La moyenne $\bar{x}$ d'une série de $n$ valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_n$ est :
$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$
Quand les valeurs $x_i$ ont des effectifs $n_i$ (avec $N = \sum n_i$ l'effectif total) :
$$\bar{x} = \frac{\sum n_i \times x_i}{N}$$
La moyenne est un indicateur de position : elle représente la valeur « centrale » de la série.
Elle est sensible aux valeurs extrêmes (très grandes ou très petites).
Voici les températures maximales (en °C) relevées pendant une semaine à Lyon :
$28 \quad 31 \quad 29 \quad 35 \quad 33 \quad 30 \quad 27$
Calculer la température moyenne de la semaine.
$\bar{x} = \dfrac{28+31+29+35+33+30+27}{7} = \dfrac{213}{7} \approx \mathbf{30{,}4}$ °C (arrondi à $0{,}1$ °C).
Les notes (sur 20) d'un contrôle de maths pour $30$ élèves sont résumées ci-dessous. Calculer la moyenne.
| Note $x_i$ | $6$ | $9$ | $12$ | $14$ | $16$ | $18$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif $n_i$ | $2$ | $5$ | $8$ | $7$ | $5$ | $3$ |
| $n_i \times x_i$ | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| Note $x_i$ | $6$ | $9$ | $12$ | $14$ | $16$ | $18$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif $n_i$ | $2$ | $5$ | $8$ | $7$ | $5$ | $3$ |
| $n_i \times x_i$ | $12$ | $45$ | $96$ | $98$ | $80$ | $54$ |
$N = 2+5+8+7+5+3 = 30$ · $\sum n_i x_i = 12+45+96+98+80+54 = 385$
$$\bar{x} = \frac{385}{30} \approx \mathbf{12{,}8}$$
Dans une petite entreprise de $8$ personnes, les salaires nets mensuels (en €) sont :
$1\,400 \quad 1\,500 \quad 1\,500 \quad 1\,600 \quad 1\,700 \quad 1\,800 \quad 2\,000 \quad 4\,500$
La température moyenne d'une ville en janvier est $\bar{x} = 5$ °C.
1) $\bar{F} = \dfrac{9}{5}\times5 + 32 = 9 + 32 = \mathbf{41}$ °F.
2) $\bar{x}' = 5 + 3 = \mathbf{8}$ °C.
Si l'on dispose de $p$ groupes d'effectifs $n_1, n_2, \ldots, n_p$ et de moyennes $\bar{x}_1, \bar{x}_2, \ldots, \bar{x}_p$, la moyenne de l'ensemble est :
$$\bar{x} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2 + \cdots + n_p \bar{x}_p}{n_1 + n_2 + \cdots + n_p}$$
Attention : si les groupes n'ont pas le même effectif, on ne peut pas se contenter de faire la moyenne des moyennes.
La seconde 4 a une moyenne de $10$ pour $28$ élèves.
La seconde 5 a une moyenne de $8$ pour $19$ élèves.
Si l'on regroupe ces deux classes, quelle sera la moyenne obtenue ?
$$\bar{x} = \frac{28\times10 + 19\times8}{28+19} = \frac{280 + 152}{47} = \frac{432}{47} \approx \mathbf{9{,}19}$$
Remarque : la moyenne n'est pas $\dfrac{10+8}{2}=9$ car les deux classes n'ont pas le même effectif.
Dans une classe, les résultats à un devoir sont :
Quelle est la moyenne de la classe ?
Méthode : les fréquences jouent le rôle des effectifs relatifs.
$$\bar{x} = 0{,}15\times18 + 0{,}40\times12 + 0{,}20\times10 + 0{,}25\times8$$
$$= 2{,}70 + 4{,}80 + 2{,}00 + 2{,}00 = \mathbf{11{,}5}$$
Vérification : $0{,}15+0{,}40+0{,}20+0{,}25=1{,}00$ ✓
Dans un lycée :
Calculer la moyenne générale des trois premières réunies.
$$\bar{x} = \frac{35\times13 + 30\times11{,}5 + 28\times14}{35+30+28}$$
$$= \frac{455 + 345 + 392}{93} = \frac{1\,192}{93} \approx \mathbf{12{,}82}$$
Remarque : la moyenne $\dfrac{13+11{,}5+14}{3} = 12{,}83$ donne ici un résultat très proche, mais c'est une coïncidence liée aux effectifs voisins ($35$, $30$, $28$). La formule pondérée reste obligatoire.
Deux équipes de basket ont joué $6$ matchs. Voici leurs scores :
| Équipe A | $62$ | $65$ | $67$ | $68$ | $70$ | $72$ | Moy. : $67{,}3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Équipe B | $40$ | $55$ | $65$ | $70$ | $78$ | $98$ | Moy. : $67{,}7$ |
Les moyennes sont presque identiques, pourtant les séries sont très différentes.
L'écart type permet de mesurer cette différence de dispersion.
Soit une série de $n$ valeurs $x_1, \ldots, x_n$ de moyenne $\bar{x}$.
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
$$V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$
L'écart type est la racine carrée de la variance :
$$\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$$
Avec effectifs : $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum n_i(x_i - \bar{x})^2}{N}}$
Pour calculer $\sigma$ à la main :
Reprenons les températures : $28, 31, 29, 35, 33, 30, 27$. On a $\bar{x} \approx 30{,}43$ °C.
Compléter le tableau et calculer $\sigma$.
| $x_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i - \bar{x})^2$ |
|---|---|---|
| $28$ | ? | ? |
| $31$ | ? | ? |
| $29$ | ? | ? |
| $35$ | ? | ? |
| $33$ | ? | ? |
| $30$ | ? | ? |
| $27$ | ? | ? |
| Total | ? | ? |
| $x_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i - \bar{x})^2$ |
|---|---|---|
| $28$ | $-2{,}43$ | $5{,}90$ |
| $31$ | $+0{,}57$ | $0{,}33$ |
| $29$ | $-1{,}43$ | $2{,}04$ |
| $35$ | $+4{,}57$ | $20{,}89$ |
| $33$ | $+2{,}57$ | $6{,}61$ |
| $30$ | $-0{,}43$ | $0{,}18$ |
| $27$ | $-3{,}43$ | $11{,}76$ |
| Total | $0$ | $47{,}71$ |
$V = \dfrac{47{,}71}{7} \approx 6{,}82$
$\sigma = \sqrt{6{,}82} \approx \mathbf{2{,}6}$ °C
Interprétation : les températures s'écartent d'environ $2{,}6$ °C de la moyenne.
On reprend les scores des deux équipes de basket :
| Équipe A | $62$ | $65$ | $67$ | $68$ | $70$ | $72$ | Moy. : $67{,}3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Équipe B | $40$ | $55$ | $65$ | $70$ | $78$ | $98$ | Moy. : $67{,}7$ |
1) Équipe A ($\bar{x}_A = 67{,}3$)
| $x_i$ | $62$ | $65$ | $67$ | $68$ | $70$ | $72$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $(x_i-\bar{x})^2$ | $28{,}1$ | $5{,}4$ | $0{,}1$ | $0{,}5$ | $7{,}3$ | $21{,}8$ |
$V_A = \dfrac{63{,}2}{6} \approx 10{,}5 \quad \Rightarrow \quad \sigma_A \approx \mathbf{3{,}2}$
2) Équipe B ($\bar{x}_B = 67{,}7$)
| $x_i$ | $40$ | $55$ | $65$ | $70$ | $78$ | $98$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $(x_i-\bar{x})^2$ | $763{,}3$ | $162{,}9$ | $7{,}3$ | $5{,}3$ | $107{,}3$ | $916{,}1$ |
$V_B = \dfrac{1\,962{,}2}{6} \approx 327 \quad \Rightarrow \quad \sigma_B \approx \mathbf{18{,}1}$
3) $\sigma_A \approx 3{,}2 \ll \sigma_B \approx 18{,}1$ : les scores de l'équipe A sont bien plus resserrés autour de leur moyenne.
L'équipe A est nettement plus régulière. Le score $98$ de l'équipe B fait exploser son écart type.
On peut aussi montrer que :
$$V = \frac{1}{N}\bigl(n_1 \times x_1^2 + n_2 \times x_2^2 + \times + n_p \times x_p^2\bigr) - \bar{x}^2$$
La calculatrice affiche directement $\sigma$ (et non $V$). On a $V = \sigma^2$.
Cette formule évite de calculer les écarts $(x_i - \bar{x})$ un par un : on calcule d'abord $\sum n_i x_i^2$, puis on soustrait $\bar{x}^2$.
Application (températures) : $\sum x_i^2 = 28^2+31^2+\cdots+27^2 = 6\,509$
$$V = \frac{6\,509}{7} - 30{,}43^2 \approx 929{,}86 - 926{,}98 = 2{,}88 \qquad \sigma = \sqrt{2{,}88} \approx 2{,}6 \text{ °C} \quad \checkmark$$
On reprend les notes du contrôle de maths ($\bar{x} \approx 12{,}8$) :
| $x_i$ | $6$ | $9$ | $12$ | $14$ | $16$ | $18$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $n_i$ | $2$ | $5$ | $8$ | $7$ | $5$ | $3$ |
| $n_i x_i^2$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $x_i$ | $6$ | $9$ | $12$ | $14$ | $16$ | $18$ | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n_i$ | $2$ | $5$ | $8$ | $7$ | $5$ | $3$ | $30$ |
| $n_i x_i^2$ | $72$ | $405$ | $1\,152$ | $1\,372$ | $1\,280$ | $972$ | $5\,253$ |
1) $\dfrac{\sum n_i x_i^2}{N} = \dfrac{72+405+1\,152+1\,372+1\,280+972}{30} = \dfrac{5\,253}{30} = 175{,}1$
2) $V = \dfrac{\sum n_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2 = 175{,}1 - 12{,}8^2 = 175{,}1 - 163{,}84 = 11{,}26$
$\sigma = \sqrt{11{,}26} \approx \mathbf{3{,}36}$
3) Les notes s'écartent d'environ $3{,}36$ points de la moyenne ($12{,}8$). L'intervalle $[12{,}8 - 3{,}36\,;\,12{,}8 + 3{,}36] = [9{,}4\,;\,16{,}2]$ contient environ $68\,\%$ des élèves.
Pour une série « bien répartie » autour de sa moyenne :
Cette règle n'est qu'approximative pour les séries finies. Elle donne cependant une interprétation concrète de $\sigma$ : l'intervalle $[\bar{x}-\sigma\,;\,\bar{x}+\sigma]$ contient « la majorité » des valeurs.
Dans un groupe, la taille moyenne est $\bar{x} = 170$ cm avec $\sigma = 8$ cm.
1) $[170-8\,;\,170+8] = [162\,;\,178]$ cm. Environ $68\,\%$ des personnes.
2) $[170-16\,;\,170+16] = [154\,;\,186]$ cm. Environ $95\,\%$ des personnes.
3) $195$ cm est à $\dfrac{195-170}{8} = 3{,}125$ écarts types de la moyenne : valeur très rare ($\lt 1\,\%$).
Quand les données sont regroupées en classes, on ne connaît pas les valeurs exactes. On fait l'hypothèse que les valeurs sont uniformément réparties dans chaque classe : chaque valeur est alors remplacée par le centre de la classe $c_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$.
Si les données sont réparties en classes d'effectifs $n_1, n_2, \ldots, n_p$ et de centres $c_1, c_2, \ldots, c_p$, la moyenne est estimée par :
$$\bar{x} \approx \frac{n_1 c_1 + n_2 c_2 + \cdots + n_p c_p}{N} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{p} n_i c_i}{N}$$
où $N = \sum n_i$ est l'effectif total.
On reprend le tableau de tailles de $40$ élèves. Calculer la moyenne estimée.
| Classe (cm) | Effectif $n_i$ | Centre $c_i$ | $n_i \times c_i$ |
|---|---|---|---|
| $[150\,;\,160[$ | $4$ | ? | ? |
| $[160\,;\,165[$ | $8$ | ? | ? |
| $[165\,;\,170[$ | $12$ | ? | ? |
| $[170\,;\,175[$ | $10$ | ? | ? |
| $[175\,;\,185[$ | $6$ | ? | ? |
| Total | $40$ | ? |
| Classe (cm) | Effectif $n_i$ | Centre $c_i$ | $n_i \times c_i$ |
|---|---|---|---|
| $[150\,;\,160[$ | $4$ | $155$ | $620$ |
| $[160\,;\,165[$ | $8$ | $162{,}5$ | $1\,300$ |
| $[165\,;\,170[$ | $12$ | $167{,}5$ | $2\,010$ |
| $[170\,;\,175[$ | $10$ | $172{,}5$ | $1\,725$ |
| $[175\,;\,185[$ | $6$ | $180$ | $1\,080$ |
| Total | $40$ | $6\,735$ |
$$\bar{x} \approx \frac{6\,735}{40} = \mathbf{168{,}4 \text{ cm}}$$
Remarque : c'est une estimation. La valeur exacte (si on connaissait toutes les tailles) serait légèrement différente.
On relève le temps de transport (en minutes) de $60$ élèves. Compléter le tableau et calculer la moyenne estimée.
| Classe (min) | Effectif $n_i$ | Centre $c_i$ | $n_i \times c_i$ |
|---|---|---|---|
| $[0\,;\,10[$ | $6$ | ||
| $[10\,;\,20[$ | $15$ | ||
| $[20\,;\,30[$ | $20$ | ||
| $[30\,;\,40[$ | $12$ | ||
| $[40\,;\,60[$ | $7$ | ||
| Total | $60$ |
Si on ajoute une valeur $a$ à une série de $n$ valeurs de moyenne $\bar{x}$, la nouvelle série a $n+1$ valeurs et sa moyenne est :
$$\bar{x}_{\text{modifiée}} = \frac{n\bar{x} + a}{n+1}$$
L'effet sur la médiane dépend de la position de $a$ par rapport à $Me$ :
Une équipe de $6$ basketteurs a une taille moyenne de $\bar{x} = 192$ cm et une médiane $Me = 193$ cm. On recrute un nouveau joueur mesurant $215$ cm.
1) $\bar{x}_{\text{modifiée}} = \dfrac{6\times192 + 215}{7} = \dfrac{1\,152+215}{7} = \dfrac{1\,367}{7} \approx \mathbf{195{,}3}$ cm. La moyenne augmente de $3{,}3$ cm.
2) Le joueur à $215$ cm est au-dessus de $Me$. La médiane (valeur centrale parmi 7) peut légèrement augmenter, mais reste proche de $193$ cm. L'effet est faible.
3) Avec $175$ cm, la moyenne serait $\dfrac{1\,152+175}{7} \approx 189{,}6$ cm (baisse de $2{,}4$ cm). La médiane resterait proche de $192$ cm.
Dans une PME de $8$ employés, les salaires mensuels nets (en €) sont :
$1\,400 \quad 1\,500 \quad 1\,500 \quad 1\,600 \quad 1\,700 \quad 1\,800 \quad 2\,000 \quad 2\,200$
La moyenne est $\bar{x} = 1\,712{,}5$ € et la médiane est $Me = 1\,650$ €.
Une série de $9$ valeurs ordonnées est : $3,\; 5,\; 7,\; 8,\; 10,\; 12,\; 14,\; 15,\; 18$.
def moyenne(serie): return sum(serie) / len(serie) def variance(serie): m = moyenne(serie) somme_carres = 0 for x in serie: somme_carres = somme_carres + (x - m)**2 return somme_carres / len(serie) def ecart_type(serie): return variance(serie) ** 0.5 notes = [6, 6, 9, 9, 9, 9, 9, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18] print("Moyenne :", round(moyenne(notes), 2)) print("Ecart type :", round(ecart_type(notes), 2))
moyenne(notes) ? Vérifier avec le calcul fait en cours.ecart_type(notes) ? (On donne $\sigma \approx 3{,}12$.)variance, à quoi sert somme_carres ? Réécrire en utilisant sum([(x-m)**2 for x in serie]).intervalle_central(serie) qui renvoie $[\bar{x}-\sigma\,;\,\bar{x}+\sigma]$ et compte le nombre de valeurs qui y appartiennent.variance([4, 6, 8]) :
x |
x-m |
(x-m)**2 |
somme_carres |
renvoie (return) |
|---|---|---|---|---|
| $4$ | ||||
| $6$ | ||||
| $8$ |
1) moyenne(notes) renvoie $\approx 12{,}83$ (idem calcul en cours ✓).
2) ecart_type(notes) renvoie $\approx 3{,}12$.
3) somme_carres accumule $\sum(x_i-\bar{x})^2$. Version liste : sum([(x-m)**2 for x in serie]).
5) $m=6$, $V=\frac{(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2}{3}=\frac{4+0+4}{3}=\frac{8}{3}\approx2{,}67$
x | x-m | (x-m)**2 | s_c | return |
|---|---|---|---|---|
| 4 | -2 | 4 | 4 | |
| 6 | 0 | 0 | 4 | |
| 8 | +2 | 4 | 8 | $\approx2{,}67$ |
4) Fonction intervalle_central :
def intervalle_central(serie): m = moyenne(serie) s = ecart_type(serie) borne_g = m - s borne_d = m + s nb = 0 for x in serie: if borne_g <= x <= borne_d: nb = nb + 1 print("Intervalle :", round(borne_g,2), ";", round(borne_d,2)) print("Nb valeurs :", nb, "/", len(serie)) return (borne_g, borne_d, nb)