant un produit en croix :
$1 \times \mathbf{10^n} = 3 \times \mathbf{a}$ puis $10^n = \mathbf{3a}$
Ainsi $10^n$ est un multiple de 3.
Or la somme des chiffres de $10^n = 1\underbrace{00\cdots0}_{n}$ est égale à 1.
Donc d'après le critère de divisibilité par 3, $10^n$ n'est pas un multiple de 3. Contradiction !
La supposition est fausse → $\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal.
$\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel.
Définition : Un nombre $q$ est rationnel s'il existe
On suppose que $\sqrt{2}$ soit un rationnel, c'est-à-dire qu'on peut écrire $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$ où $a, b \in \mathbb{N}^*$, $a$ et $b$ n'ont pas de diviseur commun.
En élevant chaque membre au carré : puis $a^2 =$
On complète le tableau (chiffre des unités) :
| Unités de $a$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Unités de $a^2$ | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
| Unités de $b$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Unités de $2b^2$ | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
Comme $a^2 = 2b^2$, le dernier chiffre de $a$ est et le dernier chiffre de $b$ est ou .
Donc $a$ et $b$ sont tous les deux divisibles par , donc $\dfrac{a}{b}$ n'est pas .
En supposant $\sqrt{2}$ rationnel, on est arrivé à une contradiction → $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.
Définition : Un nombre est rationnel s'il s'écrit $\dfrac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{Z}^*$.
On suppose $\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$ irréductible. En élevant au carré : $\mathbf{2 = \dfrac{a^2}{b^2}}$ puis $\mathbf{a^2 = 2b^2}$.
| Unités de $a$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Unités de $a^2$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 |
| Unités de $b$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Unités de $2b^2$ | 0 | 2 | 8 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | 8 | 2 |
Seul chiffre commun aux deux lignes : 0. Donc :
$(2k)^2 = 2b^2 \Rightarrow 4k^2 = 2b^2 \Rightarrow b^2 = 2k^2$ → $b$ est pair.
$a$ et $b$ pairs → divisibles par 2 → $\dfrac{a}{b}$ pas irréductible. Contradiction !
Donc $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.
a = int(input("Entrer a : ")) b = int(input("Entrer b : ")) if a % b == 0: print(a, "est un multiple de", b) else: print(a, "n'est pas un multiple de", b)
% en Python ?a = int(input("Entrer a : ")) b = int(input("Entrer b : ")) k = b // a # division euclidienne multiple = k * a print("Plus grand multiple de", a, "inférieur ou égal à", b, "est :", multiple)
b // a ? En quoi diffère-t-il de b / a ?