Classe de Seconde — Mathématiques

Proportions & Évolutions

Pourcentages · Taux d'évolution · Application Python

Proportion · Pourcentage de pourcentage · Coefficient multiplicateur · Évolution réciproque · Python

Plan

Plan du chapitre

IProportions — §1.1 Proportion / pourcentage · §1.2 Pourcentage de pourcentage

IIÉvolutions — §2.1 Variation absolue · CM · Taux · §2.2 Évolutions successives · §2.3 Évolution réciproque · §2.4 Taux global

IIIApplication Python — §3.1 Proportion et pourcentage · §3.2 CM et taux · §3.3 Évolutions successives

ExExercices — 4 exercices bilan (avec corrections)

§1 — Proportions

§1.1 Proportion, pourcentage

Définition — Proportion, Pourcentage

Soit $A$ une partie d'un ensemble $B$. Si $A$ contient $n_A$ éléments et $B$ contient $n_B$ éléments, la proportion de $A$ dans $B$ est :

$$p = \frac{n_A}{n_B}$$

Exprimer $p$ en pourcentage signifie l'écrire sous la forme $p \times 100$, noté $p\,\%$.

Remarque

On dit aussi que $A$ représente $p \times 100\,\%$ de $B$, ou encore que $B$ contient $p \times 100\,\%$ de $A$.

§1.1 — Proportion, pourcentage

Exemples et lien effectif – proportion – total

Exemples de proportions

Classe. Une classe de 30 élèves compte 12 filles.
$p = \dfrac{12}{30} = 0{,}4 = 40\,\%$.
Alimentation. Dans un paquet de 250 g de céréales, il y a 8 g de matières grasses.
$p = \dfrac{8}{250} = 0{,}032 = 3{,}2\,\%$.
Élections. 1 800 personnes ont voté sur 4 500 inscrits.
$\dfrac{1800}{4500} = 0{,}4 = 40\,\%$.

Lien effectif — proportion — total

Inconnue	Formule
Partie $n_A$	$n_A = p \times n_B$
Total $n_B$	$n_B = \dfrac{n_A}{p}$
Proportion $p$	$p = \dfrac{n_A}{n_B}$

Exemple — Retrouver l'effectif total

Dans un lycée, les terminales représentent $28\,\%$ des élèves. Il y a 196 terminales.

$\dfrac{196}{n_B}=\dfrac{28}{100} \Leftrightarrow n_B\times 28 = 196\times 100$

$\Leftrightarrow n_B = \dfrac{196\times 100}{28} = \mathbf{700}$ élèves au total.

§1.2 — Pourcentage de pourcentage

§1.2 Pourcentage de pourcentage

Définition — Ensembles emboîtés

Quand trois ensembles $A$, $B$ et $C$ vérifient $A \subset B \subset C$ ($A$ est une partie de $B$, qui est une partie de $C$), on a :

$$\underbrace{\frac{n_A}{n_C}}_{\displaystyle p}= \underbrace{\frac{n_A}{n_B}}_{\displaystyle p_1}\times \underbrace{\frac{n_B}{n_C}}_{\displaystyle p_2}\quad\Rightarrow\quad p = p_1 \times p_2$$

La proportion globale est le produit des proportions intermédiaires.

§1.2 — Pourcentage de pourcentage

Exemple — Médecine : Clinique

Exemple — Clinique

Dans une clinique, $40\,\%$ des patients sont diabétiques ($p_2$). Parmi ces patients diabétiques, $p_1$ sont hospitalisés en urgence. On sait que $10\,\%$ de l'ensemble des patients sont des diabétiques hospitalisés en urgence ($p$).

Calculer $p_1$.

§1.2 — Pourcentage de pourcentage

✓ Correction — Médecine : Clinique

$$p = p_1 \times p_2 \Rightarrow 0{,}10 = p_1 \times 0{,}40$$

$$p_1 = \frac{0{,}10}{0{,}40} = \mathbf{25\,\%}$$

$25\,\%$ des patients diabétiques sont hospitalisés en urgence.

§1.2 — Pourcentage de pourcentage

Exemples variés

Exemples

Sport. 60% des membres nagent ; 30% des nageurs concourent.
Proportion de compétiteurs dans le club : $p = 0{,}30 \times 0{,}60 = \mathbf{18\,\%}$.
Commerce. 45% des articles sont féminins ; 20% d'entre eux sont en promo.
Part en promo : $p = 0{,}20 \times 0{,}45 = \mathbf{9\,\%}$.
Enseignement. Les terminales = 33% du lycée ; 75% sont en filière générale.
$q = 0{,}75 \times 0{,}33 \approx \mathbf{24{,}75\,\%}$ du lycée.

§1.2 — Pourcentage de pourcentage

Exercice

Exercice

Dans une ville :

$52\,\%$ des habitants sont des femmes.
Parmi les femmes, $38\,\%$ sont actives.
Parmi les femmes actives, $12\,\%$ travaillent à temps partiel.

Quelle proportion des habitants travaille à temps partiel et est une femme active ?

§1.2 — Pourcentage de pourcentage

✓ Correction — Exercice — ville

Chaîne : femmes actives à temps partiel $\subset$ femmes actives $\subset$ habitants.

$p_2$ = proportion de femmes actives parmi tous les habitants :

$$p_2 = 52\,\% \times 38\,\% = 0{,}52 \times 0{,}38 = 0{,}1976$$

$$p = p_1 \times p_2 = 0{,}12 \times 0{,}52 \times 0{,}38 \approx 0{,}0237 \approx \mathbf{2{,}37\,\%}$$

§2 — Évolution

§2.1 Les trois façons de mesurer une évolution

Définition

Soit une grandeur qui passe d'une valeur initiale $V_1$ à une valeur finale $V_2$.

La variation absolue (variation additive) est : $V_2 - V_1$
Le coefficient multiplicateur (variation multiplicative) est : $\text{CM} = \dfrac{V_2}{V_1}$
La variation relative ou taux d'évolution est : $t = \dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$

Lien CM et taux

$$\text{CM} = 1 + t \qquad \Leftrightarrow \qquad t = \text{CM} - 1$$

Si $t > 0$ (CM $> 1$) : augmentation.
Si $t < 0$ (CM $< 1$) : diminution.

§2.1 — Les trois mesures

Exemples

Exemple — Billet d'avion

Un billet d'avion passe de $320$ € à $368$ €.

Variation absolue : $368 - 320 = \mathbf{48}$ € (hausse de 48 euros).
Coefficient multiplicateur : $\text{CM} = \dfrac{368}{320} = \mathbf{1{,}15}$.
Taux d'évolution : $t = 1{,}15 - 1 = 0{,}15 = \mathbf{+15\,\%}$.

Exemples variés

Soldes. Un article vaut $80$ €, il est soldé à $60$ €.
$\text{CM} = \dfrac{60}{80} = 0{,}75$ ; $t = -0{,}25 = \mathbf{-25\,\%}$.
Démographie. La population d'une commune passe de $12\,400$ à $13\,764$ habitants.
$\text{CM} = \dfrac{13\,764}{12\,400} = 1{,}11$ ; $t = +11\,\%$.
Salaire. Un salaire mensuel de $1\,800$ € augmente de $3{,}5\,\%$.
$V_2 = 1\,800 \times 1{,}035 = 1\,863$ €.
Carburant. Le prix du litre de gazole passe de $1{,}85$ € à $1{,}72$ €.
$t = \dfrac{1{,}72 - 1{,}85}{1{,}85} \approx -0{,}0703 \approx \mathbf{-7{,}0\,\%}$.

§2.1 — Les trois mesures

Exercice — CM et taux d'évolution

Exercice

Si le coefficient multiplicateur est $\text{CM} = 1{,}15$, alors le taux d'évolution est $t = \ldots$
Si le coefficient multiplicateur est $\text{CM} = 0{,}92$, alors le taux d'évolution est $t = \ldots$
Si le taux d'évolution est $t = +12\,\%$, alors le coefficient multiplicateur est $\text{CM} = \ldots$
Si le taux d'évolution est $t = -5\,\%$, alors le coefficient multiplicateur est $\text{CM} = \ldots$

§2.1 — Les trois mesures

✓ Correction — Exercice — CM et taux

$\text{CM}=1{,}15 \Rightarrow t=1{,}15-1=\mathbf{+0{,}15=+15\,\%}$.
$\text{CM}=0{,}92 \Rightarrow t=0{,}92-1=\mathbf{-0{,}08=-8\,\%}$.
$t=+12\,\% \Rightarrow \text{CM}=1+0{,}12=\mathbf{1{,}12}$.
$t=-5\,\% \Rightarrow \text{CM}=1-0{,}05=\mathbf{0{,}95}$.

§2.2 — Évolutions successives

§2.2 Évolutions successives

Propriété — CM global

Si une grandeur subit deux évolutions successives de coefficients multiplicateurs $\text{CM}_1$ et $\text{CM}_2$, alors le coefficient multiplicateur global est :

$$\text{CM}_{\text{global}} = \text{CM}_1 \times \text{CM}_2$$

§2.2 — Évolutions successives

Exemple — Prix d'un téléphone

Exemple

Un téléphone coûte $500$ €. Son prix augmente de $10\,\%$, puis diminue de $10\,\%$.

$\text{CM}_1=1{,}10$ ; $\text{CM}_2=0{,}90$
$\text{CM}_{\text{global}}=1{,}10 \times 0{,}90=0{,}99$ ; $t_{\text{global}}=\mathbf{-1\,\%}$
Prix final : $500 \times 0{,}99=\mathbf{495}$ €.

Remarque : deux variations de même valeur absolue mais de signes opposés ne se compensent pas !

§2.2 — Évolutions successives

Exemples variés

Exemples

Actions boursières. Une action à $120$ € gagne $+15\,\%$ en janvier, puis perd $8\,\%$ en février.
$$\text{CM}_{\text{global}} = 1{,}15 \times 0{,}92 = 1{,}058 \quad \Rightarrow \quad t_{\text{global}} = +5{,}8\,\%$$Valeur finale : $120 \times 1{,}058 = \mathbf{126{,}96}$ €.
Loyer. Un loyer de $750$ € subit deux augmentations successives de $2\,\%$ puis $3\,\%$.
$$\text{CM}_{\text{global}} = 1{,}02 \times 1{,}03 = 1{,}0506 \quad \Rightarrow \quad t_{\text{global}} \approx +5{,}06\,\%$$Nouveau loyer : $750 \times 1{,}0506 = \mathbf{787{,}95}$ €.
Diète. Le poids d'une personne diminue de $5\,\%$ pendant un régime, puis augmente de $3\,\%$.
$$\text{CM}_{\text{global}} = 0{,}95 \times 1{,}03 = 0{,}9785 \quad \Rightarrow \quad t_{\text{global}} \approx -2{,}15\,\%$$

§2.2 — Évolutions successives

$n$ évolutions successives identiques

Remarque

Si une grandeur subit $n$ fois de suite la même évolution de coefficient $\text{CM}$ :

$$\text{CM}_{\text{global}} = \text{CM}^n$$

Placement financier

Capital de $1\,000$ € à $4\,\%$/an pendant $5$ ans.

$$V_5=1\,000 \times 1{,}04^5 \approx \mathbf{1\,216{,}7}~\text{€}$$

Dépréciation

Voiture achetée $18\,000$ €, perd $15\,\%$/an.

Après 3 ans : $18\,000 \times 0{,}85^3 \approx \mathbf{11\,054}$ €.

§2.3 — Évolution réciproque

§2.3 Évolution réciproque

Propriété

Pour annuler (ou inverser) une évolution de coefficient multiplicateur CM, il faut appliquer l'évolution de coefficient :

$$\text{CM}_{\text{réciproque}} = \frac{1}{\text{CM}}$$

Erreur classique !

Si un prix augmente de $t\,\%$, il ne suffit pas de le diminuer de $t\,\%$ pour revenir au prix initial !

$$\text{CM}_{\text{réci.}} = \frac{1}{1+t} \neq 1-t$$

§2.3 — Évolution réciproque

Exemples — Évolution réciproque

Exemples

Augmentation de $20\,\%$.
CM $=1{,}20$ ; réciproque $=\dfrac{1}{1{,}20}\approx 0{,}833$.
Taux réciproque $\approx -16{,}7\,\%$ (et non $-20\,\%$).
Soldes $-30\,\%$.
CM $=0{,}70$ ; réciproque $\approx 1{,}429$.
Pour retrouver le prix initial : $+42{,}9\,\%$.
Immobilier $-12\,\%$.
Réciproque $=\dfrac{1}{0{,}88}\approx 1{,}136$, soit $+13{,}6\,\%$.

§2.4 — Taux d'évolution global

§2.4 Taux d'évolution global

Propriété

Si $t_1$ et $t_2$ sont les taux de deux évolutions successives, le taux global $t$ vérifie :

$$1 + t = (1+t_1)(1+t_2) \quad \Rightarrow \quad t = t_1 + t_2 + t_1 \cdot t_2$$

Attention : $t \neq t_1 + t_2$ en général ($t_1 \cdot t_2$ n'est pas nul sauf cas particuliers).

Exemple — Boutique

Une boutique augmente ses prix de $8\,\%$ en janvier, puis encore de $5\,\%$ en mars.

$$t = t_1 + t_2 + t_1 t_2 = 0{,}08 + 0{,}05 + 0{,}08 \times 0{,}05 = 0{,}134 = \mathbf{+13{,}4\,\%}$$

(et non $13\,\%$ comme on pourrait le croire naïvement).

§2.4 — Taux d'évolution global

Exercice récapitulatif — Marché immobilier

Exercice récapitulatif

Prix d'un appartement sur 3 ans :

Année 1 : $+4\,\%$
Année 2 : $-3\,\%$
Année 3 : $+6\,\%$

$$\text{CM}_{\text{global}}=1{,}04\times0{,}97\times1{,}06\approx1{,}069$$

Taux global $\approx\mathbf{+6{,}9\,\%}$ sur 3 ans.

§2.5 — Tableau de synthèse

Tableau de synthèse — Évolutions

Situation	Coefficient multiplicateur	Taux d'évolution
Augmentation de $t\,\%$	$\text{CM}=1+\dfrac{t}{100}$	$t>0$
Diminution de $t\,\%$	$\text{CM}=1-\dfrac{t}{100}$	$t<0$
Évolutions successives	$\text{CM}_1\times\text{CM}_2$	$t_1+t_2+t_1 t_2$
Évolution réciproque	$\dfrac{1}{\text{CM}}$	$\dfrac{-t}{1+t}$
$n$ évolutions identiques	$\text{CM}^n$	$\text{CM}^n-1$

§4 — Exercices

Exercice 1 — Téléphone reconditionné

Exercice 1

Le prix d'un smartphone neuf est de $720$ €. Un site de reconditionnement le propose avec une réduction de $35\,\%$.

Calculer le coefficient multiplicateur correspondant à cette réduction.
Calculer le prix reconditionné.
Pour retrouver le prix neuf à partir du prix reconditionné, quel serait le taux d'augmentation nécessaire ?

§4 — Exercices

✓ Correction — Exercice 1 — Téléphone reconditionné

1) Réduction de $35\,\%$ : $\text{CM}=1-0{,}35=\mathbf{0{,}65}$.

2) Prix reconditionné : $720\times0{,}65=\mathbf{468}$ €.

3) CM réciproque $=\dfrac{1}{0{,}65}\approx1{,}538$ → taux $\approx\mathbf{+53{,}8\,\%}$.

§4 — Exercices

Exercice 2 — Chiffre d'affaires

Exercice 2

Le CA d'une PME : 2022→2023 : $+12\,\%$ ; 2023→2024 : $-7\,\%$.

Calculer le CM global sur 2022–2024.
Calculer le taux d'évolution global. Conclure.
Si le CA 2022 était de $450\,000$ €, quel est le CA 2024 ?

§4 — Exercices

✓ Correction — Exercice 2 — Chiffre d'affaires

1) $\text{CM}_{\text{global}}=1{,}12\times0{,}93=\mathbf{1{,}0416}$.

2) $t=1{,}0416-1\approx\mathbf{+4{,}16\,\%}$. Malgré la baisse de 2024, le CA a globalement augmenté.

3) CA 2024 $=450\,000\times1{,}0416=\mathbf{468\,720}$ €.

§4 — Exercices

Exercice 3 — Pourcentage de pourcentage

Exercice 3

Dans un hôpital :

$35\,\%$ des patients sont admis aux urgences.
Parmi eux, $28\,\%$ nécessitent une hospitalisation.
Parmi ces hospitalisés, $15\,\%$ sont opérés.

Quelle proportion des patients de l'hôpital est opérée après admission en urgence ?

§4 — Exercices

✓ Correction — Exercice 3 — Hôpital

$$p=0{,}35\times0{,}28\times0{,}15=0{,}0147\approx\mathbf{1{,}47\,\%}$$

§4 — Exercices

Exercice 4 — Investissement

Exercice 4

Un investissement immobilier de $200\,000$ € prend $3{,}5\,\%$ de valeur chaque année.

Valeur du bien après $10$ ans ?
Taux global d'évolution sur ces $10$ ans ?

§4 — Exercices

✓ Correction — Exercice 4 — Investissement

1) $V_{10}=200\,000\times1{,}035^{10}\approx200\,000\times1{,}4106\approx\mathbf{282\,119}$ €.

2) $t_{\text{global}}=1{,}035^{10}-1\approx0{,}4106\approx\mathbf{+41{,}1\,\%}$ sur 10 ans.

§3.1 — Application Python

§3.1 Proportion et pourcentage en Python

def proportion(n_A, n_B):
    return n_A / n_B

def pourcentage(n_A, n_B):
    return proportion(n_A, n_B) * 100

print(proportion(12, 30))
print(pourcentage(12, 30))
print(pourcentage(196, 700))

Questions

Quel est le résultat de print(proportion(12, 30)) ?
Quel est le résultat de print(pourcentage(12, 30)) ?
Compléter le tableau d'exécution pour proportion(12, 30) :

n_A n_B renvoie
Que renvoie pourcentage(196, 700) ? Interpréter.
Écrire une fonction effectif_total(n_A, p) qui renvoie l'effectif du tout. Vérifier avec effectif_total(196, 0.28).

§3.1 — Application Python

✓ Correction — §3.1 Proportion et pourcentage

proportion(12,30) = $12/30$ = 0.4
pourcentage(12,30) = $0{,}4 \times 100$ = 40.0
Tableau : n_A=12, n_B=30, renvoie = 0.4
pourcentage(196,700) = 28.0 → les terminales représentent 28% des élèves.
Fonction :

def effectif_total(n_A, p):
    return n_A / p

# Vérification :
print(effectif_total(196, 0.28))
# affiche 700.0 ✓

§3.2 — Application Python

§3.2 Coefficient multiplicateur et taux en Python

def coeff_mult(V1, V2):
    return V2 / V1

def taux(V1, V2):
    return coeff_mult(V1, V2) - 1

def valeur_finale(V1, t):
    return V1 * (1 + t)

print(coeff_mult(320, 368))
print(taux(320, 368))
print(valeur_finale(1800, 0.035))

Questions

Résultat de print(coeff_mult(320, 368)) ?
Résultat de print(taux(320, 368)) ?
Compléter le tableau pour valeur_finale(1800, 0.035) :

V1 t 1+t renvoie
Interpréter valeur_finale(1800, 0.035) en termes de salaire.
Que renvoie taux(80, 60) ? Interpréter le signe.

§3.2 — Application Python

✓ Correction — §3.2 CM et taux

coeff_mult(320,368) = $368/320$ = 1.15
taux(320,368) = $1{,}15-1$ = 0.15 (soit $+15\,\%$)
Tableau : V1=1800, t=0.035, 1+t=1.035, renvoie = 1863.0
valeur_finale(1800, 0.035) = $1\,800 \times 1{,}035 = \mathbf{1\,863}$ € → salaire après augmentation de $3{,}5\,\%$.
taux(80,60) = $60/80-1=-0{,}25$ → résultat négatif : il s'agit d'une diminution de $25\,\%$ (soldes).

§3.3 — Application Python

§3.3 Évolutions successives en Python

def cm_global(liste_taux):
    cm = 1
    for t in liste_taux:
        cm = cm * (1 + t)
    return cm

print(cm_global([0.10, -0.10]))
print(cm_global([0.08, 0.05]))
print(cm_global([0.04, -0.03, 0.06]))

Questions

Résultat de cm_global([0.10,-0.10]) ? Est-il surprenant ?
Compléter le tableau pour cm_global([0.08, 0.05]) :

tour t cm (après)

1

2
En déduire le taux global. Vérifier : $t=t_1+t_2+t_1 t_2$.
Que renvoie cm_global([0.04,-0.03,0.06]) ? Taux global ?
Modifier cm_global pour qu'elle renvoie le tuple (cm, t).

§3.3 — Application Python

✓ Correction — §3.3 Évolutions successives

cm_global([0.10,-0.10]) = $1 \times 1{,}10 \times 0{,}90 = \mathbf{0{,}99}$. Oui : $+10\,\%$ puis $-10\,\%$ donne $-1\,\%$, pas $0$ !
Tableau : tour 1 : $t=0{,}08$, cm $= 1{,}08$ ; tour 2 : $t=0{,}05$, cm $= 1{,}08\times1{,}05=\mathbf{1{,}134}$.
$t_{\text{global}}=1{,}134-1=\mathbf{+13{,}4\,\%}$. Vérif. : $0{,}08+0{,}05+0{,}08\times0{,}05=0{,}134$ ✓
cm_global([0.04,-0.03,0.06]) $\approx\mathbf{1{,}069}$, soit $t\approx+6{,}9\,\%$.

5) Fonction modifiée :

def cm_global(liste_taux):
    cm = 1
    for t in liste_taux:
        cm = cm * (1 + t)
    t_global = cm - 1
    return (cm, t_global)

# Exemple :
print(cm_global([0.08, 0.05]))
# affiche (1.134, 0.134) ✓