Classe de Seconde — Mathématiques
Statistiques
Médiane · Quartiles · Histogramme · Polygone des FCC
Statistiques

Plan du chapitre

1Rappels — Médiane, quartiles, étendue, boîte à moustaches
2Regroupement par classes — tableau de fréquences et FCC
3Histogramme — représentation, densité de fréquence
4Polygone des fréquences cumulées — lecture graphique
5Détermination de la médiane dans une série groupée
6Comparaison de séries statistiques
7Application Python
Rappels — Indicateurs

Médiane et quartiles

Définition — Médiane

La médiane $Me$ partage la série ordonnée en deux groupes d'effectifs égaux.

  • $n$ impair : valeur de rang $\dfrac{n+1}{2}$
  • $n$ pair : moyenne des valeurs de rang $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2}+1$
Définition — Quartiles
  • Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série supérieure ou égale à au moins $25\,\%$ des valeurs de la série.
  • Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur de la série supérieure ou égale à au moins $75\,\%$ des valeurs de la série.
  • Intervalle interquartile $[Q_1\,;\,Q_3]$ : contient $50\,\%$ de l'effectif total.
  • L'écart interquartile $Q_3-Q_1$ mesure la dispersion des $50\,\%$ centraux.
Définition — Étendue

$e = x_{\max} - x_{\min}$

Rappels — Indicateurs

Exercice — Notes de classe

Exercice

Notes (sur 20) de $15$ élèves, triées par ordre croissant :

$4\ \ 6\ \ 7\ \ 8\ \ 9\ \ 10\ \ 11\ \ \mathbf{12}\ \ 13\ \ 13\ \ 14\ \ 15\ \ 16\ \ 17\ \ 19$

  1. Calculer l'étendue.
  2. Déterminer $Me$, $Q_1$ et $Q_3$.
  3. Calculer l'écart interquartile et interpréter.
Rappels — Indicateurs

Notes de classe — Correction ✓

✓ Correction

1) $e=19-4=15$ points.

2) $n=15$ impair → $Me$ est donc la huitième valeur donc $Me\mathbf{12}$.

Place de $Q_1$ :
$15\times\frac{25}{100}=3,75$→4 donc $Q_1$ est la quatrième valeur donc $Q_1=\mathbf{8}$.

Place de $Q_3$ :
$15\times\frac{75}{100}=11,25$→12 donc est la douzième valeur donc $Q_1=\mathbf{15}$.

3) Écart interquartile $= 15-8=7$ points. Les $50\,\%$ du milieu de la classe ont des notes comprises entre $8$ et $15$.

Rappels — Indicateurs

Boîte à moustaches

Définition

La boîte à moustaches représente :

  • Min et max (moustaches)
  • $Q_1$ et $Q_3$ (bords de la boîte)
  • $Me$ (trait rouge à l'intérieur)
Rappels — Indicateurs

Exercice — Comparaison de deux classes

Exercice

Deux classes ont passé le même contrôle de maths.

  1. Lire $Me$, $Q_1$, $Q_3$, min, max pour chaque classe.
  2. Calculer l'écart interquartile. Quelle classe est la plus homogène ?
  3. Laquelle a les meilleures performances ? Justifier.
Rappels — Indicateurs

Comparaison de classes — Correction ✓

✓ Correction

1) Classe A : min=4, $Q_1$=9, $Me$=12, $Q_3$=15, max=19.

Classe B : min=2, $Q_1$=7, $Me$=11, $Q_3$=14, max=18.

2) Écart IQ de A : $15-9=6$. Écart IQ de B : $14-7=7$. La classe A est légèrement plus homogène.

3) La classe A a une médiane plus élevée ($12 > 11$) et des quartiles plus élevés → meilleures performances globales.

Regroupement par classes

Tableau de fréquences — Classes

Définition

Quand les données sont nombreuses ou continues (taille, durée, masse\ldots), on regroupe les valeurs en classes $[a_i\,;\,a_{i+1}[$ d'amplitude $h = a_{i+1} - a_i$ (constante).

Pour chaque classe, on calcule :

  • L'effectif $n_i$ : nombre de valeurs dans la classe.
  • La Fréquence $f_i=\dfrac{n_i}{N}\times100\,\%$ où $N$ est l'effectif total.
  • La Fréquence cumulée croissante (FCC) : somme des fréquences des classes jusqu'à celle-ci incluse. La dernière classe a toujours une FCC de $100\,\%$.
Regroupement par classes

Exercice — Tailles d'élèves

Exercice

On mesure la taille (en cm) de $80$ élèves de seconde. Voici le tableau de répartition :

Classe (cm)Effectif $n_i$Fréquence $f_i$FCC
$[150\,;\,160[$$8$$10\,\%$$10\,\%$
$[160\,;\,165[$$16$$20\,\%$$30\,\%$
$[165\,;\,170[$$32$$40\,\%$$70\,\%$
$[170\,;\,175[$$12$$15\,\%$$85\,\%$
$[175\,;\,185[$$12$$15\,\%$$100\,\%$
Total$80$$100\,\%$
  1. Vérifier les fréquences et les FCC.
  2. Quelle classe contient le plus d'élèves ? Comment s'appelle-t-elle ?
Histogramme

Histogramme

Définition
L’histogramme est un graphique représentant une série regroupée par classes.
  • Chaque classe est représentée par un rectangle.
  • La largeur est égale à l'amplitude de la classe.
  • La hauteur est la densité de fréquence : $\text{densité}_i = \dfrac{f_i}{h_i}$ (%/unité)      (fréquence de la classe divisée par son amplitude).

Dans le cas de classes de même amplitude, les densités sont toutes proportionnelles aux effectifs, donc la hauteur est directement proportionnelle à l’effectif. Mais dans tous les cas :

C'est l'aire du rectangle qui est proportionnelle à l'effectif, et non la hauteur.

aire $=$ largeur $\times$ hauteur $= h_i \times \dfrac{f_i}{h_i} = f_i$

Remarque

Si toutes les classes ont la même amplitude, la hauteur est directement proportionnelle à l'effectif. Sinon, il faut obligatoirement calculer les densités.

Histogramme

Exemple — Histogramme des tailles

Classe$f_i$$h_i$Densité
$[150;160[$$10\,\%$$10$$1$
$[160;165[$$20\,\%$$5$$4$
$[165;170[$$40\,\%$$5$$8$
$[170;175[$$15\,\%$$5$$3$
$[175;185[$$15\,\%$$10$$1{,}5$

Vérif : $[165;170[$ : aire $= 5\times8=40\,\%$ ✓

Histogramme

Exercice — Durée de films

À faire

On relève la durée en minutes de $60$ films. Compléter le tableau, calculer les densités et tracer l'histogramme.

Classe (min)Eff.Fréq.$h_i$Densité
$[80\,;\,90[$$6$………
$[90\,;\,100[$$12$………
$[100\,;\,110[$$18$………
$[110\,;\,120[$$12$………
$[120\,;\,140[$$12$………
Histogramme

Durée de films — Correction ✓

✓ Correction
ClasseEff.Fréq.$h_i$Densité
$[80;90[$$6$$10\,\%$$10$$1$
$[90;100[$$12$$20\,\%$$10$$2$
$[100;110[$$18$$30\,\%$$10$$3$
$[110;120[$$12$$20\,\%$$10$$2$
$[120;140[$$12$$20\,\%$$20$$1$

Vérif : $[100;110[$ : aire $= 10\times3=30\,\%$ ✓

Polygone des FCC

Polygone des fréquences cumulées croissantes

Définition

Le polygone des fréquences cumulées croissantes est une ligne brisée où :

  • En abscisses : les bornes supérieures de chaque classe.
  • En ordonnées : les fréquences cumulées croissantes (FCC) correspondantes.
  • On ajoute le point de départ : $(a_0,\, 0\,\%)$ (borne inférieure de la première classe).
Propriété — Lecture graphique

Sur le polygone des fréquences cumulées :

  • La médiane $Me$ correspond à la FCC égale à $50\,\%$ ————
  • Le quartile $Q_1$ correspond à la FCC égale à $25\,\%$ ————
  • Le quartile $Q_3$ correspond à la FCC égale à $75\,\%$ ————

On trace une horizontale depuis l'ordonnée voulue et on lit l'abscisse correspondante.

Polygone des FCC

Exercice — Construire le polygone des FCC

Exercice — temps de trajet de $50$ automobilistes
Classe (min)Eff.Fréq.FCC
$[20\,;\,25[$$5$$10\,\%$$10\,\%$
$[25\,;\,30[$$12$$24\,\%$$34\,\%$
$[30\,;\,35[$$18$$36\,\%$$70\,\%$
$[35\,;\,40[$$10$$20\,\%$$90\,\%$
$[40\,;\,45[$$5$$10\,\%$$100\,\%$
  1. Placer les points et tracer le polygone.
  2. Lire $Me$, $Q_1$, $Q_3$ graphiquement.
  3. Calculer et interpréter l'écart interquartile.
Polygone des FCC

Polygone des FCC — Automobilistes ✓

✓ Lecture graphique

Points à placer : $(20,0)$, $(25,10\,\%)$, $(30,34\,\%)$, $(35,70\,\%)$, $(40,90\,\%)$, $(45,100\,\%)$.

Lecture graphique (FCC = $50\,\%$) → $Me \approx 32{,}2$ min

Lecture graphique (FCC = $25\,\%$) → $Q_1 \approx 28{,}1$ min

Lecture graphique (FCC = $75\,\%$) → $Q_3 \approx 36{,}3$ min

Écart interquartile $\approx 36{,}3 - 28{,}1 = 8{,}2$ min

Polygone des FCC

Exercice — Polygone des FCC (tailles)

Exercice — $80$ personnes

On mesure la taille (en cm) de $80$ personnes. Le tableau de répartition est donné ci-dessous.

Classe (cm)Eff.Fréq.FCC
$[150\,;\,160[$$8$$10\,\%$$10\,\%$
$[160\,;\,165[$$16$$20\,\%$$30\,\%$
$[165\,;\,170[$$32$$40\,\%$$70\,\%$
$[170\,;\,175[$$12$$15\,\%$$85\,\%$
$[175\,;\,185[$$12$$15\,\%$$100\,\%$
  1. Donner les coordonnées des $6$ points du polygone.
  2. Tracer le polygone des FCC sur la grille.
  3. Lire graphiquement $Me$, $Q_1$ et $Q_3$.
  4. En déduire l'écart interquartile et l'interpréter.
Polygone des FCC

Polygone des FCC — Tailles ✓

✓ Lecture graphique

Points à placer : $(150,0)$, $(160,10\%)$, $(165,30\%)$, $(170,60\%)$, $(175,85\%)$, $(185,100\%)$.

Lecture graphique (FCC = $50\,\%$) → $Me \approx 167{,}5$ cm

Lecture graphique (FCC = $25\,\%$) → $Q_1 \approx 163{,}8$ cm

Lecture graphique (FCC = $75\,\%$) → $Q_3 \approx 171{,}7$ cm

Écart interquartile $\approx 171{,}7 - 163{,}8 \approx 7{,}9$ cm

Médiane dans une série groupée

Classe médiane

Définition

La classe médiane est la première classe qui contient la médiane, c’est-à-dire la première classe dont la fréquence cumulée croissante (FCC) atteint ou dépasse $50\,\%$ (ou dont l'effectif cumulé atteint ou dépasse $\dfrac{N}{2}$).

Méthode
  1. Calculer les effectifs (ou fréquences) cumulés.
  2. Repérer la première classe dont la FCC est $\geq 50\,\%$.
  3. Cette classe est la classe médiane.

Exemple (tailles) : FCC = $10\,\%$ ; $30\,\%$ ; $\mathbf{70\,\%}$ ; … → classe médiane = $[165\,;\,170[$.

Médiane dans une série groupée

Estimation de la médiane

Propriété

Dans la classe médiane $[a\,;\,b[$, on suppose les valeurs uniformément réparties.

Il manque $m = \dfrac{N}{2} - N_{\lt a}$ valeurs pour atteindre la moitié.

$$Me \approx a + \dfrac{m}{n_{\text{méd}}} \times (b-a)$$

où $N_{\lt a}$ = effectif cumulé avant la classe et $n_{\text{méd}}$ = effectif de la classe.

Médiane dans une série groupée

Estimation de la médiane — Tailles ✓

✓ Correction

Classe médiane : $[165\,;\,170[$, amplitude $5$ cm, effectif $n_{\text{méd}}=32$.

Étape 1 — Avant la classe : $N_{\lt165}=8+16=24$ élèves.

Étape 2 — Il faut atteindre $\dfrac{N}{2}=40$. Il manque $m=40-24=16$ valeurs dans la classe.

Étape 3 — $Me=165+\dfrac{16}{32}\times5=165+2{,}5=\mathbf{167{,}5}$ cm.

La moitié des élèves mesure moins de $167{,}5$ cm.

Médiane dans une série groupée

Estimation de la médiane — Méthode graphique

Méthode — Égalité des coefficients directeurs

Sur le polygone des FCC, le segment de la classe médiane relie les points :

$A(a,\; \text{FCC}_{\lt a})$   et   $B(b,\; \text{FCC}_{\lt b})$

Le point $M(Me,\; 50\,\%)$ est sur ce segment.

Les coefficients directeurs de $(AM)$ et $(AB)$ sont égaux:

$$\frac{50\,\% - \text{FCC}_{\lt a}}{Me - a} = \frac{\text{FCC}_{\lt b} - \text{FCC}_{\lt a}}{b - a}$$

On en déduit :

$$Me = a + \frac{50\,\% - \text{FCC}_{\lt a}}{\text{FCC}_{\lt b} - \text{FCC}_{\lt a}} \times (b-a)$$

Exemple (tailles) : classe médiane $[165\,;\,170[$

$A=(165,\,30\,\%)$, $B=(170,\,70\,\%)$, cible $50\,\%$

$Me = 165 + \dfrac{50-30}{70-30}\times5 = 165 + \dfrac{20}{40}\times5 = \mathbf{167{,}5}$

Médiane dans une série groupée

Exercice — Temps de transport domicile-lycée

Exercice

Temps de transport (min) de $60$ élèves :

Classe (min)EffectifFréquenceFCC
$[0\,;\,10[$$6$$10\,\%$$10\,\%$
$[10\,;\,20[$$15$$25\,\%$$35\,\%$
$[20\,;\,30[$$20$$33\,\%$$68\,\%$
$[30\,;\,40[$$12$$20\,\%$$88\,\%$
$[40\,;\,60[$$7$$12\,\%$$100\,\%$
  1. Déterminer la classe médiane.
  2. Estimer la médiane (répartition uniforme).
  3. Interpréter dans le contexte.
Médiane dans une série groupée

Temps de transport — Correction ✓

✓ Correction

1) FCC : $10\,\%$ ; $35\,\%$ ; $\mathbf{68\,\%}$ → première FCC $\geq50\,\%$ → classe médiane $= [20\,;\,30[$.

2) $N_{\lt 20}=6+15=21$. Il manque $m=30-21=9$ valeurs. $n_{\text{méd}}=20$.

$Me\approx20+\dfrac{9}{20}\times10=20+4{,}5=\mathbf{24{,}5}$ min.

3) La moitié des élèves met moins de $24{,}5$ minutes (24 minutes et 30 secondes) pour venir au lycée.

Comparaison de séries

Comparer deux séries statistiques

Rappel — Moyenne et écart type
  • La moyenne $\bar{x}$ est la valeur centrale de la série qui minimise la somme des carrés des écarts..
  • L'écart type $\sigma$ mesure la dispersion autour de la moyenne : plus $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont étalées.
Deux approches complémentaires
Position (valeur centrale)Dispersion (étalement)
Couple 1Moyenne $\bar{x}$Écart type $\sigma$
Couple 2Médiane $Me$Écart interquartile $Q_3-Q_1$
Remarque importante
  • Couple moyenne / écart type : sensible aux valeurs extrêmes (aberrantes).
  • Couple médiane / écart interquartile : plus robuste, recommandé en présence de valeurs aberrantes.
Comparaison de séries

Exercice — Équipes de basket

Exercice

Scores obtenus par deux équipes sur $10$ matchs :

Équipe A$58$$62$$64$$65$$67$$68$$70$$72$$74$$80$
Équipe B$42$$55$$63$$66$$67$$68$$70$$74$$78$$97$
  1. Calculer $Me$, $Q_1$, $Q_3$ de chaque équipe.
  2. Calculer la moyenne de chaque équipe.
  3. On donne : $\sigma_A\approx5{,}9$ et $\sigma_B\approx14{,}4$.
  4. Comparer les deux équipes avec le couple médiane / écart interquartile.
  5. Comparer avec le couple moyenne / écart type. Laquelle est la plus représentative ici ?
Comparaison de séries

Équipes de basket — Correction ✓

✓ Correction

1) A : $Me=67{,}5$, $Q_1=64$, $Q_3=72$.   B : $Me=67{,}5$, $Q_1=63$, $Q_3=74$.

2) $\bar{x}_A=68$ pts.   $\bar{x}_B=68$ pts. Les moyennes sont égales !

4) Mêmes médianes ($67{,}5$). Écart IQ A $= 72-64=8$, B $= 74-63=11$ → A plus homogène.

5) Mêmes moyennes, mais $\sigma_B\approx14{,}4\gg\sigma_A\approx5{,}9$. L'écart type de B est gonflé par le score extrême $97$. Le couple médiane/écart IQ est plus représentatif.

Comparaison de séries

Exercice — Revenus dans deux villes

Exercice

Revenus mensuels (€) de $8$ familles dans deux villes :

Ville A : $1\,200$ — $1\,400$ — $1\,500$ — $1\,600$ — $1\,700$ — $1\,800$ — $1\,900$ — $2\,000$

Ville B : $900$ — $1\,100$ — $1\,300$ — $1\,500$ — $1\,700$ — $1\,800$ — $1\,900$ — $8\,200$

  1. Calculer la médiane de chaque ville.
  2. Calculer la moyenne de chaque ville.
  3. Laquelle des deux mesures représente mieux le revenu « typique » ? Justifier.
  4. Tracer les deux boîtes à moustaches. Conclure.
Comparaison de séries

Revenus dans deux villes — Correction ✓

✓ Correction

1) $n=8$ pair → $Me$ = moy. des rangs 4 et 5.

Ville A : $Me=\frac{1\,600+1\,700}{2}=\mathbf{1\,650}$ €.   Ville B : $Me=\frac{1\,500+1\,700}{2}=\mathbf{1\,600}$ €.

2) $\bar{x}_A=\mathbf{1\,637{,}5}$ €.   $\bar{x}_B=\frac{900+\ldots+8\,200}{8}=\mathbf{2\,175}$ €.

3) La moyenne de la ville B est gonflée par la valeur aberrante $8\,200$ €. La médiane ($1\,600$ €) représente bien mieux le revenu typique.

Comparaison de séries

Exercice — Boîtes à moustaches comparées

Exercice

Résultats de deux groupes à un même test :

  1. Lire $Me$, $Q_1$, $Q_3$, min, max pour chaque groupe.
  2. Calculer et comparer les écarts interquartiles. Quel groupe est le plus homogène ?
  3. Comparer les médianes. Quel groupe a de meilleures performances ?
  4. Rédiger un court paragraphe comparatif.
Comparaison de séries

Boîtes à moustaches — Correction ✓

✓ Correction

1) Matin : min=5, $Q_1$=10, $Me$=13, $Q_3$=16, max=20.

Après-midi : min=3, $Q_1$=7, $Me$=11, $Q_3$=14, max=18.

2) Écart IQ Matin $=16-10=6$. Écart IQ Après-midi $=14-7=7$. Le groupe Matin est légèrement plus homogène.

3) $Me_{\text{Matin}}=13>Me_{\text{Après-midi}}=11$ → le groupe Matin a de meilleures performances globales.

4) Le groupe Matin obtient de meilleures notes ($Me=13$ contre $11$) avec une dispersion comparable. Les deux groupes présentent une variabilité similaire (écarts IQ de $6$ et $7$).

Application Python

Script Python — Indicateurs statistiques

import math

def indicateurs(serie):
    s = [''] + sorted(serie)  # rang 1 = s[1]
    n = len(s) - 1

    # Mediane
    if n % 2 == 1:            # n impair
        Me = s[(n + 1) // 2]
    else:                     # n pair
        Me = (s[n // 2] + s[(n + 2) // 2]) / 2

    # Q1 et Q3 (arrondi au superieur)
    place_Q1 = math.ceil(n * 25 / 100)
    place_Q3 = math.ceil(n * 75 / 100)
    Q1 = s[place_Q1]
    Q3 = s[place_Q3]

    return Me, Q1, Q3

notes = [12, 8, 15, 9, 14, 11, 17, 6, 13, 10]
Me, Q1, Q3 = indicateurs(notes)
print("Mediane :", Me)
print("Q1 :", Q1, "   Q3 :", Q3)
print("Ecart interquartile :", Q3 - Q1)
Questions
  1. Écrire la liste s après [''] + sorted(notes).
  2. $n$ est-il pair ou impair ? Quelle formule pour $Me$ ? Vérifier.
  3. Calculer place_Q1 et place_Q3, puis $Q_1$ et $Q_3$.
  4. Compléter le tableau d'exécution :
    n n%2==1? place_Q1 place_Q3 Me Q1 Q3
  5. Écrire une fonction etendue(serie) renvoyant $x_{\max}-x_{\min}$.
Application Python

Script Python — Correction ✓

✓ Correction

1) s = ['', 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17] ($n=10$ valeurs, rang 1 = indice 1).

2) $n=10$ pair → Me = (s[5] + s[6]) / 2 = (11+12)/2 = 11,5.

3) place_Q1 = ceil(10×25/100) = 3 → $Q_1=$ s[3] = 9.

place_Q3 = ceil(10×75/100) = 8 → $Q_3=$ s[8] = 14. Écart IQ $= 5$.

n n%2==1? pl_Q1 pl_Q3 Me Q1 Q3
10 False 3 8 11,5 9 14 
# Question 5 : etendue
def etendue(serie):
    return max(serie) - min(serie)

print(etendue(notes))  # → 11