Classe de Seconde
PROBABILITÉS
Modélisation du hasard
Mathématiques  ·  Lycée
Probabilités

Plan du cours

1Expérience aléatoire et événements
2Loi de probabilité
3Propriétés des probabilités
4Fréquences et probabilités
5Répétition d'épreuves — Arbres de probabilité
6Probabilités conditionnelles
7Synthèse et problèmes
8Application au langage Python
Expérience aléatoire et événements

Expérience aléatoire — Univers — Issues

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, mais dont on connaît tous les résultats possibles.

L'univers (noté $\Omega$) est l'ensemble de toutes les issues (résultats possibles) de l'expérience.

Exemples
  1. Dé cubique équilibré (1 à 6) : $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$  (6 issues)
  2. Pièce de monnaie : $\Omega = \{\text{Pile},\text{Face}\}$  (2 issues)
  3. Tirage dans un jeu de 32 cartes : $\Omega$ contient 32 issues.
  4. Point sur une droite graduée : $\Omega = \mathbb{R}$  (infinité d'issues).
🎲 Remarque historique — 1654

Le calcul des probabilités est né d'une correspondance entre Blaise Pascal (1623–1662) et Pierre de Fermat (1607–1665), à propos d'un problème soumis par le Chevalier de Méré, joueur passionné. Jakob Bernoulli (1655–1705) formalisa ensuite la loi des grands nombres en 1713 dans son Ars Conjectandi.

Expérience aléatoire et événements

Événements

Définition — Événement

Un événement est une partie (sous-ensemble) de l'univers $\Omega$. Il se réalise si l'issue obtenue lui appartient.

  • L'événement certain est $\Omega$ : il se réalise toujours.
  • L'événement impossible est $\emptyset$ : il ne se réalise jamais.
  • Un événement élémentaire est réduit à une seule issue.
Expérience aléatoire et événements

Événements

Définition — Opérations

Soient $A$ et $B$ deux événements de $\Omega$ :

  • L'événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$ : « $A$ ne se réalise pas ».
    Il contient toutes les issues de $\Omega$ n'appartenant pas à $A$ (à l'extérieur de $A$).

  • L'intersection $A \cap B$ (on lit $A$ inter $B$ ) : « $A$ et $B$ se réalisent ».
    Issues appartenant à la fois à $A$ et à $B$.

  • Réunion $A \cup B$ (on lit $A$ union $B$ ): « $A$ ou $B$ se réalise (ou les deux) ».

  • $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$.
    Ils ne peuvent pas se réaliser simultanément.
Expérience aléatoire et événements

Que signifie A ∪ B ?

On considère deux événements $A$ et $B$ dans un même univers $\Omega$.

$A \cup B$ signifie « $A$ ou $B$ (ou les deux) se réalise » : on prend toutes les issues qui appartiennent à $A$, à $B$ ou aux deux.

Idée visuelle : on colore d'abord $A$, puis on ajoute $B$ : la zone $A \cap B$ est alors comptée dans les deux.

Ω A B A∩B
Expérience aléatoire et événements

Diagramme de Venn

NotationSignificationRégion
$A \cap B$A et B∩ centrale
$A \cup B$A ou Bles deux ensembles réunis
$\overline{A}$pas Ahors A
$\overline{A \cup B}$ni A ni Bhors des 2

Exercice : Dé à 6 faces. On pose $A$ = « obtenir un nombre pair » et $B$ = « obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ».

$A=\dots\dots$, $B=\dots\dots$, $\overline{A}=\dots$, $A\cap B=\dots$, $A\cup B=\dots$.

$A$ et $B$ sont-ils incompatibles ?

Ω A B A∩B A∪B
Expérience aléatoire et événements

Diagramme de Venn

NotationSignificationRégion
$A \cap B$A et B∩ centrale
$A \cup B$A ou Btout cercle
$\overline{A}$pas Ahors A
$\overline{A \cup B}$ni A ni Bhors des 2

Exercice : Dé à 6 faces. On pose $A$ = « obtenir un nombre pair » et $B$ = « obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ».

$A=\{2,4,6\}$, $B=\{5,6\}$, $\overline{A}=\{1,3,5\}$, $A\cap B=\{6\}$, $A\cup B=\{2,4,5,6\}$.

$A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? Non, car $A\cap B=\{6\}\neq\emptyset$.

Ω A B A∩B A∪B
Loi de probabilité

Loi de probabilité

Définition

Sur un univers fini $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}$, une loi de probabilité associe à chaque issue $\omega_i$ un réel $p_i \geq 0$ tel que $p_1+\cdots+p_n=1$. Elle se présente sous forme d'un tableau :

Issue$\omega_1$$\omega_2$$\cdots$$\omega_n$
Probabilité$p_1$$p_2$$\cdots$$p_n$

La probabilité d'un événement $A$ est la somme des probabilités des issues qui le composent.

Exemple — Roue de loterie
IssueRougeBleuVertJauneBlanc
Prob.0,300,250,200,150,10

Vérification : $0{,}30+0{,}25+0{,}20+0{,}15+0{,}10=\dots$   |   Calculs : $P(\text{Rouge ou Bleu})=\dots$

Loi de probabilité

Loi de probabilité

Définition

Sur un univers fini $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}$, une loi de probabilité associe à chaque issue $\omega_i$ un réel $p_i \geq 0$ tel que $p_1+\cdots+p_n=1$. Elle se présente sous forme d'un tableau :

Issue$\omega_1$$\omega_2$$\cdots$$\omega_n$
Probabilité$p_1$$p_2$$\cdots$$p_n$

La probabilité d'un événement $A$ est la somme des probabilités des issues qui le composent.

Exemple — Roue de loterie
IssueRougeBleuVertJauneBlanc
Prob.0,300,250,200,150,10

Vérification : $0{,}30+0{,}25+0{,}20+0{,}15+0{,}10=1$ ✓   |   $P(\text{Rouge ou Bleu})=0{,}55$

Loi de probabilité

Équiprobabilité

Définition

On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser. Si $\Omega$ contient $n$ issues ($n=\text{card}(\Omega)$), chaque issue a la probabibilité $\dfrac{1}{n}$ de se réaliser.

Dans ce cas, pour tout événement $A$ :

$P(A) = \dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$

Exercices

Jeu de 32 cartes (8 valeurs, 4 couleurs) :

  1. Probabilité d'obtenir un As.
  2. Probabilité d'obtenir une carte de Cœur.
  3. Probabilité d'obtenir le Roi de Pique.
  4. Probabilité d'obtenir une figure (Valet, Dame ou Roi).
Loi de probabilité

Correction — Équiprobabilité

Jeu de 32 cartes

$\text{card}(\Omega) = 32$ (8 valeurs × 4 couleurs), équiprobabilité.

  1. As : il y a 4 As (un par couleur). $P(\text{As}) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$
  2. Cœur : il y a 8 cartes de Cœur. $P(\text{Cœur}) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$
  3. Roi de Pique : il n'y a qu'une seule carte. $P(\text{Roi de Pique}) = \dfrac{1}{32} \approx 0{,}031$
  4. Figure : Valet, Dame, Roi → 3 valeurs × 4 couleurs = 12 figures. $P(\text{figure}) = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$
Loi de probabilité

Application concrète

Exemple 5 (Contrôle qualité)

Dans un lot de $200$ pièces produites par une machine, $6$ sont défectueuses. On tire une pièce au hasard.

  1. Quelle est la probabilité de tirer une pièce défectueuse ?
  2. Quelle est la probabilité de tirer une pièce conforme ?

(Ce type de calcul est utilisé en permanence dans les processus de fabrication industrielle.)

Loi de probabilité

Correction — Équiprobabilité

Contrôle qualité

$\text{card}(\Omega) = 200$, dont 6 défectueuses et $200 - 6 = 194$ conformes.

$P(\text{défectueuse}) = \dfrac{6}{200} = \dfrac{3}{100} = 0{,}03$

$P(\text{conforme}) = \dfrac{194}{200} = \dfrac{97}{100} = 0{,}97$

Vérification : $P(\text{défectueuse}) + P(\text{conforme}) = 0{,}03 + 0{,}97 = 1$ ✓

Propriétés des probabilités

Propriétés des probabilités

Propriétés fondamentales

Pour tout événement $A$ de $\Omega$ :

  1. $0 \leq P(A) \leq 1$.
  2. $P(\Omega) = 1$  et  $P(\emptyset) = 0$.
  3. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1.
Propriété — Événement contraire

Pour tout événement $A$ de $\Omega$ :

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

Demonstration : $A\cup\overline{A}=\Omega$ et $A\cap\overline{A}=\emptyset$, donc $P(A)+P(\overline{A})=1$.

Remarque — Astuce clé

$P(\text{« au moins un »}) = 1 - P(\text{« aucun »})$

Propriétés des probabilités

Pourquoi $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ ?

Idée clé

Dans l'univers $\Omega$, chaque issue est soit dans $A$, soit dans $\overline{A}$, mais jamais dans les deux.

$A$ et $\overline{A}$ sont donc deux événements incompatibles dont la réunion est tout l'univers : $A \cup \overline{A} = \Omega$.

On a donc : $P(A) + P(\overline{A}) = P(\Omega) = 1$, d'où $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

Astuce de calcul

Pour un événement du type « au moins une fois », on calcule souvent plus facilement le contraire « aucune fois », puis on fait $P(\text{« au moins un »}) = 1 - P(\text{« aucun »})$.

Ω A P(A) A P(Ā) P(A) + P(Ā) = 1
Propriétés des probabilités

Propriétés des probabilités

Propriété — Réunion

Pour tout événement $A$ et $B$ de $\Omega$ :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Cas particulier : Si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A\cap B=\emptyset$ ) (incompatibles) :

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

Propriétés des probabilités

Pourquoi la formule de A ∪ B ?

Idée clé

Si on additionne $P(A)$ et $P(B)$, la zone $A \cap B$ est comptée deux fois.

Pour obtenir $P(A \cup B)$, on enlève une fois $P(A \cap B)$ :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), l'intersection est vide, donc $P(A \cup B) = P(A)+P(B)$.

Voir l'animation :
webclasse.fr → Probabilités → Formule $P(A\cup B)$ : animation
Ω A B A∩B A∩B est compté dans P(A) et dans P(B)
Propriétés des probabilités

Exemple — Réunion et météo

Jeu de 32 cartes

$A$ = « As », $B$ = « Cœur ».

$P(A)=\dfrac{4}{32}$, $P(B)=\dfrac{8}{32}$, $P(A\cap B)=\dfrac{1}{32}$.

$P(A\cup B)=\dots\dots\dots\dots\dots$

Exercice — Météo

$P(\text{pluie})=0{,}3$, $P(\text{vent})=0{,}4$, $P(\text{pluie et vent})=0{,}15$.

  1. Calculer $P(\text{pluie ou vent})$.
  2. Calculer $P(\overline{\text{pluie}})$.
  3. Les deux événements sont-ils incompatibles ?
  4. Calculer $P(\text{ni pluie ni vent})$.
Propriétés des probabilités

Correction — Réunion et météo

Jeu de 32 cartes

$A$ = « As », $B$ = « Cœur », $A\cap B$ = « As de Cœur ».

$P(A)=\dfrac{4}{32}$, $\;P(B)=\dfrac{8}{32}$, $\;P(A\cap B)=\dfrac{1}{32}$.

Formule de la réunion :

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$P(A\cup B)=\dfrac{4}{32}+\dfrac{8}{32}-\dfrac{1}{32} =\dfrac{11}{32}\approx 0{,}344$

Exercice — Météo

$P(\text{pluie})=0{,}3\;;\quad P(\text{vent})=0{,}4\;;\quad P(\text{pluie et vent})=0{,}15$.

  1. Pluie ou vent :
    $P(\text{pluie ou vent})=0{,}3+0{,}4-0{,}15=\mathbf{0{,}55}$
  2. Complémentaire de pluie :
    $P(\overline{\text{pluie}})=1-0{,}3=\mathbf{0{,}7}$
  3. Incompatibilité :
    Non, car $P(\text{pluie et vent})=0{,}15\neq 0$. Deux événements incompatibles vérifient $P(A\cap B)=0$.
  4. Ni pluie ni vent :
    $\overline{\text{pluie ou vent}}$ est l'événement contraire de « pluie ou vent ».
    $P(\text{ni pluie ni vent})=1-0{,}55=\mathbf{0{,}45}$
Fréquences et probabilités

Loi des grands nombres

Propriété

Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d'apparition d'un événement $A$ se stabilise autour de $P(A)$.

Plus le nombre de répétitions est grand, plus la fréquence est proche de la probabilité.

Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi 1713

Bernoulli écrivait : « si les observations de tous les événements étaient continuées pendant l'éternité, on noterait que tout dans le monde est gouverné par des proportions précises. » C'est la première démonstration rigoureuse de ce résultat.

lancers fréq. 0,2 0,5 0,8 10 50 200 1 000 5 000 P = 0,5 fréquence observée
Fréquences et probabilités

Simulation — Lancer de pièce

from random import randint

n = 500        # nombre de lancers
pile = 0       # compteur de Pile

for i in range(n):
    lancer = randint(0, 1)
    if lancer == 0:
        pile = pile + 1

frequence = pile / n
print("Fréquence de Pile :", frequence)
print("Probabilité théorique : 0.5")
Questions
  1. Que peut renvoyer randint(0,1) ?
  2. Tester pour $n=50$, $n=500$, $n=5000$.
  3. Que constate-t-on sur la fréquence ?
  4. Modifier pour simuler un dé et calculer la fréquence du 6.
Fréquences et probabilités

Correction — Simulation lancer de pièce

Questions 1 à 3
  1. randint(0,1) renvoie un entier aléatoire parmi 0 ou 1, chacun avec probabilité $\dfrac{1}{2}$. Ici 0 représente Pile, 1 représente Face.
  2. Résultats typiques observés :
    $n$ Fréquence de Pile (exemple) Écart à $0{,}5$
    $50$ $0{,}46$ grand
    $500$ $0{,}502$ moyen
    $5000$ $0{,}499$ faible
  3. Constat : plus $n$ est grand, plus la fréquence de Pile se rapproche de la probabilité théorique $0{,}5$. C'est la loi des grands nombres.
Question 4 — Simulation d'un dé

On remplace randint(0,1) par randint(1,6) et on compte les résultats égaux à 6 : 

from random import randint

n = 5000
six = 0

for i in range(n):
    lancer = randint(1, 6)
    if lancer == 6:
        six = six + 1

frequence = six / n
print("Fréquence du 6 :", frequence)
print("Probabilité théorique :", round(1/6, 4))

Probabilité théorique : $P(6)=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}1667$. La fréquence observée s'en approche quand $n$ est grand.

Répétition d'épreuves — Arbres

Arbre de probabilité

Définition

Lorsqu'une expérience se déroule en plusieurs étapes, on peut la représenter par un arbre de probabilité. Chaque branche porte la probabilité d'une issue à une étape donnée.

Propriété — Règles de lecture d'un arbre
  • Les probabilités des branches issues d'un même nœud s'additionnent et donnent 1.
  • La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
  • La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de tous les chemins chemins qui lui sont favorables.
Répétition d'épreuves — Arbres

Deux lancers d'une pièce équilibrée

$P$ = « Pile », $F$ = « Face ».

Questions
  1. Calculer $P(PP)$.
  2. Calculer $P(\text{exactement un Pile})$.
  3. Calculer $P(\text{au moins un Pile})$.
1/2 1/2 P F 1/2 1/2 1/2 1/2 P F P F
Répétition d'épreuves — Arbres

Deux lancers — Correction ✓

✓ Correction
Résultat 1 — $P(PP)$

$P(PP) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

Résultat 2 — Exactement un Pile

$P = P(PF) + P(FP) = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$

Résultat 3 — Au moins un Pile

$P(\text{au moins un Pile}) = 1 - P(FF) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

Répétition d'épreuves — Arbres

Exemple — Contrôle qualité

Deux pièces contrôlées indépendamment. Probabilité de défaut : $0{,}04$.

$D$ = « défectueuse », $\overline{D}$ = « conforme ».

Questions
  1. $P(\text{deux défectueuses})$ ?
  2. $P(\text{aucune défectueuse})$ ?
  3. $P(\text{exactement une défectueuse})$ ?
  4. Vérifier que la somme des probabilités des 4 issues vaut 1.
0,04 0,96 D D 0,04 0,96 0,04 0,96 D D D D
Répétition d'épreuves — Arbres

Correction — Contrôle qualité

$P(D)=0{,}04$, $P(\overline{D})=0{,}96$, tirages indépendants → on multiplie les probabilités sur chaque chemin.

Résultats
  1. Deux défectueuses ($DD$) :
    $P(DD)=0{,}04\times 0{,}04=\mathbf{0{,}0016}$
  2. Aucune défectueuse ($\overline{D}\overline{D}$) :
    $P(\overline{D}\overline{D})=0{,}96\times 0{,}96=\mathbf{0{,}9216}$
  3. Exactement une défectueuse :
    deux chemins favorables : $D\overline{D}$ ou $\overline{D}D$
    $P(D\overline{D})=0{,}04\times 0{,}96=0{,}0384$
    $P(\overline{D}D)=0{,}96\times 0{,}04=0{,}0384$
    $P(\text{exactement une})=0{,}0384+0{,}0384=\mathbf{0{,}0768}$
  4. Vérification :
    $0{,}0016+0{,}0384+0{,}0384+0{,}9216$
    $=\mathbf{1}$ ✓
0,04 0,96 D D 0,04 0,96 0,04 0,96 D D D D = 0,0016 = 0,0384 = 0,0384 = 0,9216 } 0,0768
Répétition d'épreuves — Arbres

Tirage sans remise — Urne

Urne : 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B). Tirage de 2 boules sans remise.

Analyse

1re rouge → reste 2R + 2B (4 boules).

1re bleue → reste 3R + 1B (4 boules).

Questions
  1. $P(\text{deux rouges})$ ?
  2. $P(\text{couleurs différentes})$ ?
  3. $P(\text{au moins une rouge})$ ?
3/5 2/5 R B 2/4 2/4 3/4 1/4 R B R B
Répétition d'épreuves — Arbres

Correction — Tirage sans remise

Probabilités sur chaque chemin = produit des fractions (tirage sans remise → fractions conditionnelles).

Résultats
  1. Deux rouges ($RR$) :
    $P(RR)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}=\dfrac{6}{20}=\mathbf{\dfrac{3}{10}}$
  2. Couleurs différentes ($RB$ ou $BR$) :
    $P(RB)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}=\dfrac{6}{20}$
    $P(BR)=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{20}$
    $P(\text{diff.})=\dfrac{6}{20}+\dfrac{6}{20}=\dfrac{12}{20}=\mathbf{\dfrac{3}{5}}$
  3. Au moins une rouge :
    Méthode du complémentaire :
    $P(\text{aucune rouge})=P(BB)=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}$
    $P(\text{au moins une R})=1-\dfrac{1}{10}=\mathbf{\dfrac{9}{10}}$

Vérification : $\dfrac{6}{20}+\dfrac{6}{20}+\dfrac{6}{20}+\dfrac{2}{20}=\dfrac{20}{20}=1$ ✓

3/5 2/5 R B 2/4 2/4 3/4 1/4 R B R B = 6/20 = 6/20 = 6/20 = 2/20 } 12/20 } 18/20
Répétition d'épreuves — Arbres

Exercice — Test de recrutement

Exercice concret

Une entreprise reçoit 10 candidats. Parmi eux, 4 sont ingénieurs (I) et 6 ne le sont pas ($\overline{\text{I}}$). On tire au sort 2 candidats parmi les 10.

  1. Construire l'arbre de probabilité (tirage sans remise).
  2. Calculer la probabilité qu'aucun ingénieur ne soit sélectionné.
  3. Calculer la probabilité qu'exactement 1 ingénieur soit sélectionné.
  4. Calculer la probabilité qu'au moins 1 ingénieur soit sélectionné.
Répétition d'épreuves — Arbres

Correction — Test de recrutement

10 candidats : 4 ingénieurs (I), 6 non-ingénieurs ($\overline{I}$). Tirage sans remise.

Résultats
  1. Aucun ingénieur ($\overline{I}\cap\overline{I}$) :
    $P(\overline{I}\cap\overline{I})=\dfrac{6}{10}\times\dfrac{5}{9}=\dfrac{30}{90}=\mathbf{\dfrac{1}{3}}$
  2. Exactement 1 ingénieur ($I\cap\overline{I}$ ou $\overline{I}\cap I$) :
    $P(I\cap\overline{I})=\dfrac{4}{10}\times\dfrac{6}{9}=\dfrac{24}{90}$
    $P(\overline{I}\cap I)=\dfrac{6}{10}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{24}{90}$
    $P(\text{exactement 1})=\dfrac{24}{90}+\dfrac{24}{90}=\dfrac{48}{90}=\mathbf{\dfrac{8}{15}}$
  3. Au moins 1 ingénieur :
    Méthode du complémentaire :
    $P(\text{au moins 1 I})=1-P(\overline{I}\cap\overline{\text{I}})=1-\dfrac{1}{3}=\mathbf{\dfrac{2}{3}}$

Vérification : $\dfrac{12}{90}+\dfrac{24}{90}+\dfrac{24}{90}+\dfrac{30}{90}=\dfrac{90}{90}=1$ ✓

4/10 6/10 I I 3/9 6/9 4/9 5/9 I I I I = 12/90 = 24/90 = 24/90 = 30/90 } 48/90 } 60/90
Probabilités conditionnelles

Probabilité conditionnelle

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements avec $P(A) \neq 0$. La probabilité conditionnelle de l'événement $B$ sachant l'événement $A$, notée $P_A(B)$, est :

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Elle représente la probabilité que $B$ se réalise, en sachant que $A$ s'est réalisé.

Remarque — Calcul direct

Si $A$ est réalisé, l'univers se restreint aux issues de $A$, et on compte parmi elles celles qui appartiennent à $B$.

Probabilités conditionnelles

Exemple — Dé à 6 faces

Exercice

On lance un dé équilibré à 6 faces. On pose :

$A$ = « obtenir un nombre pair » et $B$ = « obtenir un nombre $\geq 4$ ».

  1. Donner $A$, $B$ et $A \cap B$ en extension.
  2. Calculer $P(A)$ et $P(A \cap B)$.
  3. Calculer $P_A(B)$ à l'aide de la définition.
  4. Retrouver $P_A(B)$ par un raisonnement direct (restriction de l'univers).
Probabilités conditionnelles

Exemple dé — Correction ✓

✓ Correction

$A=\{2,4,6\}$, $B=\{4,5,6\}$, $A\cap B=\{4,6\}$.

$P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$  et  $P(A\cap B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.

$P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} = \dfrac{1/3}{1/2} = \dfrac{2}{3}$

Calcul direct : parmi les faces paires $\{2,4,6\}$ (3 issues), celles qui sont $\geq 4$ sont $\{4,6\}$ (2 issues), d'où $P_A(B)=\dfrac{2}{3}$. ✓

Probabilités conditionnelles

Interprétation des branches d'un arbre

Propriété

Dans un arbre de probabibilité à deux niveaux :

  • Les branches du premier niveau portent les probabilités simples $P(A)$ et $P(\overline{A})$.
  • Les branches du second niveau : probabilités conditionnelles : $P_A(B)$, $P_A(\overline{B})$, $P_{\overline{A}}(B)$...
Remarque

La probabilité du chemin $A$ vers $B$ est $P(A)\times P_A(B)=P(A\cap B)$.

La somme des branches issues d'un même nœud vaut 1 :

$P(A)+P(\overline{A})=1$   ·   $P_A(B)+P_A(\overline{B})=1$   ·   $P_{\overline{A}}(B)+P_{\overline{A}}(\overline{B})=1$

P(A) P(A) A A PA(B) PA(B) PA(B) PA(B) B B B B prob. simples prob. conditionnelles
Probabilités conditionnelles

Formule des probabilités composées

Propriété

Pour deux événements $A$ et $B$ avec $P(A)\neq 0$ :

$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$

Cette formule traduit la le long d'un chemin de l'arbre.

Demonstration : Par définition $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$, d'où $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.

Exemple — Urne sans remise

Urne : 3 boules rouges et 2 bleues. On tire 2 boules sans remise.

La branche « R puis R » porte :

  • $P(R_1)=\dfrac{3}{5}$ : probabilité que la 1re soit rouge.
  • $P_{R_1}(R_2)=\dfrac{2}{4}$ : probabilité que la 2e soit rouge sachant que la 1re était rouge.

$P(R_1\cap R_2) = \dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$

Probabilités conditionnelles

Tableaux croisés d'effectifs

Définition

Un tableau croisé d'effectifs (ou tableau de contingence) dénombre les individus d'une population selon deux caractères. Si on tire un individu au hasard (équiprobabilité), on calcule des probabilités et des probabilités conditionnelles en divisant les effectifs par l'effectif total.

Exercice — Résultats scolaires
Mention $B$ (ou TB)Pas de mention $\overline{B}$Total
Filière scientifique ($S$)80120200
Autres ($\overline{S}$)60240300
Total140360500
  1. Calculer $P(S)$, $P(B)$ et $P(S\cap B)$.
  2. Calculer $P_S(B)$ : mention sachant filière scientifique.
  3. Calculer $P_B(S)$ : filière scientifique sachant mention.
  4. Comparer $P_S(B)$ et $P_{\overline{S}}(B)$. La filière scientifique favorise-t-elle la mention ?
Probabilités conditionnelles

Tableau croisé — Correction ✓

✓ Correction

$P(S)=\dfrac{200}{500}=\dfrac{2}{5}$,   $P(B)=\dfrac{140}{500}=\dfrac{7}{25}$,   $P(S\cap B)=\dfrac{80}{500}=\dfrac{4}{25}$

$P_S(B)=\dfrac{P(S\cap B)}{P(S)}=\dfrac{80/500}{200/500}=\dfrac{80}{200}=0{,}40$

$P_B(S)=\dfrac{P(S\cap B)}{P(B)}=\dfrac{80/500}{140/500}=\dfrac{80}{140}=\dfrac{4}{7}\approx 0{,}571$

$P_{\overline{S}}(B)=\dfrac{60}{300}=0{,}20$   vs   $P_S(B)=0{,}40$. La filière scientifique double la probabilité d'obtenir une mention. ✓

Probabilités conditionnelles

Distinguer $P_A(B)$ et $P_B(A)$

⚠ Attention !

En général, $P_A(B) \neq P_B(A)$. Confondre ces deux probabilités est une erreur classique, parfois lourde de conséquences — notamment dans l'interprétation des tests médicaux.

Exemple — Dépistage médical et faux positifs

Dans une population, $2\%$ des personnes sont malades ($M$).

  • $P_M(T^+) = 0{,}95$ : sensibilité (positif si malade).
  • $P_{\overline{M}}(T^+) = 0{,}03$ : taux de faux positifs (positif si sain).
  1. Calculer $P(M\cap T^+)$ et $P(\overline{M}\cap T^+)$.
  2. En déduire $P(T^+)$.
  3. Calculer $P_{T^+}(M)$ : probabilité d'être malade sachant $T^+$.
  4. Comparer $P_M(T^+)=0{,}95$ et $P_{T^+}(M)$. Que remarquez-vous ?
Probabilités conditionnelles

Faux positifs — Correction ✓

✓ Correction

$P(M\cap T^+)=P(M)\times P_M(T^+)=0{,}02\times 0{,}95=0{,}019$

$P(\overline{M}\cap T^+)=P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T^+)=0{,}98\times 0{,}03=0{,}0294$

$P(T^+)=0{,}019+0{,}0294=0{,}0484$

$P_{T^+}(M)=\dfrac{P(M\cap T^+)}{P(T^+)}=\dfrac{0{,}019}{0{,}0484}\approx 0{,}393$

$P_M(T^+)=0{,}95$ (test très fiable pour les malades) mais $P_{T^+}(M)\approx 39\%$ seulement ! Sur 100 personnes testées positives, 61 sont en réalité saines. Paradoxe des faux positifs !

Probabilités conditionnelles

Exemple concret — Contrôle industriel

Exercice

Une usine produit des pièces dont $2\%$ sont défectueuses ($D$). Un contrôle automatique déclenche une alarme ($A$) avec une probabilité de $0{,}98$ si la pièce est défectueuse, et $0{,}01$ si la pièce est bonne.

  1. Construire l'arbre de probabilité et indiquer les probabilités conditionnelles sur chaque branche.
  2. Calculer $P(D\cap A)$ et $P(\overline{D}\cap A)$.
  3. En déduire $P(A)$, probabilité que l'alarme se déclenche.
  4. Calculer $P_A(D)$ : probabilité qu'une pièce soit réellement défectueuse sachant que l'alarme s'est déclenchée.
  5. Comparer $P_D(A)=0{,}98$ et $P_A(D)$. Commenter.
Probabilités conditionnelles

Correction — Contrôle industriel

0,02 0,98 D D PD(A)=0,98 PD(A)=0,02 PD(A) = 0,01 PD(A) = 0,99 A A A A = 0,0196 = 0,0004 = 0,0098 = 0,9702 } P(A)
Calculs

2. Intersections :

$P(D\cap A)=0{,}02\times 0{,}98=\mathbf{0{,}0196}$

$P(\overline{D}\cap A)=0{,}98\times 0{,}01=\mathbf{0{,}0098}$

3. $P(A)$ par les deux chemins :

$P(A)=P(D\cap A)+P(\overline{D}\cap A)$

$P(A)=0{,}0196+0{,}0098=\mathbf{0{,}0294}$

4. $P_A(D)$ par définition :

Parmi les alarmes déclenchées, quelle proportion concerne une vraie pièce défectueuse ?

$P_A(D)=\dfrac{P(D\cap A)}{P(A)}=\dfrac{0{,}0196}{0{,}0294}\approx\mathbf{0{,}667}$

5. Commentaire :

$P_D(A)=0{,}98$ : l'alarme se déclenche presque toujours pour une pièce défectueuse.

Pourtant $P_A(D)\approx 0{,}667$ : quand l'alarme sonne, la pièce n'est réellement défectueuse que dans 2 cas sur 3. Un tiers des alarmes sont des faux positifs, car les bonnes pièces sont très majoritaires ($98\%$).

Synthèse et problèmes

Problème — Jeu de fête foraine

Problème de synthèse

On lance deux dés équilibrés numérotés de 1 à 6. On gagne si la somme est strictement supérieure à 9.

  1. Combien y a-t-il d'issues possibles au total ?
  2. Lister les issues favorables (somme $>9$).
  3. Calculer la probabilité de gagner.
  4. Le forain propose 5 € pour une mise de 2 €. Ce jeu est-il rentable à long terme ?
Synthèse et problèmes

Correction — Fête foraine (1/2)

Questions 1 à 3

1. Nombre d'issues :

Chaque dé donne 6 résultats, lancers indépendants :
$\text{card}(\Omega)=6\times 6=\mathbf{36}$

2. Issues favorables (somme $> 9$) :

Dé 1 Dé 2 Somme
4610
5510
5611
6410
6511
6612

$\text{card}(A)=\mathbf{6}$ issues favorables.

3. Probabilité de gagner :

$P(\text{gagner})=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}167$

Grille des 36 issues — cases gagnantes en rouge Dé 2→ 1 2 3 4 5 6 Dé1↓ 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
Synthèse et problèmes

Correction — Fête foraine (2/2)

Question 4 — Rentabilité du jeu

Mise : 2 euros. Gain en cas de victoire : 5 euros. Probabilité de gagner : $\dfrac{1}{6}$.

On raisonne sur 36 parties (un cycle complet) :

  • 6 victoires : on reçoit 5 euros et on récupère sa mise, soit un gain net de +3 euros par victoire.
  • 30 défaites : on perd la mise, soit −2 euros par défaite.

Gain net total sur 36 parties :

$6\times(+3) + 30\times(-2) = 18 - 60 = \mathbf{-42}$ euros

Gain moyen par partie :

$\dfrac{-42}{36} = -\dfrac{7}{6} \approx -1{,}17$ euro

Le jeu est défavorable au joueur : en moyenne, il perd environ 1,17 euro par partie. Plus on joue, plus on perd. Ce jeu est rentable pour le forain, pas pour le joueur.

Synthèse et problèmes

🎲 Le paradoxe du Chevalier de Méré

Problème historique

En 1654, le Chevalier de Méré gagnait souvent en pariant obtenir au moins un 6 en 4 lancers de dé. Il essaya sur le double-6 en 24 lancers et perdit régulièrement.

$A$ = « au moins un 6 en 4 lancers »  ·  $B$ = « au moins un double-6 en 24 lancers ».

  1. Calculer $P(\overline{A})=$ probabilité d'aucun 6 en 4 lancers.
  2. En déduire $P(A)$. Était-il avantageux de parier sur $A$ ?
  3. La probabilité d'un double-6 en un lancer est $\dfrac{1}{36}$. Calculer $P(\overline{B})$.
  4. En déduire $P(B)$. Expliquer pourquoi il perdait.

(C'est précisément ce problème qui fonda le calcul des probabilités en 1654 !)

Synthèse et problèmes

🎲 Correction — Chevalier de Méré

$A$ = « au moins un 6 en 4 lancers »

1. Probabilité de $\overline{A}$ (aucun 6) :

À chaque lancer, $P(\text{pas de 6})=\dfrac{5}{6}$.

Les 4 lancers sont indépendants, donc :

$P(\overline{A})=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{5}{6}\times\dfrac{5}{6}\times\dfrac{5}{6}=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{\!4}=\dfrac{625}{1296}\approx 0{,}482$

2. Probabilité de $A$ :

$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^{\!4}\approx 1-0{,}482=\mathbf{0{,}518}$

$P(A)\approx 0{,}518 > 0{,}5$ : parier sur $A$ est avantageux. Le Chevalier avait raison sur ce point.
$B$ = « au moins un double-6 en 24 lancers »

3. Probabilité de $\overline{B}$ (aucun double-6) :

À chaque lancer de deux dés, $P(\text{pas de double-6})=\dfrac{35}{36}$.

Les 24 lancers sont indépendants, donc :

$P(\overline{B})=\left(\dfrac{35}{36}\right)^{\!24}\approx \mathbf{0{,}509}$

4. Probabilité de $B$ :

$P(B)=1-\left(\dfrac{35}{36}\right)^{\!24}\approx 1-0{,}509=\mathbf{0{,}491}$

$P(B)\approx 0{,}491 < 0{,}5$ : parier sur $B$ est désavantageux. Le Chevalier se trompait : la symétrie $4/6 = 24/36$ ne fonctionne pas avec les probabilités — c'est précisément ce que Pascal lui a démontré en 1654.
Synthèse et problèmes

Problème — Dépistage médical

$2\%$ malades ($M$). Test : $P_M(T^+)=0{,}95$ et $P_{\overline{M}}(T^-)=0{,}97$.

Questions
  1. Combien de vrais positifs sur 100 000 personnes testées ?
  2. Combien de faux positifs ?
  3. Parmi les $T^+$, quelle proportion est réellement malade ?
  4. Que peut-on conclure sur le dépistage de masse d'une maladie rare ?
P(M)=0,02 P(M)=0,98 M M PM(T⁺)=0,95 PM(T⁻)=0,05 PM(T⁺)=0,03 PM(T⁻)=0,97 T+ T− T+ T−
Synthèse et problèmes

Correction — Dépistage médical

On raisonne sur 100 000 personnes testées.

Questions 1 à 3

Population de départ :

  • Malades ($M$) : $100\,000 \times 0{,}02 = \mathbf{2\,000}$
  • Non malades ($\overline{M}$) : $100\,000 \times 0{,}98 = \mathbf{98\,000}$

1. Vrais positifs ($M \cap T^+$) :

Malades testés positifs : $2\,000 \times 0{,}95 = \mathbf{1\,900}$

2. Faux positifs ($\overline{M} \cap T^+$) :

$P_{\overline{M}}(T^-) = 0{,}97$ donc $P_{\overline{M}}(T^+) = 1 - 0{,}97 = 0{,}03$

Non malades testés positifs : $98\,000 \times 0{,}03 = \mathbf{2\,940}$

3. Parmi les $T^+$, proportion réellement malades :

Total $T^+$ : $1\,900 + 2\,940 = \mathbf{4\,840}$

$P_{T^+}(M) = \dfrac{1\,900}{4\,840} \approx \mathbf{0{,}393}$

Tableau récapitulatif
$T^+$ $T^-$ Total
$M$ 1 900 100 2 000
$\overline{M}$ 2 940 95 060 98 000
Total 4 840 95 160 100 000

4. Conclusion — dépistage de masse :

Parmi les 4 840 personnes testées positives, seulement 1 900 sont réellement malades, soit environ 39 %. Les 61 % restants sont des faux positifs.

Même avec un test très fiable ($95\%$ / $97\%$), le dépistage de masse d'une maladie rare génère une majorité de fausses alertes. C'est pourquoi on cible en priorité les populations à risque.

Synthèse et problèmes

Problème ouvert — Art génératif et hasard

Problème

Un programme génère un caractère au hasard parmi les 26 lettres de l'alphabet. On répète cette opération 3 fois indépendamment.

  1. Combien d'issues possibles y a-t-il pour les 3 tirages ?
  2. Probabilité d'obtenir exactement « A, B, C » ?
  3. Probabilité que les 3 lettres soient identiques ?
  4. Probabilité qu'aucune des 3 lettres ne soit une voyelle (A, E, I, O, U, Y) ?

(Les générateurs pseudo-aléatoires utilisés en jeux vidéo et cryptographie reposent sur ces principes.)

Synthèse et problèmes

Correction — Art génératif (1/2)

Questions 1 et 2

Tirage avec remise parmi 26 lettres, équiprobable — les 3 tirages sont indépendants.

1. Nombre d'issues possibles :

À chaque tirage : 26 choix. Trois tirages indépendants → on applique le principe multiplicatif :

$\text{card}(\Omega) = 26 \times 26 \times 26 = 26^3 = \mathbf{17\,576}$

2. Probabilité d'obtenir exactement « A, B, C » dans cet ordre :

Un seul triplet ordonné est favorable sur 17 576. Par équiprobabilité :

$P(\text{A, B, C}) = \dfrac{1}{26}\times\dfrac{1}{26}\times\dfrac{1}{26} = \dfrac{1}{26^3} = \dfrac{1}{17\,576}\approx 0{,}0001$

Chaque séquence ordonnée de 3 lettres est aussi rare que les autres.

Synthèse et problèmes

Correction — Art génératif (2/2)

Questions 3 et 4

3. Probabilité que les 3 lettres soient identiques :

26 triplets favorables : AAA, BBB, …, ZZZ. La 1ère lettre est libre, les 2 suivantes doivent lui être égales :

$P(\text{3 identiques}) = \dfrac{26}{26^3} = \dfrac{1}{26^2} = \dfrac{1}{676} \approx \mathbf{0{,}00148}$

Autrement : $P = 1 \times \dfrac{1}{26} \times \dfrac{1}{26} = \dfrac{1}{676}$ (la 1ère lettre est quelconque, chacune des 2 suivantes doit coincider avec elle).

4. Probabilité que les 3 lettres soient toutes des consonnes :

L'alphabet compte 6 voyelles (A, E, I, O, U, Y), donc 20 consonnes sur 26.

À chaque tirage : $P(\text{consonne}) = \dfrac{20}{26} = \dfrac{10}{13}$. Les 3 tirages sont indépendants :

$P(\text{3 consonnes}) = \left(\dfrac{20}{26}\right)^{\!3} = \dfrac{20^3}{26^3} = \dfrac{8\,000}{17\,576} \approx \mathbf{0{,}455}$

Près d'une séquence sur deux ne contiendra aucune voyelle — conséquence directe de la forte proportion de consonnes (20 sur 26) dans l'alphabet.
Application Python

Simulation d'un lancer de dé

from random import randint

n = 1000           # nombre de lancers
compteur = 0       # nombre de 6 obtenus

for i in range(n):
    de = randint(1, 6)
    if de == 6:
        compteur = compteur + 1

frequence = compteur / n
print("Fréquence de 6 :", frequence)
print("Prob. théorique :", round(1/6, 4))
Questions
  1. Que peut renvoyer randint(1,6) ?
  2. Que représente compteur à la fin de la boucle ?
  3. Tester pour $n=100$, $n=1000$, $n=10\,000$. Que constate-t-on ?
  4. Modifier pour calculer la fréquence d'un nombre pair.
Application Python

Correction — Simulation d'un lancer de dé

Questions 1 à 3
  1. randint(1,6) renvoie un entier aléatoire parmi $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, chacun avec probabilité $\dfrac{1}{6}$. Les deux bornes sont incluses.
  2. compteur à la fin de la boucle contient le nombre de fois où le résultat du dé valait 6 parmi les $n$ lancers. On obtient ensuite la fréquence observée par compteur / n.
  3. Résultats typiques :
    $n$ Fréquence observée (exemple) Écart à $\frac{1}{6}\approx 0{,}167$
    100 $0{,}14$ grand
    1 000 $0{,}169$ faible
    10 000 $0{,}1664$ très faible

    Plus $n$ est grand, plus la fréquence se stabilise autour de $\frac{1}{6}$ : c'est la loi des grands nombres.

Question 4 — Fréquence d'un nombre pair

Les nombres pairs sur un dé sont $2$, $4$, $6$ → 3 valeurs sur 6. Probabilité théorique : $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.

On remplace le test if de == 6 par if de % 2 == 0 (l'opérateur % donne le reste de la division) :

from random import randint

n = 1000
compteur = 0

for i in range(n):
    de = randint(1, 6)
    if de % 2 == 0:    # pair ?
        compteur = compteur + 1

frequence = compteur / n
print("Fréquence pair :", frequence)
print("Prob. théorique : 0.5")
Application Python

🎲 Simulation — Chevalier de Méré

from random import randint

n = 10000    # parties
succes = 0

for i in range(n):
    au_moins_un_6 = 0
    for j in range(4):    # 4 lancers
        if randint(1, 6) == 6:
            au_moins_un_6 = 1
    if au_moins_un_6 == 1:
        succes = succes + 1

frequence = succes / n
print("Fréquence :", frequence)
print("Théorique :", round(1-(5/6)**4, 4))
Fréquence : 0.5184
Théorique : 0.5177
Questions
  1. Que représente au_moins_un_6 ? Valeurs possibles ?
  2. Pourquoi fréquence ≠ probabilité théorique ?
  3. Modifier pour simuler le 2e pari (24 lancers de 2 dés, double-6).
    Indication : randint(1,6)==6 and randint(1,6)==6
  4. Laquelle des deux fréquences est supérieure à $0{,}5$ ?
Application Python

🎲 Correction — Simulation Chevalier de Méré

Questions 1 et 2
  1. au_moins_un_6 est un indicateur booléen codé en entier. Il vaut 0 (aucun 6 obtenu sur les 4 lancers) ou 1 (au moins un 6 obtenu). Il est remis à 0 avant chaque partie, puis passe à 1 dès qu'un lancer vaut 6 et ne redescend plus.
  2. Fréquence ≠ probabilité théorique car la simulation est aléatoire : sur 10 000 parties, les résultats fluctuent autour de la valeur théorique $1-\left(\frac{5}{6}\right)^4\approx 0{,}5177$. Plus $n$ est grand, plus la fréquence s'en approche (loi des grands nombres). Deux exécutions du même programme donneront deux résultats différents.
Fréquence pari 1 : ≈ 0,518  (> 0,5 ✓)
Fréquence pari 2 : ≈ 0,491  (< 0,5 ✗)
Question 3 — Simulation du 2e pari (24 lancers, double-6)

On remplace la boucle interne (range(4) / test ==6) par 24 lancers de deux dés simultanés : 

from random import randint

n = 10000
succes = 0

for i in range(n):
    double_six = 0
    for j in range(24):   # 24 lancers
        if randint(1,6)==6 and randint(1,6)==6:
            double_six = 1
    if double_six == 1:
        succes = succes + 1

frequence = succes / n
print("Fréquence :", frequence)
print("Théorique :", round(1-(35/36)**24, 4))

4. Comparaison des deux fréquences :

Pari $P$ théorique Verdict
Au moins un 6 / 4 lancers $\approx 0{,}518$ > 0,5 ✓
Au moins un double-6 / 24 lancers $\approx 0{,}491$ < 0,5 ✗

Seul le 1er pari est avantageux — la simulation confirme le calcul théorique de la diapo S29.