L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est défini.
Pour $f(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}$, le dénominateur ne peut pas être nul :
$D_f = \{x\in\mathbb{R}\mid B(x)\neq0\}$
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
1) $x-2=0\Leftrightarrow x=2$ → $D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}$
2) $2x+6=0\Leftrightarrow x=-3$ → $D_g=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$
3) $3x-5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{3}$ → $D_h=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{5}{3}\right\}$
4) $(x-2)(x-4)=0\Leftrightarrow x=2$ ou $x=4$ → $D_k=\mathbb{R}\setminus\{2\,;\,4\}$
Un cycliste parcourt $60$ km. On note $v$ sa vitesse (en km/h) et $t(v)=\dfrac{60}{v}$ la durée du trajet (en heures).
1) $v=0$ annule le dénominateur → $D_t=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Dans ce contexte physique, une vitesse nulle ou négative n'a pas de sens, donc $D_t=\,]0\,;\,+\infty[$.
2) $t(20)=\dfrac{60}{20}=3$ h : à $20$ km/h le trajet dure $3$ heures.
$t(30)=\dfrac{60}{30}=2$ h : à $30$ km/h le trajet dure $2$ heures.
| Signe de $A$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $0$ | quelconque |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de $B$ | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ | quelconque | $0$ |
| Signe de $\dfrac{A}{B}$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | $0$ | non défini |
Étudier le signe de $f(x)=\dfrac{2x-6}{x+1}$ et résoudre $f(x)\geq0$.
Dresser le tableau de signes et conclure.
$f(x)\geq0$ pour $x\in\,]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,[3\,;\,+\infty[$
Attention : $x=-1$ est exclu (valeur interdite) → crochet ouvert. $x=3$ est inclus ($f(3)=0$) → crochet fermé.
Donner l'ensemble de définition, dresser le tableau de signes et résoudre l'inéquation :
$f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}$, $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$
$f>0$ sur $\,]-\infty\,;\,-3[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[$
$g(x)=\dfrac{-2x+4}{3x-9}$, $D_g=\mathbb{R}\setminus\{3\}$
$g\leq0$ sur $\,]-\infty\,;\,2]\cup\,]3\,;\,+\infty[$
$h(x)=\dfrac{(x-2)(x+1)}{x-4}$, $D_h=\mathbb{R}\setminus\{4\}$
$h\geq0$ sur $\,[-1\,;\,2]\cup\,]4\,;\,+\infty[$
$k(x)=\dfrac{(-2x-6)(x-3)}{2x+1}$, $D_k=\mathbb{R}\setminus\{-\frac{1}{2}\}$
$k\lt0$ sur $\,]-3\,;\,-\frac{1}{2}[\,\cup\,]3\,;\,+\infty[$
Une entreprise fabrique $x$ objets ($x>0$). Son bénéfice total est $B(x)=(3x-600)(-x+400)$ euros.
Le bénéfice moyen par objet est $f(x)=\dfrac{(3x-600)(-x+400)}{x}$.
1) $x=0$ annule le dénominateur, mais $x>0$ dans ce contexte → $D_f=\,]0\,;\,+\infty[$.
3) $f(x)>0$ pour $x\in\,]200\,;\,400[$.
4) $x=200$ : seuil de rentabilité (bénéfice nul). $x=400$ : au-delà, le bénéfice devient négatif (surproduction).
Soit $k$ un réel et $f(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}$ définie pour $B(x)\neq0$.
$\dfrac{A(x)}{B(x)}=k \iff A(x)=k\times B(x) \quad\text{et}\quad B(x)\neq0$
Résoudre les équations suivantes :
1) $\dfrac{2x-1}{x+3}=1 \Leftrightarrow 2x-1=x+3\Leftrightarrow x=4$. Vérif : $x+3=7\neq0$ ✓ → $\mathcal{S}=\{4\}$
2) $\dfrac{x+4}{x-2}=3 \Leftrightarrow x+4=3(x-2)\Leftrightarrow x+4=3x-6\Leftrightarrow-2x=-10\Leftrightarrow x=5$. Vérif : $x-2=3\neq0$ ✓ → $\mathcal{S}=\{5\}$
3) $\dfrac{3x}{2x-1}=2 \Leftrightarrow 3x=2(2x-1)\Leftrightarrow 3x=4x-2\Leftrightarrow -x=-2\Leftrightarrow x=2$. Vérif : $2x-1=3\neq0$ ✓ → $\mathcal{S}=\{2\}$
4) $\dfrac{2x+1}{3x-6}=1 \Leftrightarrow 2x+1=3x-6\Leftrightarrow -x=-7\Leftrightarrow x=7$. Vérif : $3(7)-6=15\neq0$ ✓ → $\mathcal{S}=\{7\}$
On verse de l'eau dans un récipient contenant $200$ mL d'une solution sucrée à $40\,\%$ de sucre. Après ajout de $v$ mL d'eau, la concentration en sucre est :
$c(v)=\dfrac{80}{200+v}$
1) $200+v=0\Leftrightarrow v=-200$ (hors domaine car $v\geq0$) → $D_c=\,[0\,;\,+\infty[$.
2) $\dfrac{80}{200+v}=0{,}20\Leftrightarrow80=0{,}20(200+v)\Leftrightarrow80=40+0{,}2v\Leftrightarrow0{,}2v=40\Leftrightarrow v=200$ mL.
Il faut ajouter $200$ mL d'eau pour obtenir une concentration de $20\,\%$.
3) $\dfrac{80}{200+v}=0{,}10\Leftrightarrow80=0{,}10(200+v)\Leftrightarrow0{,}1v=60\Leftrightarrow v=600$ mL.
Il faut ajouter $600$ mL d'eau pour diviser la concentration par $4$.
Un automobiliste doit parcourir $240$ km. Il a déjà roulé $1$ heure à $80$ km/h, puis accélère à $v$ km/h pour les $160$ km restants.
La durée totale est $T(v)=1+\dfrac{160}{v}$ (en heures), pour $v>0$.
1) $1+\dfrac{160}{v}=3\Leftrightarrow\dfrac{160}{v}=2\Leftrightarrow160=2v\Leftrightarrow v=80$ km/h.
2) $1+\dfrac{160}{v}=2\Leftrightarrow\dfrac{160}{v}=1\Leftrightarrow v=160$ km/h. Il doit rouler à $160$ km/h (vitesse élevée).
3) $1+\dfrac{160}{v}=1\Leftrightarrow\dfrac{160}{v}=0$. Or $\dfrac{160}{v}$ ne peut jamais être nul (numérateur $160\neq0$). Impossible.
Physiquement : la durée sera toujours supérieure à $1$ heure (la première heure est déjà écoulée).
L'étude d'une fonction quotient $f(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}$ combine :
La courbe de $f$ possède une asymptote verticale en $x=x_0$ si $B(x_0)=0$ : la courbe « s'échappe à l'infini » de part et d'autre de $x=x_0$.
Soit $f(x)=\dfrac{2x-4}{x-1}$, définie pour $x\neq1$.
1) $f(0)=\frac{-4}{-1}=4$ ; $f(2)=\frac{0}{1}=0$ ; $f(3)=\frac{2}{2}=1$ ; $f(-1)=\frac{-6}{-2}=3$
2) $2x-4=0\Leftrightarrow x=2$ (et $x-1=1\neq0$) → $\mathcal{S}=\{2\}$
3) $2x-4=2(x-1)\Leftrightarrow2x-4=2x-2\Leftrightarrow-4=-2$ : impossible → $\mathcal{S}=\emptyset$
5) Courbe au-dessus : $f(x)>0$ sur $\,]-\infty\,;\,1[\,\cup\,[2\,;\,+\infty[$
Une usine produit des tablettes. Coût total : $C(x)=500+150x$ euros ($x\geq1$).
Coût moyen par tablette : $m(x)=\dfrac{C(x)}{x}=\dfrac{500+150x}{x}$.
1) $m(x)=\dfrac{500+150x}{x}=\dfrac{500}{x}+150$
2) $m(1)=650$ € ; $m(10)=200$ € ; $m(100)=155$ €
3) $\dfrac{500}{x}+150\lt160\Leftrightarrow\dfrac{500}{x}\lt10\Leftrightarrow500\lt10x$ (car $x>0$) $\Leftrightarrow x>50$.
Il faut produire plus de $50$ tablettes pour que le coût moyen passe sous $160$ €.
4) Quand $x\to+\infty$, $\dfrac{500}{x}\to0$, donc $m(x)\to150$ €. Le coût moyen se rapproche du coût variable ($150$ €/tablette) : les frais fixes se « diluent ».
La courbe de $f(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}$ est :
Soit $g(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+1}$, définie pour $x\neq-1$.
1) $(x-2)(x+2)=0\Leftrightarrow x-2=0$ ou $x+2=0\Leftrightarrow x=2$ ou $x=-2$. ✓
3) $g(x)>0$ sur $\,]-2\,;\,-1[\,\cup\,[2\,;\,+\infty[$
4) $g(x)=0$ pour $x=-2$ et $x=2$ : la courbe coupe l'axe des abscisses en $(-2,0)$ et $(2,0)$.
def A(x): return 2*x - 6 def B(x): return x + 1 def quotient(A, B, x): if B(x) == 0: return None return A(x) / B(x) def signe_quotient(A, B, x): val = quotient(A, B, x) if val is None: return "non defini" elif val > 0: return "positif" elif val < 0: return "negatif" else: return "nul" print(quotient(A, B, 3)) print(quotient(A, B, -1)) print(signe_quotient(A, B, 0))
quotient(A,B,3) ? Vérifier à la main.quotient(A,B,-1) ? Pourquoi ?signe_quotient(A,B,0) ? Vérifier.signe_quotient(A,B,0) :x |
B(x)==0? |
val |
val>0? |
renvoie (return) |
|---|---|---|---|---|
resoudre_quotient(A,B,k,xmin,xmax,pas) cherchant numériquement les valeurs de $x$ vérifiant $\dfrac{A(x)}{B(x)}\approx k$.1) 0.0 car $\frac{2\times3-6}{3+1}=\frac{0}{4}=0$.
2) None car $B(-1)=-1+1=0$ : valeur interdite, le quotient n'est pas défini.
3) "negatif" car $\frac{2\times0-6}{0+1}=\frac{-6}{1}=-6\lt0$.
4) x=0, B(0)==0 ? → False, val=-6.0, val>0 ? → False, renvoie "negatif".
def resoudre_quotient(A, B, k, xmin, xmax, pas): solutions = [] x = xmin while x <= xmax: q = quotient(A, B, x) if q is not None: if abs(q - k) < pas: solutions.append(round(x, 4)) x = round(x + pas, 8) return solutions