Classe de Seconde — Mathématiques
Généralités sur les fonctions
Chapitre — Fonctions
Notion · Courbe · Images · Antécédents · Équations · Fonctions de référence
Plan du chapitre

Plan du chapitre

1Notion de fonction — vocabulaire — ensemble de définition
2Courbe représentative — tableau de valeurs
3Images et antécédents — lecture graphique
4Résolution graphique d'équations et d'inéquations
5Comparaison de fonctions
6Fonctions de référence
7Application Python
§1 — Notion de fonction

Des fonctions partout autour de nous

Exemples
  1. Météorologie. À chaque heure $t$ correspond une unique température $T(t)$.
  2. Biologie. À chaque âge $a$ (en années) correspond une taille $h(a)$.
  3. Économie. $P(n) = 1{,}5 \times n$ euros pour $n$ stylos. À chaque nombre de stylos correspond un unique prix.
  4. Physique — chute libre. Un objet lâché d'une hauteur de $80$ m est à la hauteur $h(t) = 80 - 5t^2$ mètres après $t$ secondes ($0 \leq t \leq 4$ s).
Point commun : à chaque valeur de la variable d'entrée correspond au plus une valeur de sortie.
§1 — Notion de fonction

Définition — Fonction

Définition

Une fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}_f$ est un procédé qui associe à $x \in \mathcal{D}_f$ un unique réel $f(x)$.

  • $x$ : variable (ou antécédent)
  • $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$
  • On note $f : x \longmapsto f(x)$
  • Si $f(x)=y$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$
  • Un réel $x$ admet une seule image $f(x)$.
  • Un réel $y$ peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.
§1 — Notion de fonction

Image et antécédent — chute libre

Exemple — $h(t)=80-5t^2$, $t\in[0{,}4]$
  1. Image de $2$ : $h(2)=80-5\times4=\mathbf{60}$~m.
  2. Antécédent de $55$ : $80-5t^2=55\Rightarrow t^2=5\Rightarrow t=\sqrt{5}\approx2{,}24$ s.
  3. Antécédent de $100$ : $80-5t^2=100\Rightarrow t^2=-4$ : impossible. $100$ n'a pas d'antécédent.
§1 — Notion de fonction

Ensemble de définition

Définition

L'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ est l'ensemble de tous les réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.

Deux situations qui restreignent le domaine
  • Division par zéro : $f(x)=\dfrac{1}{x-3}$ : on exclut $x=3$. $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{3\}=]-\infty{;3[}\cup]3{;+\infty[}$.
  • Racine carrée négative : $f(x)=\sqrt{x-2}$ : on exige $x\geq2$. $\mathcal{D}_f=[2{;+\infty[}$.
§1 — Notion de fonction

Exemples — Ensembles de définition

Exemples
  1. $f(x)=2x^2-3x+1$ : pas de restriction. $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$.
  2. $g(x)=\dfrac{1}{x}$ : on exclut $x=0$. $\mathcal{D}_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
  3. $h(x)=\sqrt{x}$ : $\mathcal{D}_h=[0{;+\infty[}$.
  4. $k(x)=\dfrac{1}{x-5}$ : on exclut $x=5$. $\mathcal{D}_k=\mathbb{R}\setminus\{5\}$.
  5. Contexte réel : $h(t)=80-5t^2$ est définie physiquement sur $[0{;}4]$ seulement.
§1 — Notion de fonction

Exercice — Ensemble de définition

Exercice

Déterminer l'ensemble de définition :

  1. $f(x)=3x-7$
  2. $g(x)=\dfrac{x+2}{x-4}$
  3. $h(x)=\sqrt{3x+6}$
  4. $k(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$ (deux valeurs à exclure)
§1 — Notion de fonction

Correction — Ensemble de définition

✓ Correction
1) $f(x)=3x-7$ : aucune restriction. $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$.
2) $g(x)=\dfrac{x+2}{x-4}$ : on exclut $x=4$. $\mathcal{D}_g=\mathbb{R}\setminus\{4\}=]-\infty{;}4[\cup]4{;+\infty[}$.
3) $h(x)=\sqrt{3x+6}$ : $3x+6\geq0\Leftrightarrow x\geq-2$. $\mathcal{D}_h=[-2{;+\infty[}$.
4) $k(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$ : $x^2-9\neq0\Leftrightarrow x\neq -3$ et $x\neq 3$. $\mathcal{D}_k=\mathbb{R}\setminus\{-3{;}3\}$.
§2 — Courbe représentative

Courbe représentative

Définition

La courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$ est l'ensemble des points $(x\,;\,y)$ vérifiant $y=f(x)$ pour $x\in\mathcal{D}_f$.

Autrement dit la courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$ est l'ensemble des points $(x\,;\,f(x))$ pour $x\in\mathcal{D}_f$.

Un point $M(a\,;\,b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $f(a)=b$.

§2 — Courbe représentative

Tableau de valeurs de $f(x)=x^2$ sur $[-3\,;\,3]$

Exemple

Tableau de valeurs (pas $0{,}5$, soit 13 valeurs) :

$x$$-3$$-2{,}5$$-2$$-1{,}5$$-1$$-0{,}5$$0$$0{,}5$$1$$1{,}5$$2$$2{,}5$$3$
$f(x)$             

Appartenance : $A(1{,}5\,;\,2{,}26)$ ?

§2 — Courbe représentative

Tableau de valeurs de $f(x)=x^2$ sur $[-3\,;\,3]$

Exemple

Tableau de valeurs (pas $0{,}5$, soit 13 valeurs) :

$x$$-3$$-2{,}5$$-2$$-1{,}5$$-1$$-0{,}5$$0$$0{,}5$$1$$1{,}5$$2$$2{,}5$$3$
$f(x)$96,2542,2510,2500,2512,2546,259

Appartenance : $A(1{,}5\,;\,2{,}26)$ ? $f(1{,}5)=2{,}25\neq2{,}26$, donc $A\notin\mathcal{C}_f$.

§2 — Courbe représentative

Construire un tableau de valeurs

Outils numériques — $f(x)=x^2$ sur $[-3\,;\,3]$ (pas $0{,}5$)
  • TI-83 CE : Y= → $X^2$ → 2nde FENÊTRE → Début : $-3$, Fin : $3$, Pas : $0{,}5$ → 2nde GRAPH
  • CASIO CLASSWIZ : Graph & Table → y₁=x² → Réglage Table → Début : -3, Fin : 3, Incr : 0.5 → Afficher Table
  • NUMWORKS : Grapheur → f(x)=x² → Tableau → X Début : -3, X Fin : 3, Pas : 0.5
  • Python : voir section §7.
§3 — Images et antécédents

Lire l'image d'un nombre

Méthode : lire $f(a)$ sur le graphique
  1. Partir de $x=a$ sur l'axe des abscisses.
  2. Monter (ou descendre) verticalement jusqu'à $\mathcal{C}_f$
  3. Aller horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées.
  4. Lire l'ordonnée : c'est $f(a)$.
§3 — Images et antécédents

Résoudre $f(x)=0$ — Antécédents de $0$

Cas 1 — $f(x)=0$

Les antécédents de $0$ sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses.

  1. Repérer les points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses ($y=0$).
  2. Lire leurs abscisses : ce sont les racines de $f$.

$x_1$ et $x_2$ sont les solutions de l'équation $f(x)=0$.

$x_1$ et $x_2$ sont les antécédents de $0$ par $f$.

§3 — Images et antécédents

Résoudre $f(x)=k$ — Antécédents de $k\neq0$

Cas 2 — $f(x)=k$ avec $k\neq0$
  1. Partir de $y=k$ sur l'axe des ordonnées.
  2. Tracer la droite horizontale $y=k$.
  3. Repérer les intersections de $\mathcal{C}_f$ avec cette droite.
  4. Descendre verticalement jusqu'à l'axe des abscisses.
  5. Lire les abscisses : ce sont les antécédents de $k$.

Ici $k=2$ : $x_1=1$ et $x_2=5$ sont les antécédents de $2$.

§3 — Images et antécédents

Exemple — Lecture graphique

Exemple

Voici $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $[-6\,;\,6]$.

  1. Lire les images de $2$ et de $-3$.
  2. Trouver graphiquement les antécédents de $3$.
  3. Résoudre graphiquement $f(x)=0$.

Le point $A(0\,;\,-3)$ est-il sur $\mathcal{C}_f$ ?

§3 — Images et antécédents

Exemple — Correction ✓

✓ Correction

1) $f(2)=5$  ·  $f(-3)=3$

2) La droite $y=3$ coupe $\mathcal{C}_f$ en $x=-3$, $x=1$ et $x=4$.

3) $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des $x$ en $x\approx-2{,}3$ et $x\approx-0{,}5$.

Point A : $f(0)\approx0{,}6\neq-3$, donc $A\notin\mathcal{C}_f$.

§4 — Résolution graphique

Résolution graphique de $f(x)=3$ et $f(x)\geq3$

Exemple

$f$ définie sur $[-4\,;\,2]$.

  1. $f(x)=3$ : droite $y=3$ coupe $\mathcal{C}_f$ en $x_1=-3$ et $x_2=1$.
    $S=\{-3\,;\,1\}$.
  2. $f(x)\geq3$ : $\mathcal{C}_f$ au-dessus ou sur $y=3$ (zone verte).
    $S=[-3\,;\,1]$.
  3. $f(x)<3$ : $\mathcal{C}_f$ strictement en dessous de $y=3$.
    $S=[-4\,;\,-3[\,\cup\,]1\,;\,2]$.
§4 — Résolution graphique

Signe d'une fonction — $f(x)>0$

Exemple

$f$ définie sur $[-3\,;\,4]$, $f(x)=-(x+2)(x-3)$.

  • $\mathcal{C}_f$ strictement au-dessus de l'axe : $f(x)>0$.
  • $\mathcal{C}_f$ strictement en dessous : $f(x)<0$.
  • Points où $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe : les racines.

$f(x)>0$ pour $x\in]-2\,;\,3[$

$f(x)<0$ pour $x\in[-3\,;\,-2[\,\cup\,]3\,;\,4]$

§4 — Résolution graphique

Exercice — Tableau de signes

Exercice

La courbe représente $f$ définie sur $\mathbb{R}$. Compléter le tableau de signes (cases jaunes).

Tableau de signes de $f$ :

Compléter les cases jaunes.

§4 — Résolution graphique

Correction — Tableau de signes

✓ Correction

Tableau de signes de $f$ :

§4 — Résolution graphique

Exercice — Inéquations graphiques

Exercice

$f$ définie sur $[0\,;\,7]$. Résoudre $f(x)\geq2$.

  1. Tracer la droite $y=2$.
  2. Repasser en vert les points au-dessus de cette droite.
  3. Lire l'ensemble solution par projection.
  4. Résoudre aussi $f(x)<2$.
§4 — Résolution graphique

Inéquations graphiques — Correction ✓

✓ Correction

La droite $y=2$ coupe $\mathcal{C}_f$ en $x_1=2$ et $x_2=5$.

$f(x)\geq2$ : $\mathcal{C}_f$ au-dessus ou sur $y=2$.

$S=[2\,;\,5]$

$f(x)<2$ : $\mathcal{C}_f$ strictement en dessous de $y=2$.

$S=[0\,;\,2[\,\cup\,]5\,;\,7]$

§5 — Comparaison de fonctions

Comparer $f$ et $g$ graphiquement

Méthode
  1. Tracer $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur le même repère.
  2. $f(x)=g(x)$ : lire les abscisses des intersections.
  3. $f(x)>g(x)$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$.
  4. $f(x)<g(x)$ : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$.
§5 — Comparaison de fonctions

Exemple — Comparaison de $f$ et $g(x)=x-2$

Exemple

$f$ sur $[0\,;\,6]$, $g(x)=x-2$. Tableau de $g$ :

$x$$0$$6$
$g(x)=x-2$$-2$$4$
  • $f(x)=g(x)$ : intersections → $S=\{1\,;\,4\}$.
  • $f(x)\geq g(x)$ : $\mathcal{C}_f$ sur ou au-dessus de $\mathcal{C}_g$ → $S=[1\,;\,4]$.
  • $f(x)<g(x)$ : $\mathcal{C}_f$ strictement en dessous → $S=[0\,;\,1[\,\cup\,]4\,;\,6]$.
§5 — Comparaison de fonctions

Exercice — Seuil de rentabilité

Exercice — Économie

Recettes $R(x)=4x$ et coûts $C(x)=x^2-2x+8$ (en dizaines d'€), $x\in[0\,;\,6]$.

  1. Compléter le tableau de valeurs :    
    $x$0123456
    $R(x)$
    $C(x)$                  
  2. Tracer les deux courbes sur un même repère.
  3. À partir de quelle production la boulangerie est-elle bénéficiaire ($R(x)\geq C(x)$) ?
§5 — Comparaison de fonctions

Correction — Seuil de rentabilité

✓ Correction

1) Tableau de valeurs :

$x$0123456
$R(x)$04812162024
$C(x)$87811162332

3) Bénéfice : $R(x)=C(x)$ pour $x=2$ et $x=4$.

$R(x)\geq C(x)$ sur $[2\,;\,4]$.

La boulangerie est bénéficiaire à partir de $x=2$ jusqu'à $x=4$.

2) Courbes $R$ et $C$ sur $[0\,;\,6]$ 0 1 2 3 4 5 6 4 8 12 16 20 24 28 32 x y 0 R(x)=4x C(x)=x²−2x+8 R≥C
§6 — Fonctions de référence

Fonction carré : $x\mapsto x^2$

Pour chaque fonction, connaître : allure de la courbe, domaine, signe, variations.
Propriétés
  • Domaine de définition : $\mathbb{R}$.
  • Signe : $x^2\geq0$ pour tout réel $x$.
  • Variations : décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
§6 — Fonction carré

Exemple — Résoudre $x^2=4$

Exemple

Résoudre graphiquement $x^2=4$.

$x^2=4\Leftrightarrow x=-\sqrt{4}$ ou $x=\sqrt{4}\Leftrightarrow x=-2$ ou $x=2$.

L'ensemble solution est : $S=\{-2\,;\,2\}$.

§6 — Fonctions de référence

Fonction inverse : $x\mapsto\dfrac{1}{x}$

Propriétés
  • Domaine de définition : $\mathbb{R}^*=]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[$.
  • Signe : négative sur $]-\infty\,;\,0[$, positive sur $]0\,;\,+\infty[$.
  • Variations : décroissante sur chaque intervalle du domaine.
§6 — Fonction inverse

Exemple — Résoudre $\dfrac{1}{x}>2$

Exemple

Résoudre $\dfrac{1}{x}>2$ graphiquement.

Méthode : abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ au-dessus de $y=2$. Attention : non définie en $0$.

L'ensemble solution est : $S=]0\,;\,0{,}5[$.

§6 — Fonctions de référence

Fonction racine carrée : $x\mapsto\sqrt{x}$

Propriétés
  • Domaine de définition : $[0\,;\,+\infty[$.
  • Signe : toujours positive ou nulle.
  • Variations : strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
§6 — Fonction racine carrée

Exemple — Résoudre $\sqrt{x}=2$

Exemple

Résoudre graphiquement $\sqrt{x}=2$.

$\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=2^2\Leftrightarrow x=4$.

L'ensemble solution est : $S=\{4\}$.

§6 — Fonctions de référence

Fonction cube : $x\mapsto x^3$

Propriétés
  • Domaine de définition : $\mathbb{R}$.
  • Signe : même signe que $x$ (négative si $x<0$, positive si $x>0$).
  • Variations : strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
§6 — Fonction cube

Exemple — Résoudre $x^3=8$

Exemple

Résoudre graphiquement $x^3=8$.

Méthode : abscisse du point de $\mathcal{C}_f$ d'ordonnée $8$.

$x^3=8\Leftrightarrow x=8^{1/3}\Leftrightarrow x=2$.

L'ensemble solution est : $S=\{2\}$.

§6 — Fonctions de référence

Fonction valeur absolue : $x\mapsto|x|$

Propriétés
  • Domaine de définition : $\mathbb{R}$.
  • Signe : toujours positive ou nulle ($|x|\geq0$).
  • Variations : décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
§6 — Fonction valeur absolue

Exemple — Résoudre $|x|=3$

Exemple

Résoudre graphiquement $|x|=3$.

On trace $y=3$ et on lit les abscisses des intersections.

L'ensemble solution est : $S=\{-3\,;\,3\}$.

§7 — Application Python

Tableau de valeurs avec une boucle while

from math import *

# On définit f(x) = x²
def f(x):
    return x**2

def tableaudevaleurs(xmin, xmax, pas):
    x = xmin
    # Tant que x ≤ xmax
    while x <= xmax:
        print(x, f(x))
        x = x + pas

tableaudevaleurs(-3, 3, 0.5)
Questions
  1. Combien de lignes ce programme affiche-t-il ?
  2. Vérifier que $A(1{,}5\,;\,2{,}26)\notin\mathcal{C}_f$.
  3. Modifier pour $g(x)=\sqrt{x}$ sur $[0\,;\,9]$ (pas $1$).
  4. Modifier pour afficher le signe de $f(x)$ à chaque étape.
§7 — Application Python

Correction — Boucle while

✓ Correction

1) De $-3$ à $3$ avec pas $0{,}5$ : $\dfrac{3-(-3)}{0{,}5}+1=13$ lignes.

2) $f(1{,}5)=1{,}5^2=2{,}25\neq2{,}26$, donc $A\notin\mathcal{C}_f$.

4) Dans la boucle, ajouter :

if f(x) > 0:
    signe = "+"
elif f(x) == 0:
    signe = "0"
else:
    signe = "-"
print(x, f(x), signe)
Question 3 — $g(x)=\sqrt{x}$ sur $[0\,;\,9]$, pas $1$ 
from math import *

# On définit g(x) = √x
def g(x):
    return sqrt(x)

def tableaudevaleurs(xmin, xmax, pas):
    x = xmin
    while x <= xmax:
        print(x, g(x))
        x = x + pas

tableaudevaleurs(0, 9, 1)