Une fonction affine $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = mx + p$ où $m$ et $p$ sont deux réels.
Identifier le coefficient directeur $m$ et l'ordonnée à l'origine $p$ :
1) $f(x) = 3x - 5$ : $m = 3$, $p = -5$
2) $g(x) = -\dfrac{2}{3}x + 4$ : $m = -\dfrac{2}{3}$, $p = 4$
3) $h(x) = 7 = 0\cdot x + 7$ : $m = 0$, $p = 7$ (fonction constante)
4) $k(x) = 5 - 2x = -2x + 5$ : $m = -2$, $p = 5$
La représentation graphique de $f(x)=mx+p$ est la droite d'équation $y=mx+p$.
Toute droite non verticale a une équation $y=mx+p$. Une droite verticale : $x=k$.
On choisit librement plusieurs valeurs de $x$ (pas forcément $0$ et $1$ !), on calcule $y$, on place les points et on trace.
Exemple $y = 2x-1$ :
| $x$ | $0$ | $3$ |
|---|---|---|
| $y=2x-1$ | $-1$ | $5$ |
On place $(0\,;\,-1)$ et $(3\,;\,5)$ et on trace la droite.
Tracer les droites suivantes en utilisant un tableau de valeurs :
Compléter d'abord un tableau de valeurs pour chaque droite avant de tracer.
| $x$ | 0 | 3 |
|---|---|---|
| $d_1:y=2x-1$ | $-1$ | $5$ |
| $x$ | 0 | 3 |
|---|---|---|
| $d_2:y=-x+3$ | $3$ | $0$ |
| $x$ | 0 | 4 |
|---|---|---|
| $d_3:y=\frac{1}{2}x$ | $0$ | $2$ |
$m > 0$, croissante
$m = 0$, constante
$m < 0$, décroissante
Choisir deux points $A$ et $B$ de la droite :
$\Delta x = x_B - x_A$
$\Delta y = y_B - y_A$
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
Puis lire $p = f(0)$ sur l'axe des ordonnées.
Pour chacune des droites $(d)$ et $(d')$ :
$(d)$ rouge : $A(0\,;\,1)$, $B(3\,;\,4)$
$\Delta x = 3$, $\Delta y = 3$
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{3}{3} = 1$
$p = f(0) = 1$
$y = x + 1$
$(d')$ bleu : $A(0\,;\,4)$, $B(4\,;\,2)$
$\Delta x = 4$, $\Delta y = -2$
$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}$
$p = f(0) = 4$
$y = -\dfrac{1}{2}x + 4$
Si la droite passe par $A(x_A\,;\,y_A)$ et a pour coefficient directeur $m$ :
$y = m(x - x_A) + y_A$
Déterminer l'équation réduite de la droite de coefficient directeur $m = 2$ passant par $A(3\,;\,1)$.
$y = 2(x - 3) + 1$
$\iff y= 2x - 6 + 1$
L'équation de la droite est $y = 2x - 5$
Droite passant par $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ (avec $x_A \neq x_B$) :
Déterminer l'équation réduite de la droite passant par $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,-3)$.
$m = \dfrac{-3-3}{4-1} = \dfrac{-6}{3} = -2$
$y = -2(x-1)+3 $
$\iff y= -2x+2+3$
Léquation de la droite est $y = -2x + 5$
Déterminer l'équation réduite de la droite passant par $P(-2\,;\,5)$ et $Q(3\,;\,5)$.
$m = \dfrac{5-5}{3-(-2)} = \dfrac{0}{5} = 0$
$y = 0\times(x+2)+5$
$y = 5$ (droite horizontale, fonction constante)
Soient $d_1 : y = m_1 x + p_1$ et $d_2 : y = m_2 x + p_2$.
Parmi les droites suivantes, lesquelles sont parallèles ?
$d_3 : 6x-2y+4=0 \iff -2y = -6x-4 \iff y = 3x+2$ → $m_3 = 3$
Coefficients directeurs : $m_1=3$, $m_2=-3$, $m_3=3$, $m_4=3$
$d_1 \parallel d_4$ ($m=3$, $p$ différents : $-2$ et $7$)
$d_1 \parallel d_3$ et $d_3 \parallel d_4$ aussi ($m=3$, $p=2$, $-2$, $7$ tous différents)
Soit $f(x) = mx + p$ avec $m \neq 0$. Son zéro est $x_0 = -\dfrac{p}{m}$.
$mx+p$ est du signe de $m$ après $x_0$, et du signe opposé avant.
$m > 0$
$m < 0$
Dresser le tableau de signes de chacune des fonctions suivantes :
$f(x)=3x-6$, $x_0=2$, $m=3>0$
$g(x)=-2x+5$, $x_0=\frac{5}{2}$, $m=-2<0$
$h(x)=\frac{1}{2}x+3$, $x_0=-6$, $m>0$
Résoudre en utilisant un tableau de signes :
1) $3x-6 \geq 0 \iff f(x) \geq 0$ · $x_0=2$, $m>0$ → $\mathcal{S} = [2\,;\,+\infty[$
2) $-2x+5 < 0 \iff g(x) < 0$ · $x_0=\frac{5}{2}$, $m<0$ → $\mathcal{S} = \left]\frac{5}{2}\,;\,+\infty\right[$
3) $\frac{1}{2}x+3 > 0 \iff h(x) > 0$ · $x_0=-6$, $m>0$ → $\mathcal{S} = ]-6\,;\,+\infty[$
def signe_affine(m, p): if m == 0: print("Fonction constante, pas de zero.") return x0 = -p / m print("Zero : x0 =", x0) if m > 0: print("f(x) < 0 pour x <", x0) print("f(x) > 0 pour x >", x0) else: print("f(x) > 0 pour x <", x0) print("f(x) < 0 pour x >", x0) signe_affine(3, -6)
signe_affine(3, -6) ?m | p | m==0 | x0 | m>0 |
|---|---|---|---|---|
signe_affine(0, 5). Qu'affiche-t-il ?1) $f(x) = 3x - 6$ (avec $m=3$, $p=-6$).
2) $x_0 = -\dfrac{-6}{3} = 2$.
3) m=3, p=-6, m==0 → False, x0=2.0, m>0 → True
4) Affiche :Zero : x0 = 2.0f(x) < 0 pour x < 2.0f(x) > 0 pour x > 2.0
5) Affiche « Fonction constante, pas de zero. » car $m=0$.
6) Ajouter après le if/else :
if m>0 : lim = "+" else: lim ="-" print(f"f(x) → {lim}∞ quand x → +∞")