Une fonction affine $f$ est de la forme $f(x) = mx + p$ où :
La droite représentative a pour équation $y = mx + p$.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Les droites $d_1 : y = 3x - 1$, $d_2 : y = 3x + 4$ et $d_3 : y = 2x + 1$ sont-elles parallèles deux à deux ?
$d_1$ et $d_2$ ont le même coefficient directeur $m = 3$ → $d_1 \parallel d_2$.
$d_3$ a $m = 2 \neq 3$ → $d_3$ n'est pas parallèle à $d_1$ ni à $d_2$.
Un vecteur $\vec{u}$ non nul est un vecteur directeur d'une droite $d$ s'il existe deux points $A$ et $B$ distincts de $d$ tels que $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$.
Tout multiple non nul d'un vecteur directeur est aussi un vecteur directeur de la même droite.
La droite $d$ ci-contre passe par $A(2\,;\,1)$ et $B(5\,;\,2)$.
Donner un vecteur directeur de $d$.
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5-2 \\ 2-1\end{pmatrix}$ soit $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}$
Donc $\vec{u}\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$.
On pouvait aussi prendre $\vec{v}\begin{pmatrix}6 \\ 2\end{pmatrix}$ ou $\vec{w}\begin{pmatrix}-3 \\ -1\end{pmatrix}$, etc.
L'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ vérifiant $ax + by + c = 0$ avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$ est une droite dont un vecteur directeur est :
$\vec{u}\begin{pmatrix}-b \\ a\end{pmatrix}$
Démonstration : section 7.
Toute droite $d$ a une équation de la forme $ax + by + c = 0$ avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$.
Cette équation est appelée équation cartésienne de $d$. Un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix}-b \\ a\end{pmatrix}$.
Donner un vecteur directeur des droites suivantes :
1) $a=2$, $b=-3$ → $\vec{u}\begin{pmatrix}-(-3) \\ 2\end{pmatrix}$ soit $\vec{u}\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}$
2) $a=1$, $b=2$ → $\vec{u}\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix}$
3) $x=3$ s'écrit $1\times x + 0\times y - 3 = 0$, donc $a=1$, $b=0$ → $\vec{u}\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$ (vecteur vertical).
On considère la droite d'équation $ax + by + c = 0$ avec $b \neq 0$.
Représenter graphiquement la droite $d$ d’équation $2x - 3y + 6 = 0$ en utilisant la méthode « deux valeurs pour $x$ ».
On choisit par exemple $x=0$ puis $x=3$.
Pour $x=0$ : $2\times 0 - 3y + 6 = 0 \iff -3y+6=0 \iff -3y=-6 \iff y=2$
Donc $A(0\,;\,2)$ appartient à $d$.
Pour $x=3$ : $2\times 3 - 3y + 6 = 0 \iff 6 - 3y + 6 = 0 \iff 12 - 3y = 0 \iff y=4$
Donc $B(3\,;\,4)$ appartient à $d$.
On peut utiliser les intersections avec les axes :
Ces deux points suffisent pour tracer la droite.
Représenter graphiquement la droite $d$ d’équation $2x - 3y + 6 = 0$ en utilisant la méthode des intersections avec les axes.
Intersection avec l’axe des ordonnées : on prend $x=0$.
$2\times 0 -3y+6=0 \iff -3y=-6 \iff y=2$
Point $A(0\,;\,2)$.
Intersection avec l’axe des abscisses : on prend $y=0$.
$2x-3\times 0+6=0 \iff 2x=-6 \iff x=-3$
Point $B(-3\,;\,0)$.
On considère $ax + by + c = 0$ avec $(a\,;\,b)\neq(0\,;\,0)$.
On considère la droite $d$ d’équation $2x - 3y + 6 = 0$.
1) Point $A$ : En choisissant $x=0$, on trouve $-3y+6=0 \implies y=2$.
Donc $A(0\,;\,2) \in d$.
2) Vecteur directeur : $\vec{u}\binom{-b}{a} = \binom{-(-3)}{2} = \binom{3}{2}$.
3) Point $B$ : $x_B = x_A + 3 = 0+3=3$ et $y_B = y_A + 2 = 2+2=4$.
Donc $B(3\,;\,4) \in d$.
Toute droite non verticale s'écrit sous la forme :
$y = mx + p$
où $m$ est le coefficient directeur et $p$ est l'ordonnée à l'origine.
Une droite verticale a une équation $x = k$ (avec $k \in \mathbb{R}$).
De $ax + by + c = 0$ avec $b \neq 0$, on isole $y$ :
$y = -\dfrac{a}{b}\,x - \dfrac{c}{b}$ donc $m = -\dfrac{a}{b}$ et $p = -\dfrac{c}{b}$
Donner l'équation réduite de la droite $d : 3x - 2y + 8 = 0$.
$3x - 2y + 8 = 0 \iff -2y = -3x - 8 \iff y = \dfrac{3}{2}\,x + 4$
Coefficient directeur $m = \dfrac{3}{2}$ · Ordonnée à l'origine $p = 4$.
Droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix}$ :
$M(x\,;\,y) \in d \iff \overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ colinéaires
$\iff \det(\overrightarrow{AM},\, \vec{u}) = 0$
$(x - x_A)\beta - (y - y_A)\alpha = 0$
Déterminer l'équation cartésienne de la droite passant par $A(1\,;\,3)$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}$.
On a, pour tout point $M(x\,;\,y)$ : $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-1 \\ y-3\end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}$.
$M(x\,;\,y) \in d\iff \overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ colinéaires$\iff \det(\overrightarrow{AM},\, \vec{u}) = 0\iff (x-1)\times(-1) - (y-3)\times 2 = 0$
$\iff -x+1-2y+6 = 0 \iff -x-2y+7=0$
Équation cartésienne : $x + 2y - 7 = 0$
Droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ :
Déterminer l'équation cartésienne de la droite passant par $A(-1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,4)$.
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3-(-1) \\ 4-2\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix}x+1 \\ y-2\end{pmatrix}$
$M(x\,;\,y) \in d\iff \overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ colinéaires $\iff \det(\overrightarrow{AM},\, \vec{u}) = 0$
$\iff (x+1)\times 2 - (y-2)\times 4 = 0 \iff 2x+2-4y+8=0$
Équation : $x - 2y + 5 = 0$ ou en réduite $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$
Droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ de coefficient directeur $m$ :
$y = m(x - x_A) + y_A$
Déterminer l'équation réduite de la droite passant par $A(2\,;\,-1)$ de pente $m = 3$.
On remplace dans la formule $y=m(x-x_A)+y_A$
$\iff y = 3(x - 2) + (-1)$
$\iff y= 3x - 6 - 1$
La droite a pour équation $y = 3x - 7$
Soient $d_1$ et $d_2$ de vecteurs directeurs $\vec{u_1}\begin{pmatrix}a_1 \\ b_1\end{pmatrix}$ et $\vec{u_2}\begin{pmatrix}a_2 \\ b_2\end{pmatrix}$.
Si $d_1 : y = m_1 x + p_1$ et $d_2 : y = m_2 x + p_2$, alors $\vec{u_1}\begin{pmatrix}1 \\ m_1\end{pmatrix}$ et $\vec{u_2}\begin{pmatrix}1 \\ m_2\end{pmatrix}$.
$\det(\vec{u_1},\vec{u_2}) = m_2 - m_1$ → $d_1 \parallel d_2 \iff m_1 = m_2$.
Déterminer si les droites suivantes sont parallèles ou sécantes :
1) $\vec{u_1}\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}$, $\vec{u_2}\begin{pmatrix}6 \\ 4\end{pmatrix}$
$\det = 3\times 4 - 6\times 2 = 0$ → parallèles
2) $\vec{u_3}\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix}$, $\vec{u_4}\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}$
$\det = (-2)\times 3 - 1\times 1 = -7 \neq 0$ → sécantes
Pour trouver le point $I$ d'intersection de $d_1 : y = m_1 x + p_1$ et $d_2 : y = m_2 x + p_2$, on résout :
$\begin{cases} y = m_1 x + p_1 \\ y = m_2 x + p_2 \end{cases}$
En substituant : $(m_1 - m_2)x = p_2 - p_1 \implies x = \dfrac{p_2 - p_1}{m_1 - m_2}$
On reporte ensuite la valeur de $x$ trouvée dans l'une des équations pour obtenir $y$.
On conclut en donnant les coordonnées du point d'intersection.
1) $2x+1=-x+4 \iff 3x=3 \iff x=1$
$y=2\times1+1=3$ → $I_1(1\,;\,3)$
2) $\dfrac{1}{2}x-1=-\dfrac{3}{2}x+3 \iff 2x=4 \iff x=2$
$y=\dfrac{1}{2}\times2-1=0$ → $I_2(2\,;\,0)$
Deux navires suivent des trajectoires rectilignes :
Navire 1 : $d_1 : y = 2x - 1$ · Navire 2 : $d_2 : y = -3x + 4$ (distances en km)
1) $\vec{u_1}\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}$ et $\vec{u_2}\begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix}$
2) $\det(\vec{u_1},\vec{u_2}) = 1\times(-3) - 1\times 2 = -5 \neq 0$ → sécantes
3) $2x-1=-3x+4 \iff 5x=5 \iff x=1$ · $y=2\times1-1=1$ → $I(1\,;\,1)$
4) Non : les navires passent en $I$ à des instants différents → pas de collision.
L'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $ax + by + c = 0$ avec $(a\,;\,b)\neq(0\,;\,0)$ est une droite de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-b \\ a\end{pmatrix}$.
On va montrer que $M$ vérifie $ax+by+c=0$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0$.
Il existe $A(x_A\,;\,y_A)$ vérifiant $ax_A+by_A+c=0$ (car $(a,b)\neq(0,0)$).
Pour tout $M(x\,;\,y)$ :
$M\in(d) \iff ax+by+c=0$
$\iff ax+by+c-(ax_A+by_A+c)=0$ (car $ax_A+by_A+c=0$)
$\iff a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$
Or $\det\!\left(\overrightarrow{AM},\vec{u}\right) = (x-x_A)\times a - (y-y_A)\times(-b) = a(x-x_A)+b(y-y_A)$
Donc $M\in(d) \iff \det(\overrightarrow{AM},\vec{u})=0 \iff \overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ colinéaires.
C'est la définition de la droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-b \\ a\end{pmatrix}$.
def etudie_droites(m1, p1, m2, p2): if m1 == m2: print("Les droites sont paralleles.") else: x = (p2 - p1) / (m1 - m2) y = m1 * x + p1 print("Les droites sont secantes.") print("Point d'intersection :", x, y) etudie_droites(2, 1, -1, 4)
m1 ? Quelle droite représente-t-il ?m1 | p1 | m2 | p2 | m1==m2 | x | y |
|---|---|---|---|---|---|---|
etudie_droites(3, -1, 3, 4). Qu'affiche-t-il ? Pourquoi ?1) m1 = 2 → droite $d_1 : y = 2x + 1$.
2) m1 ≠ m2 (2 ≠ −1) → affiche sécantes.
3) m1=2, p1=1, m2=-1, p2=4, m1==m2=False, x=1.0, y=3.0
4) Affiche « Les droites sont secantes. » puis « Point d'intersection : 1.0 3.0 ». Correspond bien à $I_1(1\,;\,3)$.
5) Ajouter avant le if :
print(f"d1: y = {m1}x + {p1}") print(f"d2: y = {m2}x + {p2}")
6) m1 = m2 = 3 → affiche « Les droites sont paralleles. »