Le repérage dans le plan repose sur la notion de coordonnées, introduite au XVIIe siècle principalement par le mathématicien et philosophe français René Descartes (1596–1650) dans son ouvrage La Géométrie (1637), ainsi que par Pierre de Fermat.
Descartes a eu l'idée révolutionnaire d'associer l'algèbre et la géométrie. Pour repérer la position d'un point dans un plan, il utilise deux axes (pas nécessairement perpendiculaires à l'origine). Cette méthode permet de traduire des problèmes géométriques en équations algébriques. C'est en son honneur que l'on parle aujourd'hui de coordonnées cartésiennes et de repère cartésien.
L'axe horizontal est appelé l'axe des abscisses, et l'axe vertical l'axe des ordonnées (termes introduits plus tard par Leibniz).
Un repère orthonormé (ou orthonormal) est un ensemble de deux axes, $(OI)$ et $(OJ)$, gradués avec la même unité ($OI = OJ = 1$ unité), perpendiculaires et ayant la même origine $O$. On le note $(O~;~I~;~J)$.
Le point $M$ a pour abscisse $x_M = \dots$ et pour ordonnée $y_M = \dots$
On note ses coordonnées $M(\dots~;~\dots)$.
Un repère orthonormé (ou orthonormal) est un ensemble de deux axes, $(OI)$ et $(OJ)$, gradués avec la même unité ($OI = OJ = 1$ unité), perpendiculaires et ayant la même origine $O$. On le note $(O~;~I~;~J)$.
Le point $M$ a pour abscisse $x_M = 3$ et pour ordonnée $y_M = 2$
On note ses coordonnées $M(3~;~2)$.
Un repère du plan est constitué de trois points non alignés. On le note $(O~;~I~;~J)$ :
Dans un repère, l'abscisse du point $A$ est $x_A = \dots$ et son ordonnée $y_A = \dots$
On note ses coordonnées $A(\dots~;~\dots)$.
Un repère du plan est constitué de trois points non alignés. On le note $(O~;~I~;~J)$ :
Dans un repère, l'abscisse du point $A$ est $x_A = 3$ et son ordonnée $y_A = 2$
On note ses coordonnées $A(3~;~2)$.
On se place dans un repère $(O~;~I~;~J)$.
Si $M$ est le milieu du segment $[AB]$, alors $M$ a pour coordonnées :
$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \quad \text{et} \quad y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}$
Remarque : Les coordonnées du milieu s'obtiennent donc simplement en calculant la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des extrémités du segment.
Dans un repère orthonormé, lire les coordonnées des points $A(\dots~;~\dots)$ et $B(\dots~;~\dots)$.
Calculer les coordonnées du point $I$, milieu de $[AB]$.
Dans un repère orthonormé, lire les coordonnées des points $A(\dots~;~\dots)$ et $B(\dots~;~\dots)$.
Calculer les coordonnées du point $I$, milieu de $[AB]$.
Correction :
Lecture : $A(-2~;~1)$ et $B(4~;~3)$.
$x_I = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y_I = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Donc $I(1~;~2)$.
Dans un repère quelconque, lire les coordonnées des points $A(\dots~;~\dots)$ et $B(\dots~;~\dots)$.
Calculer les coordonnées du point $L$, milieu de $[AB]$.
Dans un repère quelconque, lire les coordonnées des points $A(\dots~;~\dots)$ et $B(\dots~;~\dots)$.
Calculer les coordonnées du point $L$, milieu de $[AB]$.
Correction :
Lecture : $A(1~;~4)$ et $B(5~;~-1)$.
$x_L = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$y_L = \frac{4 + (-1)}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$
Donc $L(3~;~1,5)$.
Si, dans un repère orthonormé, $A(x_A~;~y_A)$ et $B(x_B~;~y_B)$, alors la distance $AB$ se calcule avec la formule :
$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
Il est impératif que le repère soit orthonormé. Dans le cas contraire, cette formule (qui découle directement du théorème de Pythagore) ne fonctionne pas.
Dans un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$, placer les points $A(1~;~2)$, $B(4~;~1)$ et $C(2~;~4)$.
Calculer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$. Que peut-on en déduire pour le triangle $ABC$ ?
Dans un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$, placer les points $A(1~;~2)$, $B(4~;~1)$ et $C(2~;~4)$.
Calculer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$. Que peut-on en déduire pour le triangle $ABC$ ?
$AB = \sqrt{(4-1)^2+(1-2)^2} = \sqrt{3^2+(-1)^2} = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{(2-1)^2+(4-2)^2} = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(2-4)^2+(4-1)^2} = \sqrt{(-2)^2+3^2} = \sqrt{13}$
On remarque que le plus grand côté de ce triangle est $BC$
$BC^2 = \sqrt{13}^2 = 13$
$AB^2 + AC^2 = 10 + 5 = 15$.
Ainsi $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$
D'après la contraposée du théorème de Ptyhagore le triangle ABC n'est pas rectangle.
Pas d'angle droit, et longueurs inégales : ABC est un triangle quelconque.
| Algorithme : Coordonnées du milieu |
|---|
| Entrées : $x_A, y_A, x_B, y_B$ |
| $x_M \leftarrow \dfrac{x_A + x_B}{2}$ |
| $y_M \leftarrow \dfrac{y_A + y_B}{2}$ |
| Sorties : $x_M, y_M$ |
Langage Python :
def milieu(xA, yA, xB, yB): xM = (xA + xB) / 2 yM = (yA + yB) / 2 return xM, yM
| Algorithme : Calcul de la distance |
|---|
| Entrées : $x_A, y_A, x_B, y_B$ |
| $d \leftarrow \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ |
| Sorties : $d$ |
Langage Python :
from math import sqrt def distance(xA, yA, xB, yB): d = sqrt((xB - xA)**2 + (yB - yA)**2) return d