Comparer deux réels $a$ et $b$ par leur différence, c'est calculer $a - b$ et interpréter le signe :
Cette méthode est particulièrement pertinente quand les deux grandeurs sont de même nature et qu'on veut mesurer un écart (par exemple : comparer deux températures, deux durées, deux scores).
Comparer les réels suivants par leur différence :
1) $7-3=4>0$ donc $7>3$
2) $-2-5=-7<0$ donc $-2<5$
3) $\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{12}-\dfrac{10}{12}=-\dfrac{1}{12}<0$ donc $\dfrac{3}{4}<\dfrac{5}{6}$
4) $\dfrac{7}{12}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{14}{24}-\dfrac{15}{24}=-\dfrac{1}{24}<0$ donc $\dfrac{7}{12}<\dfrac{5}{8}$
5) $1{,}73-\sqrt{3}\approx -0{,}002<0$ donc $1{,}73<\sqrt{3}$
6) $-\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{8}{12}+\dfrac{9}{12}=\dfrac{1}{12}>0$ donc $-\dfrac{2}{3}>-\dfrac{3}{4}$
La température minimale un jour d'hiver est $-3\,^{\circ}$C et la température maximale est $4\,^{\circ}$C.
1) $4-(-3)=4+3=7>0$ donc $4>-3$ : la température maximale est supérieure à la minimale.
2) La différence est $7\,^{\circ}$C : la température maximale dépasse la minimale de $7\,^{\circ}$C (amplitude thermique de la journée).
Pour deux réels strictement positifs $a$ et $b$, comparer par leur quotient, c'est calculer $\dfrac{a}{b}$ et interpréter :
Le quotient est plus informatif que la différence quand les valeurs sont d'ordres de grandeur très différents : un même écart peut être énorme ou négligeable selon les valeurs comparées. Par exemple, passer de $10$ à $11$ € est une hausse de $10\,\%$ ; passer de $1\,000$ à $1\,001$ € est une hausse de $0{,}1\,\%$.
Comparer les réels suivants par leur quotient. Dire lequel l'emporte et dans quel rapport.
1) $\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}=1{,}5>1$ donc $6>4$.
2) $\dfrac{5/3}{7/4}=\dfrac{5}{3}\times\dfrac{4}{7}=\dfrac{20}{21}\lt1$ donc $\dfrac{5}{3}\lt\dfrac{7}{4}$.
3) $\dfrac{2/5}{3/8}=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{15}>1$ donc $\dfrac{2}{5}>\dfrac{3}{8}$.
4) $\dfrac{0{,}8}{0{,}9}=\dfrac{8}{9}\lt1$ donc $0{,}8\lt0{,}9$.
Si $a \leq b$ et $c \leq d$, alors $a + c \leq b + d$.
Autrement dit : on peut additionner terme à terme deux inégalités de même sens.
La température le matin est comprise entre $-2\,^{\circ}$C et $5\,^{\circ}$C ($-2 \leq T_m \leq 5$). La température l'après-midi dépasse toujours celle du matin de $3$ à $6\,^{\circ}$C ($3 \leq \Delta \leq 6$).
En additionnant ces deux inégalités, encadrer la température l'après-midi $T_m + \Delta$.
$-2\leq T_m\leq5$ et $3\leq\Delta\leq6$ → En additionnant : $-2+3\leq T_m+\Delta\leq5+6$, soit $1\leq T_m+\Delta\leq11$.
La température l'après-midi est comprise entre $1\,^{\circ}$C et $11\,^{\circ}$C.
Si $a \leq b$ et $k > 0$, alors $k \times a \leq k \times b$.
Multiplier par un réel positif conserve le sens de l'inégalité.
Si $a \leq b$ et $k \lt 0$, alors $k \times a \geq k \times b$.
Multiplier par un réel négatif change le sens de l'inégalité.
On sait que $2 \lt 5$.
Un cycliste roule à une vitesse $v$ vérifiant $15 \leq v \leq 25$ (en km/h).
1) En une heure, la distance parcourue est $d = v \times 1 = v$ km.
Comme $15\leq v\leq25$, on a $15\leq d\leq25$ : la distance parcourue est entre $15$ km et $25$ km.
2) $15\leq v\leq25$ et $2>0$ → en multipliant par $2$ (sens conservé) : $30\leq2v\leq50$.
$2v$ représente la distance parcourue en $2$ heures : elle est comprise entre $30$ km et $50$ km.
Soit $f(x) = mx + p$ une fonction affine et $x_1 < x_2$ deux réels.
La température ressentie (en °C) par vent de face dépend de la vitesse $v$ (en km/h) selon deux modèles :
1) $f(v)=15-0{,}12v$ : le coefficient de $v$ est $-0{,}12\lt0$, donc $f$ est strictement décroissante. Plus le vent est fort, plus la température ressentie est basse.
2) $g(v)=5-0{,}18v$ : le coefficient de $v$ est $-0{,}18\lt0$, donc $g$ est strictement décroissante.
3) $f$ décroissante et $10\lt 30 \Rightarrow f(10)>f(30)$. Vérification : $f(10)=15-1{,}2=13{,}8\,^{\circ}$C et $f(30)=15-3{,}6=11{,}4\,^{\circ}$C. Bien $13{,}8>11{,}4$. ✓
4) $g$ décroissante et $10\lt 30 \Rightarrow g(10)>g(30)$. Vérification : $g(10)=5-1{,}8=3{,}2\,^{\circ}$C et $g(30)=5-5{,}4=-0{,}4\,^{\circ}$C. Bien $3{,}2>-0{,}4$. ✓
1. Associer une action à une fonction affine :
2. Résoudre l’inégalité :
| Inégalité | Fonction affine appliquée | Sens de variation de la fonction affine |
|---|---|---|
| $3a-10<5$ | ||
| $3a \dots 15$ | ||
| $a \dots 5$ |
3. Résoudre une autre inégalité :
| Inégalité | Fonction affine appliquée | Sens de variation de la fonction affine |
|---|---|---|
| $-5a+9<11$ | ||
| $-5a \dots 2$ | ||
| $a \dots -\dfrac{2}{5}$ |
1. Associer une action à une fonction affine :
2. Résolution de $3a-10<5$ :
| Inégalité | Fonction affine appliquée | Sens de variation |
|---|---|---|
| $3a-10<5$ | Ajouter $10$ : $f(x)=x+10$ | strictement croissante |
| $3a<15$ | Diviser par $3$ : $f(x)=\dfrac{x}{3}$ | strictement croissante |
| $\boxed{a<5}$ |
3. Résolution de $-5a+9<11$ :
| Inégalité | Fonction affine appliquée | Sens de variation |
|---|---|---|
| $-5a+9<11$ | Soustraire $9$ : $f(x)=x-9$ | strictement croissante |
| $-5a<2$ | Diviser par $-5$ : $f(x)=\dfrac{x}{-5}$ | strictement décroissante ⇒ on inverse le sens |
| $\boxed{a>-\dfrac{2}{5}}$ |
Une équation est une égalité faisant intervenir une inconnue $x$. Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui la vérifient. L'ensemble de ces valeurs est appelé ensemble solution et est noté $\mathcal{S}$.
Résoudre les équations suivantes :
1) $x=\frac{12}{3}=4$ → $\mathcal{S}=\{4\}$
2) $x=\frac{20}{-5}=-4$ → $\mathcal{S}=\{-4\}$
3) $0\neq7$ → $\mathcal{S}=\emptyset$
4) $0=0$ vrai pour tout $x$ → $\mathcal{S}=\mathbb{R}$
5) $x=9-4=5$ → $\mathcal{S}=\{5\}$
6) $x=5+2=7$ → $\mathcal{S}=\{7\}$
7) $-x=3\Leftrightarrow x=-3$ → $\mathcal{S}=\{-3\}$
8) $-x=2-5=-3\Leftrightarrow x=3$ → $\mathcal{S}=\{3\}$
9) $x=\frac{5}{4}\times\frac{3}{2}=\frac{15}{8}$ → $\mathcal{S}=\left\{\frac{15}{8}\right\}$
Pour résoudre $ax + b = cx + d$ :
Résoudre les équations suivantes :
1) $2x=-3\Rightarrow x=-\frac{3}{2}$ → $\mathcal{S}=\left\{-\frac{3}{2}\right\}$
2) $-4x=-8\Rightarrow x=2$ → $\mathcal{S}=\{2\}$
3) $3x-x=-3-5\Rightarrow2x=-8\Rightarrow x=-4$ → $\mathcal{S}=\{-4\}$
4) $5x-2x=7+2\Rightarrow3x=9\Rightarrow x=3$ → $\mathcal{S}=\{3\}$
5) $3x-3=2x+8\Rightarrow x=11$ → $\mathcal{S}=\{11\}$
6) $\frac{x}{2}-\frac{3x}{4}=-2-1\Rightarrow\frac{2x-3x}{4}=-3\Rightarrow-\frac{x}{4}=-3\Rightarrow x=12$ → $\mathcal{S}=\{12\}$
Paul a $3$ fois plus de billes que Marc. Ensemble, ils en ont $60$. Combien chacun en a-t-il ?
1) Posons $m$ le nombre de billes de Marc. Paul en a $3m$. La situation donne :
$m + 3m = 60$
2) $4m=60\Rightarrow m=15$.
Marc a $15$ billes et Paul en a $3\times15=45$ billes. Vérification : $15+45=60$ ✓
Soit $a$ un réel.
Résoudre les équations suivantes :
1) $x^2=9$, $a=9>0$ → $\mathcal{S}=\{-3\,;\,3\}$
2) $x^2=5$, $a=5>0$ → $\mathcal{S}=\{-\sqrt{5}\,;\,\sqrt{5}\}$
3) $x^2=0$ → $\mathcal{S}=\{0\}$
4) $x^2=-4$, $a=-4\lt0$ → $\mathcal{S}=\emptyset$
5) $3x^2=12\Rightarrow x^2=4$, $a=4>0$ → $\mathcal{S}=\{-2\,;\,2\}$
6) $(x-1)^2=4$ $\Leftrightarrow x-1=2$ ou $x-1=-2$ $\Leftrightarrow x=3$ ou $x=-1$.
→ $\mathcal{S}=\{-1\,;\,3\}$
Une inéquation est une inégalité faisant intervenir une inconnue $x$. L'ensemble des solutions est un intervalle que l'on représente sur une droite numérique.
Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite numérique :
Crochet ouvert = borne exclue ($>$ ou $\lt$) · Crochet fermé = borne incluse ($\geq$ ou $\leq$) · Trait jusqu'à $\pm\infty$
1) $3x>6\Leftrightarrow x>2$ → $\mathcal{S}=\,]2\,;\,+\infty[$
2) $-2x\geq-4\Leftrightarrow x\leq2$ (div par $-2$, sens change) → $\mathcal{S}=\,]-\infty\,;\,2]$
3) $4x-2x>-1-3\Leftrightarrow2x>-4\Leftrightarrow x>-2$ → $\mathcal{S}=\,]-2\,;\,+\infty[$
4) $-3x-x\leq1-5\Leftrightarrow-4x\leq-4\Leftrightarrow x\geq1$ → $\mathcal{S}=\,[1\,;\,+\infty[$
5) $2x-6\lt 5x+5\Leftrightarrow-3x\lt 11\Leftrightarrow x>-\frac{11}{3}$ → $\mathcal{S}=\,\left]-\frac{11}{3}\,;\,+\infty\right[$
6) $-4x+12\lt 2x+4\Leftrightarrow-6x\lt -8\Leftrightarrow x>\frac{4}{3}$ → $\mathcal{S}=\,\left]\frac{4}{3}\,;\,+\infty\right[$
Résoudre et représenter sur une droite numérique :
1) $-2x\geq1-5\Leftrightarrow-2x\geq-4\Leftrightarrow x\leq2$ → $\mathcal{S}=\,]-\infty\,;\,2]$
2) $x-3\lt2x+2\Leftrightarrow-x\lt5\Leftrightarrow x>-5$ → $\mathcal{S}=\,]-5\,;\,+\infty[$
3) $-3x+6\leq2x+1\Leftrightarrow5\leq5x\Leftrightarrow x\geq1$ → $\mathcal{S}=\,[1\,;\,+\infty[$
4) $1\leq3x-5\lt7\Leftrightarrow6\leq3x\lt12\Leftrightarrow2\leq x\lt4$ → $\mathcal{S}=\,[2\,;\,4[$
Un train parcourt une distance de $300$ km. On souhaite que le trajet dure moins de $3$ heures. Quelle vitesse minimale le train doit-il maintenir ?
1) Le temps de trajet à la vitesse $v$ est $t = \dfrac{300}{v}$ heures. On veut $t < 3$ :
$\dfrac{300}{v} \lt 3$
2) Pour $v>0$ : $\dfrac{300}{v}\lt 3\Leftrightarrow300\lt 3v\Leftrightarrow v>100$.
Le train doit maintenir une vitesse supérieure à $100$ km/h. L'ensemble des vitesses valables est $]100\,;\,+\infty[$ (km/h).
Un artisan facture $50$ € de frais fixes plus $25$ € par heure de travail. Un client dispose d'un budget maximum de $300$ €.
1) Soit $h$ le nombre d'heures travaillées. Le coût total est $50 + 25h$. On veut :
$50 + 25h \leq 300$
2) $25h\leq250\Rightarrow h\leq10$.
L'artisan peut travailler au maximum $10$ heures.
Résoudre l'inéquation double $-1 \lt 2x + 3 \leq 9$ et représenter les solutions sur une droite numérique.
On résout les deux inégalités simultanément :
$-1\lt 2x+3\leq9$
$\Leftrightarrow-1-3\lt 2x\leq9-3$
$\Leftrightarrow-4\lt 2x\leq6$
$\Leftrightarrow-2\lt x\leq3$
$\mathcal{S}=\,]-2\,;\,3]$
def solution_equation(a, b): # Resout ax + b = 0 if a == 0: if b == 0: return "Toute valeur est solution" else: return "Pas de solution" else: return -b / a def test_inequation(a, b, x): # Verifie si ax + b > 0 pour x donne return a * x + b > 0 print(solution_equation(3, -6)) print(solution_equation(0, 5)) print(test_inequation(2, -4, 3))
solution_equation(3, -6) ? Vérifier à la main.solution_equation(0, 5) ? Interpréter.test_inequation(2, -4, 3) ? Vérifier à la main.solution_equation(3, -6) :a | b | a==0? | renvoie (return) |
|---|---|---|---|
test_inequation pour qu'elle accepte aussi un opérateur (par exemple '<=') et renvoie le résultat correspondant.1) 2.0 (car $-(-6)/3=2$)
2) "Pas de solution" ($a=0$, $b=5\neq0$ → équation impossible)
3) True (car $2\times3-4=2>0$)
4) a=3, b=-6, a==0? : False, renvoie 2.0
def test_inequation(a, b, x, op='>'): val = a * x + b if op == '>': return val $\gt$ 0 if op == '>=': return val $\gt=$ 0 if op == '<': return val $\lt$ 0 if op == '<=': return val $\lt =$ 0