Une fonction affine $f$ est de la forme $f(x) = mx + p$ où :
La droite représentative a pour équation $y = mx + p$.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Les droites $d_1 : y = 3x - 1$, $d_2 : y = 3x + 4$ et $d_3 : y = 2x + 1$ sont-elles parallèles deux à deux ?
$d_1$ et $d_2$ ont le même coefficient directeur $m = 3$ → $d_1 \parallel d_2$.
$d_3$ a $m = 2 \neq 3$ → $d_3$ n'est pas parallèle à $d_1$ ni à $d_2$.
Un vecteur $\vec{u}$ non nul est un vecteur directeur d'une droite $d$ s'il existe deux points $A$ et $B$ distincts de $d$ tels que $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$.
Tout multiple non nul d'un vecteur directeur est aussi un vecteur directeur de la même droite.
La droite $d$ ci-contre passe par $A(2\,;\,1)$ et $B(5\,;\,2)$.
Donner un vecteur directeur de $d$.
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5-2 \\ 2-1\end{pmatrix}$ soit $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}$
Donc $\vec{u}\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$.
On pouvait aussi prendre $\vec{v}\begin{pmatrix}6 \\ 2\end{pmatrix}$ ou $\vec{w}\begin{pmatrix}-3 \\ -1\end{pmatrix}$, etc.
L'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ vérifiant $ax + by + c = 0$ avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$ est une droite dont un vecteur directeur est :
$\vec{u}\begin{pmatrix}-b \\ a\end{pmatrix}$
Démonstration : section 7.
Toute droite $d$ a une équation de la forme $ax + by + c = 0$ avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$.
Cette équation est appelée équation cartésienne de $d$. Un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix}-b \\ a\end{pmatrix}$.
Donner un vecteur directeur des droites suivantes :
1) $a=2$, $b=-3$ → $\vec{u}\begin{pmatrix}-(-3) \\ 2\end{pmatrix}$ soit $\vec{u}\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}$
2) $a=1$, $b=2$ → $\vec{u}\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix}$
3) $x=3$ s'écrit $1\times x + 0\times y - 3 = 0$, donc $a=1$, $b=0$ → $\vec{u}\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$ (vecteur vertical).
On considère la droite d'équation $ax + by + c = 0$ avec $b \neq 0$.
Représenter graphiquement la droite $d$ d’équation $2x - 3y + 6 = 0$ en utilisant la méthode « deux valeurs pour $x$ ».
On choisit par exemple $x=0$ puis $x=3$.
Pour $x=0$ : $2\times 0 - 3y + 6 = 0 \iff -3y+6=0 \iff -3y=-6 \iff y=2$
Donc $A(0\,;\,2)$ appartient à $d$.
Pour $x=3$ : $2\times 3 - 3y + 6 = 0 \iff 6 - 3y + 6 = 0 \iff 12 - 3y = 0 \iff y=4$
Donc $B(3\,;\,4)$ appartient à $d$.
On peut utiliser les intersections avec les axes :
Ces deux points suffisent pour tracer la droite.
Représenter graphiquement la droite $d$ d’équation $2x - 3y + 6 = 0$ en utilisant la méthode des intersections avec les axes.
Intersection avec l’axe des ordonnées : on prend $x=0$.
$2\times 0 -3y+6=0 \iff -3y=-6 \iff y=2$
Point $A(0\,;\,2)$.
Intersection avec l’axe des abscisses : on prend $y=0$.
$2x-3\times 0+6=0 \iff 2x=-6 \iff x=-3$
Point $B(-3\,;\,0)$.
On considère $ax + by + c = 0$ avec $(a\,;\,b)\neq(0\,;\,0)$.
On considère la droite $d$ d’équation $2x - 3y + 6 = 0$.
1) Point $A$ : En choisissant $x=0$, on trouve $-3y+6=0 \implies y=2$.
Donc $A(0\,;\,2) \in d$.
2) Vecteur directeur : $\vec{u}\binom{-b}{a} = \binom{-(-3)}{2} = \binom{3}{2}$.
3) Point $B$ : $x_B = x_A + 3 = 0+3=3$ et $y_B = y_A + 2 = 2+2=4$.
Donc $B(3\,;\,4) \in d$.
Toute droite non verticale s'écrit sous la forme :
$y = mx + p$
où $m$ est le coefficient directeur et $p$ est l'ordonnée à l'origine.
Une droite verticale a une équation $x = k$ (avec $k \in \mathbb{R}$).
De $ax + by + c = 0$ avec $b \neq 0$, on isole $y$ :
$y = -\dfrac{a}{b}\,x - \dfrac{c}{b}$ donc $m = -\dfrac{a}{b}$ et $p = -\dfrac{c}{b}$
Donner l'équation réduite de la droite $d : 3x - 2y + 8 = 0$.
$3x - 2y + 8 = 0 \iff -2y = -3x - 8 \iff y = \dfrac{3}{2}\,x + 4$
Coefficient directeur $m = \dfrac{3}{2}$ · Ordonnée à l'origine $p = 4$.
Droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix}$ :
$M(x\,;\,y) \in d \iff \overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ colinéaires
$\iff \det(\overrightarrow{AM},\, \vec{u}) = 0$
$(x - x_A)\beta - (y - y_A)\alpha = 0$
Déterminer l'équation cartésienne de la droite passant par $A(1\,;\,3)$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}$.
On a, pour tout point $M(x\,;\,y)$ : $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-1 \\ y-3\end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}$.
$M(x\,;\,y) \in d\iff \overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ colinéaires$\iff \det(\overrightarrow{AM},\, \vec{u}) = 0\iff (x-1)\times(-1) - (y-3)\times 2 = 0$
$\iff -x+1-2y+6 = 0 \iff -x-2y+7=0$
Équation cartésienne : $x + 2y - 7 = 0$
Droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ :
Déterminer l'équation cartésienne de la droite passant par $A(-1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,4)$.
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3-(-1) \\ 4-2\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix}x+1 \\ y-2\end{pmatrix}$
$M(x\,;\,y) \in d\iff \overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ colinéaires $\iff \det(\overrightarrow{AM},\, \overrightarrow{AB}) = 0$
$\iff (x+1)\times 2 - (y-2)\times 4 = 0 \iff 2x+2-4y+8=0$
Équation : $x - 2y + 5 = 0$ ou en réduite $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$
Droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ de coefficient directeur $m$ :
$y = m(x - x_A) + y_A$
Déterminer l'équation réduite de la droite passant par $A(2\,;\,-1)$ de pente $m = 3$.
On remplace dans la formule $y=m(x-x_A)+y_A$
$\iff y = 3(x - 2) + (-1)$
$\iff y= 3x - 6 - 1$
La droite a pour équation $y = 3x - 7$
Soient deux droites $d_1$ et $d_2$ dont on connait les équations cartésiennes $d_1 : a_1x + b_1y + c_1 = 0$ et $d_2 : a_2x + b_2y + c_2 = 0$, de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u_1}\begin{pmatrix}-b_1\\a_1\end{pmatrix}$ et $\vec{u_2}\begin{pmatrix}-b_2\\a_2\end{pmatrix}$.
Déterminer si les droites suivantes sont parallèles ou sécantes :
1) $\vec{u_1}\begin{pmatrix}-(-3)\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$, $\vec{u_2}\begin{pmatrix}-(-6)\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$
$\det(\vec{u_1},\vec{u_2}) = 3\times 4 - 6\times 2 = 0$ → parallèles
2) $\vec{u_3}\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$, $\vec{u_4}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$
$\det(\vec{u_3},\vec{u_4}) = (-2)\times 3 - 1\times 1 = -7 \neq 0$ → sécantes
Pour trouver le point $I(x_I\,;\,y_I)$ d'intersection de deux droites sécantes
$d_1 : a_1x+b_1y+c_1=0$ et $d_2 : a_2x+b_2y+c_2=0,$
on distingue deux cas selon que les droites sont verticales ou non.
Premier cas : $b_1\neq 0$ et $b_2\neq 0$.
Les deux droites ne sont pas verticales : on repasse par leurs équations réduites.
Les deux droites sécantes ont pour équations réduites :
$d_1 : y=m_1x+p_1$ et $d_2 : y=m_2x+p_2.$
Deuxième cas : l'un des coefficients $b_1$ ou $b_2$ est nul.
La droite correspondante est verticale. L'autre droite n'est pas verticale, puisque les deux droites sont sécantes.
Par exemple, si $b_1=0$, l'équation de $d_1$ devient :
$$a_1x+c_1=0.$$Si $b_2=0$, on procède de la même façon en échangeant les rôles des deux droites.
On considère les droites :
$$d_1 : 2x-y-3=0 \qquad\text{et}\qquad d_2 : x+2y-4=0.$$Des vecteurs directeurs sont :
$$\vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \vec{u_2}\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}.$$Les deux droites sont donc sécantes.
Les coefficients de $y$ sont non nuls : on isole $y$ dans chaque équation.
Pour $d_1$ :
$$\begin{aligned} 2x-y-3=0 &\iff -y=-2x+3\\ &\iff y=2x-3. \end{aligned}$$Pour $d_2$ :
$$\begin{aligned} x+2y-4=0 &\iff 2y=-x+4\\ &\iff y=-\dfrac12x+2. \end{aligned}$$Au point d'intersection, les deux expressions de $y$ sont égales :
$$2x-3=-\dfrac12x+2.$$On multiplie les deux membres par $2$ :
$$\begin{aligned} 2x-3=-\dfrac12x+2 &\iff 4x-6=-x+4\\ &\iff 4x+x=4+6\\ &\iff 5x=10\\ &\iff x=2. \end{aligned}$$L'abscisse du point d'intersection est donc $x_I=2$.
On a trouvé $x_I=2$.
On utilise l'équation réduite de $d_1$ :
$$y=2x-3.$$On remplace $x$ par $2$ :
$$y_I=2\times2-3=4-3=1.$$Le point d'intersection est donc :
$$\boxed{I_1(2\,;\,1)}.$$Pour vérifier que $I_1(2\,;\,1)$ appartient à $d_1 : 2x-y-3=0$, on remplace $x$ par $2$ et $y$ par $1$ :
$$2\times2-1-3=4-1-3=0.$$Donc $I_1\in d_1$.
Pour vérifier que $I_1(2\,;\,1)$ appartient à $d_2 : x+2y-4=0$, on remplace $x$ par $2$ et $y$ par $1$ :
$$2+2\times1-4=2+2-4=0.$$Donc $I_1\in d_2$.
$d_1 : 2x-y-3=0 \iff y=2x-3$
$d_2 : x+2y-4=0 \iff y=-\dfrac12x+2$
Point d'intersection : $I_1(2\,;\,1)$.
On considère les droites :
$$d_3 : x+2y-3=0 \qquad\text{et}\qquad d_4 : 3x-y+1=0.$$Des vecteurs directeurs sont :
$$\vec{u_3}\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \vec{u_4}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.$$Les deux droites sont donc sécantes.
Les coefficients de $y$ sont non nuls : on isole $y$ dans chaque équation.
Pour $d_3$ :
$$\begin{aligned} x+2y-3=0 &\iff 2y=-x+3\\ &\iff y=-\dfrac12x+\dfrac32. \end{aligned}$$Pour $d_4$ :
$$\begin{aligned} 3x-y+1=0 &\iff -y=-3x-1\\ &\iff y=3x+1. \end{aligned}$$Au point d'intersection, les deux expressions de $y$ sont égales :
$$-\dfrac12x+\dfrac32=3x+1.$$On multiplie les deux membres par $2$ :
$$\begin{aligned} -\dfrac12x+\dfrac32=3x+1 &\iff -x+3=6x+2\\ &\iff 3-2=6x+x\\ &\iff 1=7x\\ &\iff x=\dfrac17. \end{aligned}$$L'abscisse du point d'intersection est donc $x_I=\dfrac17$.
On a trouvé $x_I=\dfrac17$.
On utilise l'équation réduite de $d_4$ : $y=3x+1$ en remplaçant $x$ par $\dfrac17$ :
$$\begin{aligned} y_I&=3\times\dfrac17+1\\ &=\dfrac37+\dfrac77=\dfrac{10}{7}. \end{aligned}$$Le point d'intersection est donc :
$$\boxed{I_2\!\left(\dfrac17\,;\,\dfrac{10}{7}\right)}.$$On vérifie que le point $I_2\!\left(\dfrac17\,;\,\dfrac{10}{7}\right)$ appartient à la droite :
$$d_3 : x+2y-3=0.$$On remplace $x$ par $\dfrac17$ et $y$ par $\dfrac{10}{7}$ :
$$\begin{aligned} \dfrac17+2\times\dfrac{10}{7}-3 &=\dfrac17+\dfrac{20}{7}-\dfrac{21}{7}\\ &=\dfrac{1+20-21}{7}\\ &=0. \end{aligned}$$Donc $I_2\in d_3$.
On vérifie que le point $I_2\!\left(\dfrac17\,;\,\dfrac{10}{7}\right)$ appartient à la droite :
$$d_4 : 3x-y+1=0.$$On remplace $x$ par $\dfrac17$ et $y$ par $\dfrac{10}{7}$ :
$$\begin{aligned} 3\times\dfrac17-\dfrac{10}{7}+1 &=\dfrac37-\dfrac{10}{7}+\dfrac77\\ &=\dfrac{3-10+7}{7}\\ &=0. \end{aligned}$$Donc $I_2\in d_4$.
$d_3 : x+2y-3=0 \iff y=-\dfrac12x+\dfrac32$
$d_4 : 3x-y+1=0 \iff y=3x+1$
Point d'intersection : $I_2\!\left(\dfrac17\,;\,\dfrac{10}{7}\right)$.
Deux navires suivent des trajectoires rectilignes :
Navire 1 : $d_1 : 2x-y-1=0$ · Navire 2 : $d_2 : 3x+y-4=0$ (distances en km)
1) Pour une droite d'équation $ax+by+c=0$, un vecteur directeur a pour coordonnées $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$.
Pour $d_1 : 2x-y-1=0$, on a $a_1=2$ et $b_1=-1$ :
$$\vec{u_1}\begin{pmatrix}-(-1)\\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}.$$Pour $d_2 : 3x+y-4=0$, on a $a_2=3$ et $b_2=1$ :
$$\vec{u_2}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}.$$2) On utilise les vecteurs directeurs :
$$\vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \vec{u_2}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}.$$On calcule leur déterminant :
$$\begin{aligned} \det(\vec{u_1},\vec{u_2}) &=1\times3-(-1)\times2\\ &=3+2\\ &=5\neq0. \end{aligned}$$Les trajectoires sont donc sécantes : elles ont un unique point d'intersection.
3) Les coefficients de $y$ sont non nuls : on isole $y$ dans chaque équation.
Pour la trajectoire du navire 1 :
$$\begin{aligned} 2x-y-1=0 &\iff -y=-2x+1\\ &\iff y=2x-1. \end{aligned}$$Pour la trajectoire du navire 2 :
$$3x+y-4=0 \iff y=-3x+4.$$On obtient donc :
$$d_1 : y=2x-1 \qquad\text{et}\qquad d_2 : y=-3x+4.$$3) Au point d'intersection, les deux expressions de $y$ sont égales :
$$2x-1=-3x+4.$$On regroupe les termes en $x$ à gauche et les constantes à droite :
$$\begin{aligned} 2x-1=-3x+4 &\iff 2x+3x=4+1\\ &\iff 5x=5\\ &\iff x=1. \end{aligned}$$L'abscisse du point d'intersection est donc $x_I=1$.
3) On a trouvé $x_I=1$.
On utilise l'équation réduite de $d_1$ :
$$y=2x-1.$$On remplace $x$ par $1$ :
$$y_I=2\times1-1=2-1=1.$$Les deux trajectoires se coupent donc au point :
$$\boxed{I(1\,;\,1)}.$$Pour vérifier que $I(1\,;\,1)$ appartient à $d_1 : 2x-y-1=0$, on remplace $x$ par $1$ et $y$ par $1$ :
$$2\times1-1-1=2-1-1=0.$$Donc $I\in d_1$.
Pour vérifier que $I(1\,;\,1)$ appartient à $d_2 : 3x+y-4=0$, on remplace $x$ par $1$ et $y$ par $1$ :
$$3\times1+1-4=3+1-4=0.$$Donc $I\in d_2$.
4) Le point $I(1\,;\,1)$ est le seul point commun aux deux trajectoires.
Dans le modèle de l'exercice, une collision suppose que les deux navires occupent ce point au même instant.
Or les navires passent en $I$ à des instants différents : ils ne s'y trouvent donc pas simultanément.
Il n'y a donc pas de collision dans ce modèle.
L'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $ax + by + c = 0$ avec $(a\,;\,b)\neq(0\,;\,0)$ est une droite de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-b \\ a\end{pmatrix}$.
On va montrer que les coordonnées de $M$ vérifient $ax+by+c=0$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0$.
Il existe $A(x_A\,;\,y_A)$ vérifiant $ax_A+by_A+c=0$ (car $(a,b)\neq(0,0)$).
Pour tout $M(x\,;\,y)$ :
$M\in(d) \iff ax+by+c=0$
$\iff ax+by+c-(ax_A+by_A+c)=0$ (car $ax_A+by_A+c=0$)
$\iff a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$
Or $\det\!\left(\overrightarrow{AM},\vec{u}\right) = (x-x_A)\times a - (y-y_A)\times(-b) = a(x-x_A)+b(y-y_A)$
Donc $M\in(d) \iff \det(\overrightarrow{AM},\vec{u})=0 \iff \overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ colinéaires.
C'est la définition de la droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-b \\ a\end{pmatrix}$.
def etudie_droites(m1, p1, m2, p2): if m1 == m2: print("Les droites sont paralleles.") else: x = (p2 - p1) / (m1 - m2) y = m1 * x + p1 print("Les droites sont secantes.") print("Point d'intersection :", x, y) etudie_droites(2, 1, -1, 4)
m1 ? Quelle droite représente-t-il ?m1 | p1 | m2 | p2 | m1==m2 | x | y |
|---|---|---|---|---|---|---|
etudie_droites(3, -1, 3, 4). Qu'affiche-t-il ? Pourquoi ?1) m1 = 2 → droite $d_1 : y = 2x + 1$.
2) m1 ≠ m2 (2 ≠ −1) → affiche sécantes.
3) m1=2, p1=1, m2=-1, p2=4, m1==m2=False, x=1.0, y=3.0
4) Affiche « Les droites sont secantes. » puis « Point d'intersection : 1.0 3.0 ». Correspond bien à $I_1(1\,;\,3)$.
5) Ajouter avant le if :
print(f"d1: y = {m1}x + {p1}") print(f"d2: y = {m2}x + {p2}")
6) m1 = m2 = 3 → affiche « Les droites sont paralleles. »