Un intervalle est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ formé de tous les réels entre deux bornes. Crochet fermé = borne incluse ; crochet ouvert = borne exclue.
$\pm\infty$ n'est jamais un réel : la borne infinie est toujours exclue (crochet ouvert vers l'infini).
Représenter sur une droite numérique les intervalles suivants :
Soient $A = [-1\,;\,4]$ et $B = [2\,;\,7[$.
$A \cap B = [2\,;\,4]$ (valeurs communes aux deux intervalles)
$A \cup B = [-1\,;\,7[$ (toutes les valeurs dans l'un ou l'autre)
Déterminer et représenter graphiquement :
1) $[-3;2]\cap[0;5] = [0\,;\,2]$
2) $[-3;2]\cup[0;5] = [-3\,;\,5]$
3) $]-\infty;3[\cap[1;+\infty[ = [1\,;\,3[$
4) $]-\infty;1]\cup[4;+\infty[$ (réunion de deux demi-droites)
Résoudre une inéquation, c'est déterminer l'intervalle des solutions.
| Inéquation | Ensemble solution |
|---|---|
| $x > 3$ | $]3\,;\,+\infty[$ |
| $-2 \leq x < 5$ | $[-2\,;\,5[$ |
| $x \leq -1$ ou $x > 4$ | $]-\infty\,;\,-1] \cup ]4\,;\,+\infty[$ |
Exprimer sous forme d'intervalle l'ensemble des solutions :
1) $2x-1>5 \iff 2x>6 \iff x>3$ → $\mathcal{S}=]3\,;\,+\infty[$
2) $-3x+6\leq0 \iff -3x\leq-6 \iff x\geq2$ → $\mathcal{S}=[2\,;\,+\infty[$
3) $1\leq2x+3<9 \iff -2\leq2x<6 \iff -1\leq x<3$ → $\mathcal{S}=[-1\,;\,3[$
4) $x^2\leq9$ → $\mathcal{S}=[-3\,;\,3]$
La valeur absolue de $a$, notée $|a|$, est la distance entre $a$ et $0$.
$|a| = \left\{\begin{array}{ll} a & \text{si } a \geq 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{array}\right.$
Calculer :
1) $|7| = 7$ (7 est positif)
2) $|-3| = -(-3) = 3$ ($-3$ est négatif)
3) $|0| = 0$
4) $\left|-\dfrac{5}{2}\right| = \dfrac{5}{2}$
La distance entre deux réels $a$ et $b$ est :
$d(a,b) = |b-a| = |a-b|$
$|b-a|$ est la longueur du segment $[a\,;\,b]$ sur la droite numérique.
Inégalité triangulaire : $|a+b| \leq |a|+|b|$
Calculer la distance entre les réels suivants :
1) $d(2,7)=|7-2|=5$
2) $d(-3,5)=|5-(-3)|=|8|=8$
3) $d\!\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)=\left|\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|=|2|=2$
4) $d(4,-1)=|-1-4|=|-5|=5$
Soient $a\in\mathbb{R}$ et $r>0$.
$|x-a|\leq r \iff a-r \leq x \leq a+r$
L'ensemble des solutions est l'intervalle $[a-r\,;\,a+r]$.
Interprétation : $|x-a|\leq r$ signifie que la distance entre $x$ et $a$ est $\leq r$.
Par définition de la valeur absolue et puisque $r>0$ :
$|x-a|\leq r \iff -r\leq x-a\leq r$
En ajoutant $a$ à chaque membre :
$\iff a-r\leq x\leq a+r$
Résoudre et représenter les solutions sur une droite numérique :
1) $a=3$, $r=2$ → $\mathcal{S}=[1\,;\,5]$
2) $a=-1$, $r=4$ → $\mathcal{S}=]-5\,;\,3[$
3) $a=5$, $r=1$, $\geq$ → $\mathcal{S}=]-\infty\,;\,4]\cup[6\,;\,+\infty[$
4) $a=\frac{1}{2}$, $r=\frac{3}{2}$ → $\mathcal{S}=[-1\,;\,2]$
Un thermomètre indique une température $T$ (en °C). On sait que $|T-20|\leq 5$.
1) La distance entre $T$ et $20$ est inférieure ou égale à $5$.
2) $a=20$, $r=5$ → $20-5\leq T\leq 20+5$ → $\mathcal{S}=[15\,;\,25]$
Un réel $x$ est un nombre décimal s'il s'écrit :
$x = \dfrac{a}{10^n}$
où $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$. L'ensemble des décimaux est noté $\mathbb{D}$.
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$
Un décimal a un développement décimal fini.
Ex : $0{,}125=\dfrac{125}{1000}\in\mathbb{D}$ · $\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots\notin\mathbb{D}$
Parmi les réels suivants, lesquels sont dans $\mathbb{D}$ ? Justifier en écrivant sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$.
1) $0{,}7=\dfrac{7}{10^1}\in\mathbb{D}$ ✓
2) $\dfrac{3}{4}=\dfrac{75}{100}=\dfrac{75}{10^2}\in\mathbb{D}$ ✓
3) $\dfrac{2}{3}=0{,}66\underline{6}\ldots$ : développement infini, donc $\notin\mathbb{D}$
4) $0{,}125=\dfrac{125}{10^3}\in\mathbb{D}$ ✓
5) $\sqrt{2}=1{,}41421\ldots$ irrationnel, $\notin\mathbb{D}$
6) $\dfrac{7}{25}=\dfrac{28}{100}=0{,}28\in\mathbb{D}$ ✓
Encadrer $x$ à $10^{-n}$ près, c'est trouver $d$ tel que $d\leq x\leq d+10^{-n}$.
On lit le développement décimal et on garde $n$ chiffres après la virgule :
Donner un encadrement à $10^{-1}$ près (au dixième) :
1) $1{,}4 \leq \sqrt{2} \leq 1{,}5$
2) $3{,}1 \leq \pi \leq 3{,}2$
3) $1{,}7 \leq \sqrt{3} \leq 1{,}8$
4) $0{,}1 \leq \dfrac{1}{7} \leq 0{,}2$
Donner un encadrement à $10^{-2}$ près (au centième) :
1) $2{,}23 \leq \sqrt{5} \leq 2{,}24$
2) $2{,}71 \leq e \leq 2{,}72$
1) $2{,}645 \leq \sqrt{7} \leq 2{,}646$
2) Valeur approchée par défaut : $2{,}645$ (troncature)
3) $\sqrt{7}\approx 2{,}6457\ldots$ — le 3e chiffre après la virgule est $7\geq5$ → arrondi : $2{,}646$
$d$ est une valeur approchée de $x$ à $10^{-n}$ près si et seulement si :
$|x - d| \leq 10^{-n}$
On donne $\pi \approx 3{,}14$.
1) $|\pi - 3{,}14| \leq 10^{-2} = 0{,}01$
2) $|\pi-3{,}14|\leq0{,}01 \iff 3{,}14-0{,}01\leq\pi\leq3{,}14+0{,}01 \iff 3{,}13\leq\pi\leq3{,}15$
Or la troncature de $\pi=3{,}14159\ldots$ à $10^{-2}$ est $3{,}14$, d'où bien $3{,}14\leq\pi\leq3{,}15$.
Un laboratoire mesure la longueur $\ell$ d'un objet. L'appareil donne $\ell\approx 12{,}3$ cm avec une précision de $0{,}1$ cm.
1) $|\ell - 12{,}3| \leq 0{,}1$
2) $12{,}3-0{,}1\leq\ell\leq12{,}3+0{,}1$ → $\ell\in[12{,}2\,;\,12{,}4]$
3) $|12{,}8-12{,}3|=0{,}5 > 0{,}1$ → non compatible. $12{,}8\notin[12{,}2\,;\,12{,}4]$.
from math import * def distance(a, b): return abs(b - a) def encadrement(x, n): p = 10**n d = int(x * p) / p return d, d + 1/p print(distance(2,7)) print(encadrement(pi,2))
print(distance(2,7)) ?print(encadrement(pi,2)) ?encadrement(pi,2) :x | n | p | d | renvoie |
|---|---|---|---|---|
encadrement(sqrt(2),3) ?distance(a,b,r) pour qu'elle vérifie si $d(b,a)\leq r$.1) 5
2) (3.14, 3.15)
3) x=pi, n=2, p=100, d=3.14, renvoie: (3.14, 3.15)
4) (1.414, 1.415) → $1{,}414\leq\sqrt{2}\leq1{,}415$
def distance(a, b, r=None): d = abs(b - a) if r is not None: if d <= r: print("Distance ≤ r : dans l'intervalle") else: print("Distance > r : hors de l'intervalle") return d