Se donner un repère du plan, c'est choisir un point $O$ appelé origine et deux vecteurs $\vect{i}$ et $\vect{j}$ non colinéaires appelés vecteurs de base. On note ce repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$.
Lorsque $\vect{i}$ et $\vect{j}$ sont orthogonaux (perpendiculaires) et de norme 1 (longueur 1 unité), on dit que le repère est orthonormé.
Dans un repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, tout point $M$ du plan est défini de manière unique par un couple de réels $(x_M\,;\,y_M)$ appelés coordonnées de $M$ :
$\overrightarrow{OM}=x_M\times\vect{i}+y_M\times\vect{j}$
$x_M$ est l'abscisse et $y_M$ est l'ordonnée de $M$.
Dans la vie réelle, les coordonnées GPS d'un lieu sont exactement cela : deux nombres (latitude et longitude) qui permettent de localiser n'importe quel endroit sur Terre de façon unique. Un repère à l'échelle de la planète !
Dans un repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, si $\vect{u}=a\times\vect{i}+b\times\vect{j}$, on dit que $a$ et $b$ sont les coordonnées du vecteur $\vect{u}$, et on note :
$\vect{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$
$a$ est l'abscisse et $b$ est l'ordonnée du vecteur $\vect{u}$.
Dans un repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, si $\vect{u}=a\times\vect{i}+b\times\vect{j}$, on dit que $a$ et $b$ sont les coordonnées du vecteur $\vect{u}$, et on note :
$\vect{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$
$a$ est l'abscisse et $b$ est l'ordonnée du vecteur $\vect{u}$.
Sur ce graphique on a $\vect{u}=3\times\vect{i}+2\times\vect{j}$ donc on notera $\vect{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$
Dans un repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, alors :
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$
Démonstration : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$, donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$.
Dans un repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, on considère les points $A(1\,;\,3)$, $B(4\,;\,-1)$ et $C(-2\,;\,5)$.
Données : $A(1\,;\,3)$, $B(4\,;\,-1)$, $C(-2\,;\,5)$.
1) On applique la formule $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ :
Données : $A(1\,;\,3)$, $B(4\,;\,-1)$, $C(-2\,;\,5)$.
2) On constate que $\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}=-1\times\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$.Autrement dit : $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ont la même norme et la même direction, mais des sens opposés. C'est toujours vrai pour deux points quelconques.
Dans un jeu vidéo en 2D, un personnage se trouve en $A(120\,;\,80)$ (en pixels). Une cible est en $B(350\,;\,200)$.
(Les développeurs de jeux vidéo utilisent exactement ce calcul pour les déplacements et les trajectoires !)
Données : personnage en $A(120\,;\,80)$, cible en $B(350\,;\,200)$ (en pixels).
1) Coordonnées du vecteur déplacement $\overrightarrow{AB}$ :
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}350-120\\200-80\end{pmatrix}\iff \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}230\\120\end{pmatrix}$
Le personnage doit se déplacer de 230 pixels vers la droite et de 120 pixels vers le haut.
2) La moitié du chemin correspond au vecteur $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}115\\60\end{pmatrix}$.
Les nouvelles coordonnées du personnage sont :
$M\!\left(120+115\,;\;80+60\right)=M\!\left(235\,;\,140\right)$
On a bien $M$ qui est le milieu du segment $[AB]$ : $\left(\dfrac{120+350}{2}\,;\,\dfrac{80+200}{2}\right)=(235\,;\,140)$ ✓
Dans un repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, si $\vect{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ et $\vect{v}\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}$, alors :
$\vect{u}+\vect{v}\begin{pmatrix}a+a'\\b+b'\end{pmatrix}$
Dans un repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, si $\vect{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ et $\vect{v}\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}$, alors :
$\vect{u}-\vect{v}\begin{pmatrix}a-a'\\b-b'\end{pmatrix}$
Soustraire $\vect{v}$, c'est ajouter $-\vect{v}$ : on part de l'extrémité de $\vect{u}$ et on applique $-\vect{v}$ (en pointillés sur la figure).
Dans un repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, on donne $\vect{u}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{v}\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}$.
Calculer les coordonnées de $\vect{u}+\vect{v}$ et de $\vect{u}-\vect{v}$.
Données : $\vect{u}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{v}\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}$.
Calcul de $\vect{u}+\vect{v}$ : on additionne les coordonnées terme à terme :
$\vect{u}+\vect{v}\begin{pmatrix}3+(-2)\\-1+4\end{pmatrix}\iff \vect{u}+\vect{v}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$
Calcul de $\vect{u}-\vect{v}$ : on soustrait les coordonnées terme à terme :
$\vect{u}-\vect{v}\begin{pmatrix}3-(-2)\\-1-4\end{pmatrix}\iff \vect{u}-\vect{v}\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}$
Rappel : soustraire $\vect{v}$, c'est ajouter $-\vect{v}\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}$. On retrouve bien $\begin{pmatrix}3+2\\-1-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}$ ✓
Un bateau navigue avec une vitesse propre représentée par le vecteur $\vect{v_b}\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}$ (en nœuds, vers l'est). Un courant marin agit sur lui avec le vecteur $\vect{v_c}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ (courant venant du sud-est).
Données : $\vect{v_b}\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}$ (vitesse propre, vers l'est) et $\vect{v_c}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ (courant marin).
1) Vecteur vitesse résultant $\vect{v}=\vect{v_b}+\vect{v_c}$ :
$\vect{v}\begin{pmatrix}10+(-2)\\0+3\end{pmatrix}\iff \vect{v}\begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}$
Le bateau avance réellement à 8 nœuds vers l'est et 3 nœuds vers le nord.
2) L'abscisse du vecteur résultant vaut $8 > 0$ : le bateau avance encore vers l'est.
L'ordonnée vaut $3 > 0$ : le courant le fait dévier vers le nord.
Sans correction de cap, le bateau n'atteindra pas sa destination initiale : il sera décalé vers le nord. Un navigateur devra compenser en orientant sa proue légèrement vers le sud pour que la vitesse résultante pointe exactement à l'est.
Dans un repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, si $\vect{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $k$ est un réel, alors :
$k\times\vect{u}\begin{pmatrix}k\times x\\k\times y\end{pmatrix}$
Multiplier par $k$ revient à allonger (si $|k|>1$) ou raccourcir (si $|k|<1$) le vecteur, et à en inverser le sens si $k<0$.
Dans un repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, on donne $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$.
1) On applique $k\times\vect{u}\begin{pmatrix}k\times x\\k\times y\end{pmatrix}$ avec $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ :
$3\vect{u}\begin{pmatrix}3\times 2\\3\times(-3)\end{pmatrix}\iff 3\vect{u}\begin{pmatrix}6\\-9\end{pmatrix}$
$-2\vect{u}\begin{pmatrix}-2\times 2\\-2\times(-3)\end{pmatrix}\iff -2\vect{u}\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2}\vect{u}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}\times(-3)\end{pmatrix}\iff \dfrac{1}{2}\vect{u}\begin{pmatrix}1\\-\frac{3}{2}\end{pmatrix}$
2) On cherche $k\in\mathbb{R}$ tel que $\vect{v}=k\times\vect{u}$, c'est-à-dire :
$k\times\vect{u}\begin{pmatrix}2k\\-3k\end{pmatrix}\iff \vect{v}\begin{pmatrix}-6\\9\end{pmatrix}$
On identifie les coordonnées :
$2k=-6 \iff k=-3$
Vérification : $-3\times(-3)=9$ ✓
Donc $\vect{v}=-3\times\vect{u}$.
$\vect{v}$ et $\vect{u}$ sont colinéaires : même direction, sens opposé, longueur triple.
Dans un repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, on donne $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$, $\vect{v}\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{w}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$.
1) On calcule coordonnée par coordonnée :
$2\vect{u}\begin{pmatrix}2\times1\\2\times3\end{pmatrix}\iff 2\vect{u}\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}$
$-3\vect{v}\begin{pmatrix}-3\times(-2)\\-3\times1\end{pmatrix}\iff -3\vect{v}\begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}$
Donc :
$2\vect{u}-3\vect{v}+\vect{w}\begin{pmatrix}2+6+5\\6-3-1\end{pmatrix}\iff 2\vect{u}-3\vect{v}+\vect{w}\begin{pmatrix}13\\2\end{pmatrix}$
2) $\alpha\vect{u}+\beta\vect{v}=\vect{w}$ se traduit par le système :
$\alpha\vect{u}+\beta\vect{v}\begin{pmatrix}\alpha-2\beta\\3\alpha+\beta\end{pmatrix} = \vect{w}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$
On résout :
$\alpha - 2\beta = 5$
$3\alpha + \beta = -1 \iff \beta = -1-3\alpha$
Par substitution :
$\alpha - 2(-1-3\alpha)=5 \iff 7\alpha=3 \iff \alpha=\dfrac{3}{7}$
$\beta = -1-\dfrac{9}{7} \iff \beta=-\dfrac{16}{7}$
Dans un repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, on considère $\vect{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vect{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$.
$\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont colinéaires si et seulement si :
$x\times y'-x'\times y=0$
Le réel $x\times y'-x'\times y$ s'appelle le déterminant du couple $(\vect{u},\vect{v})$.
On multiplie « en croix » et on soustrait :
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} \longrightarrow x\times y' - x'\times y$
résultat nul : colinéaires · résultat non nul : non colinéaires.
Sens direct ($\Rightarrow$) : On suppose $\vect{v}=k\vect{u}$, donc $x'=kx$ et $y'=ky$.
$x\times y'-x'\times y = x(ky)-(kx)y = kxy-kxy=0$ ✓
Réciproque ($\Leftarrow$) : On suppose $x\times y'-x'\times y=0$ et $\vect{u}\neq\vect{0}$.
Dans tous les cas $\vect{v}=k\vect{u}$ : les vecteurs sont colinéaires. ✓
Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
On vérifie le parallélisme en calculant le déterminant de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ :
$(AB) \parallel (CD) \iff x_{\overrightarrow{AB}}\times y_{\overrightarrow{CD}} - x_{\overrightarrow{CD}}\times y_{\overrightarrow{AB}} = 0$
Dans un repère $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, on considère les points $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,5)$, $C(-1\,;\,0)$ et $D(5\,;\,9)$.
1) On applique $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ :
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-1\\5-2\end{pmatrix}\iff\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}5-(-1)\\9-0\end{pmatrix}\iff\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}$
2) On calcule le déterminant de $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$ :
$x_{\overrightarrow{AB}}\times y_{\overrightarrow{CD}}-x_{\overrightarrow{CD}}\times y_{\overrightarrow{AB}}= 3\times 9-6\times 3 = 27-18 = 9$
Le déterminant est non nul : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires.
3) Puisque $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires, les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.
Elles sont donc sécantes : elles se coupent en un point que l'on pourrait déterminer en résolvant le système des deux équations de droites.
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Les points $A(-2\,;\,1)$, $B(1\,;\,3)$ et $C(7\,;\,7)$ sont-ils alignés ?
1) On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1-(-2)\\3-1\end{pmatrix}\iff\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}7-(-2)\\7-1\end{pmatrix}\iff\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}9\\6\end{pmatrix}$
2) On calcule le déterminant de $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ :
$x_{\overrightarrow{AB}}\times y_{\overrightarrow{AC}}-x_{\overrightarrow{AC}}\times y_{\overrightarrow{AB}}= 3\times 6 - 9\times 2 = 18-18 = 0$
Le déterminant est nul : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
3) Conclusion : puisque $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. ✓
On remarque d'ailleurs que $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}9\\6\end{pmatrix}=3\times\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ : le point $C$ est à trois fois la distance $AB$ depuis $A$, dans la même direction.
Lors d'une randonnée, un GPS enregistre trois positions successives : $P_1(2\,;\,5)$, $P_2(5\,;\,8)$ et $P_3(11\,;\,14)$ (en kilomètres).
(En navigation, vérifier l'alignement de points de repère permet de contrôler une trajectoire : c'est le principe du « relèvement » utilisé en marine.)
1) On calcule $\overrightarrow{P_1P_2}$ et $\overrightarrow{P_1P_3}$ :
$\overrightarrow{P_1P_2}\begin{pmatrix}5-2\\8-5\end{pmatrix}\iff\overrightarrow{P_1P_2}\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{P_1P_3}\begin{pmatrix}11-2\\14-5\end{pmatrix}\iff\overrightarrow{P_1P_3}\begin{pmatrix}9\\9\end{pmatrix}$
Déterminant :
$det(\overrightarrow{P_1P_2},\overrightarrow{P_1P_3})=3\times 9 - 9\times 3 = 27-27 = 0$
Les trois positions sont bien alignées. ✓
Cela signifie-t-il une ligne droite ? Pas nécessairement !
Le GPS enregistre des positions ponctuelles, pas le chemin parcouru entre elles. Le randonneur a pu faire des détours, monter, descendre — seules les trois positions enregistrées sont alignées.
2) Avec $P_3=(11\,;\,15)$ :
$\overrightarrow{P_1P_3}\begin{pmatrix}11-2\\15-5\end{pmatrix}\iff\overrightarrow{P_1P_3}\begin{pmatrix}9\\10\end{pmatrix}$
Déterminant :
$det(\overrightarrow{P_1P_2},\overrightarrow{P_1P_3})=3\times 10 - 9\times 3 = 30-27 = 3 \neq 0$
Les trois positions ne sont plus alignées : le randonneur a dévié de sa trajectoire initiale.
Une erreur d'1 km sur $P_3$ suffit à rendre la trajectoire non rectiligne — c'est pourquoi la précision GPS est cruciale en navigation.
Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, la norme du vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ est le réel positif ou nul :
$\left\|\vect{u}\right\|=\sqrt{a^2+b^2}$
La norme d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est égale à la distance entre les points $A$ et $B$ :
$AB=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
C'est le théorème de Pythagore généralisé à tout repère orthonormé !
Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, on donne $\vect{u}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$, $\vect{v}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ et les points $A(1\,;\,3)$, $B(5\,;\,6)$.
1) On applique $\left\|\vect{u}\right\|=\sqrt{a^2+b^2}$ :
$\left\|\vect{u}\right\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\mathbf{5}$
$\left\|\vect{v}\right\|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx\mathbf{2{,}24}$
2) On calcule d'abord les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ :
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5-1\\6-3\end{pmatrix}\iff\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$
$AB=\left\|\overrightarrow{AB}\right\|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=\mathbf{5}$
Triangle rectangle pythagoricien $(3,4,5)$ ✓
3) On calcule d'abord les coordonnées de $2\vect{u}$ :
$2\vect{u}\begin{pmatrix}2\times3\\2\times4\end{pmatrix}\iff 2\vect{u}\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}$
$\left\|2\vect{u}\right\|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=\mathbf{10}$
Constat :
$\left\|2\vect{u}\right\|=10=2\times 5=2\times\left\|\vect{u}\right\|$
Multiplier un vecteur par $k$ multiplie sa norme par $|k|$ :
$\left\|k\vect{u}\right\|=|k|\times\left\|\vect{u}\right\|$
C'est cohérent : $k\vect{u}$ est $k$ fois plus long que $\vect{u}$, donc sa longueur est multipliée par $|k|$.
Sur un plan de chantier (repère orthonormé, unité : le mètre), deux poteaux porteurs se trouvent en $P(3\,;\,1)$ et $Q(9\,;\,9)$.
Sur une carte, Mâcon est repérée en $M(0\,;\,0)$, Lyon en $L(1\,;\,-7)$ et Paris en $P(-20\,;\,35)$ (unité : 10 km).
1) $\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}9-3\\9-1\end{pmatrix}\iff\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}$
$PQ=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=\mathbf{10\ \text{m}}$
Triplet pythagoricien $(6,8,10)=2\times(3,4,5)$ ✓
2) La valeur est exacte : $PQ=10{,}00$ m au centimètre près.
Le résultat est entier car $(6,8,10)$ est un triplet pythagoricien.
1) $\overrightarrow{ML}\begin{pmatrix}1\\-7\end{pmatrix}\iff ML=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ unités
Soit $5\sqrt{2}\times 10=50\sqrt{2}\approx\mathbf{70{,}7\ \text{km}}$
2) $\overrightarrow{MP}\begin{pmatrix}-20\\35\end{pmatrix}\iff MP=\sqrt{400+1225}=\sqrt{1625}=5\sqrt{65}$ unités
Soit $50\sqrt{65}\approx\mathbf{403{,}1\ \text{km}}$
3) Notre modèle donne $\approx 403$ km, la distance réelle est $\approx 395$ km : écart d'environ 8 km.
La projection plane d'une Terre sphérique déforme légèrement les distances.
Dans un repère orthonormé, on se donne le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ et le point $A(1\,;\,0)$.
(Les artistes numériques utilisent des suites de vecteurs pour créer des motifs réguliers et des fractales.)
1) On part de $A_0=A(1\,;\,0)$ et on ajoute $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ à chaque étape :
$A_0(1\,;\,0)$, $A_1(4\,;\,2)$, $A_2(7\,;\,4)$, $A_3(10\,;\,6)$, $A_4(13\,;\,8)$
2) Montrons l'alignement. On calcule :
$\overrightarrow{A_0A_1}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{A_0A_2}\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}=2\,\overrightarrow{u}$
$\det(\overrightarrow{A_0A_1},\overrightarrow{A_0A_2})=3\times4-2\times6=12-12=0$
Plus généralement $\overrightarrow{A_0A_k}=k\,\overrightarrow{u}$ : tous ces vecteurs sont colinéaires à $\overrightarrow{u}$, donc les cinq points sont alignés. ✓
Une suite obtenue en ajoutant un même vecteur à chaque étape est toujours rectiligne.
3) On part de $B_0=A(1\,;\,0)$ et on ajoute $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ à chaque étape :
$B_0(1\,;\,0)$, $B_1(-1\,;\,3)$, $B_2(-3\,;\,6)$, $B_3(-5\,;\,9)$, $B_4(-7\,;\,12)$
4) $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont-ils colinéaires ?
$\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=3\times3-2\times(-2)=9+4=13\neq 0$
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires. ✓
Les suites $(A_k)$ et $(B_k)$ définissent deux directions distinctes depuis $A$ : c'est ce que les artistes numériques exploitent pour générer des motifs non répétitifs.
Combiner des vecteurs non colinéaires permet de couvrir le plan entier et de créer grilles, pavages et textures infiniment variées.
Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vect{i}\,;\,\vect{j})$, on considère les points :
$A(1\,;\,1)$, $B(5\,;\,2)$, $C(6\,;\,5)$ et $D(2\,;\,4)$.
1) Coordonnées des vecteurs :
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$
2) On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$.
Deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur : $ABCD$ est un parallélogramme. ✓
3) Longueurs :
$AB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$ et $AD=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
4) Rectangle ? On calcule les côtés du triangle $ABC$ :
$AB^2=17$, $BC^2=10$, $AC^2=5^2+4^2=41$
Or $AB^2+BC^2=17+10=27\neq 41=AC^2$.
Par la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $B$ : il n'y a pas d'angle droit en $B$, donc $ABCD$ n'est pas un rectangle.
Losange ? $AB=\sqrt{17}\neq\sqrt{10}=AD$ : les côtés adjacents sont inégaux, $ABCD$ n'est pas un losange.
$ABCD$ est un parallélogramme quelconque.
5) Le centre est le milieu des diagonales. Milieu de $[AC]$ :
$I\!\left(\dfrac{1+6}{2}\,;\,\dfrac{1+5}{2}\right)=I\!\left(\dfrac{7}{2}\,;\,3\right)$
Vérification — milieu de $[BD]$ : $\left(\dfrac{5+2}{2}\,;\,\dfrac{2+4}{2}\right)=\left(\dfrac{7}{2}\,;\,3\right)$ ✓
Le centre du parallélogramme est $I\!\left(\dfrac{7}{2}\,;\,3\right)$.
Un robot mobile se trouve en $R(2\,;\,3)$ (unité : mètre). Il reçoit deux instructions successives :
(Ce type de calcul est utilisé dans les aspirateurs robots, les drones de livraison et les voitures autonomes !)
1) On additionne les deux déplacements successifs à partir de $R(2\,;\,3)$ :
Après $\overrightarrow{d_1}$ : $R_1\begin{pmatrix}2+4\\3-1\end{pmatrix}\rightarrow R_1(6\,;\,2)$
Après $\overrightarrow{d_2}$ : $R'\begin{pmatrix}6-1\\2+5\end{pmatrix}\rightarrow R'(5\,;\,7)$
La position finale du robot est $R'(5\,;\,7)$. ✓
2) La distance totale parcourue est la somme des deux déplacements :
$\|\overrightarrow{d_1}\|=\sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{17}$
$\|\overrightarrow{d_2}\|=\sqrt{(-1)^2+5^2}=\sqrt{26}$
$d_{\text{totale}}=\sqrt{17}+\sqrt{26}\approx 4{,}12+5{,}10\approx 9{,}22\text{ m}$
3) Distance en ligne droite entre $R(2\,;\,3)$ et $R'(5\,;\,7)$ :
$\overrightarrow{RR'}\begin{pmatrix}5-2\\7-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$
$RR'=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{ m}$
La distance en ligne droite est exactement 5 mètres. ✓
On retrouve le triplet pythagoricien $(3, 4, 5)$ : $3^2+4^2=5^2$. Le robot a parcouru $\approx 9{,}22$ m mais n'est qu'à 5 m de son point de départ !
4) Pour revenir en $R$ depuis $R'$ en un seul déplacement, il faut appliquer le vecteur opposé à $\overrightarrow{RR'}$ :
$\overrightarrow{R'R}=-\overrightarrow{RR'}=\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}$
Le robot doit exécuter un déplacement $\overrightarrow{d_{\text{retour}}}\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}$. ✓
En pratique, les aspirateurs robots et drones calculent en permanence ce vecteur de retour pour rentrer à leur base dès que la batterie est faible.
def coordonnees_vecteur(A, B): return (B[0]-A[0], B[1]-A[1]) def norme(v): return (v[0]**2 + v[1]**2)**0.5 def sont_colineaires(u, v): return u[0]*v[1] - u[1]*v[0] == 0 def milieu(A, B): return ((A[0]+B[0])/2, (A[1]+B[1])/2)
A et B dans la fonction coordonnees_vecteur ?norme((3,4)) ? Vérifier à la main.sont_colineaires((2,4),(1,2)) ? Et sont_colineaires((1,2),(3,4)) ?1) A et B sont des tuples (ou listes) à deux éléments représentant les coordonnées d'un point : A = (x_A, y_A).
2) norme((3,4)) calcule $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\mathbf{5{,}0}$.
Vérification : triangle rectangle classique $(3,4,5)$. ✓
3) sont_colineaires((2,4),(1,2)) : $2\times2 - 4\times1 = 4-4 = 0$ → renvoie True ✓
sont_colineaires((1,2),(3,4)) : $1\times4 - 2\times3 = 4-6 = -2 \neq 0$ → renvoie False ✓
4) $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,5)$, $C(7\,;\,8)$ alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires.
A = (1, 2) B = (4, 5) C = (7, 8) AB = coordonnees_vecteur(A, B) # → (3, 3) AC = coordonnees_vecteur(A, C) # → (6, 6) if sont_colineaires(AB, AC): print("A, B, C sont alignés") else: print("A, B, C ne sont pas alignés")
Conclusion : $A$, $B$ et $C$ sont bien alignés. ✓
from math import sqrt def distance(A, B): dx = B[0] - A[0] dy = B[1] - A[1] return sqrt(dx**2 + dy**2) def livraison(base, destinations): position = base trajet = 0 for dest in destinations: trajet = trajet + distance(position, dest) print("Livraison en", dest, "- Chemin parcouru :", round(trajet, 2), "km") position = dest trajet = trajet + distance(position, base) print("Retour a la base. Distance totale :", round(trajet, 2), "km") livraison((0, 0), [(3, 4), (7, 1), (5, 8)])
On obtient en console :
(3, 4)).10.0 est-elle exacte alors que 17.28 et 26.71 sont des valeurs approchées ?1) Première livraison en $(3,4)$ depuis la base $(0,0)$ :
$d = \sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\mathbf{5{,}0}$ km ✓
2) $5{,}0$ et $10{,}0$ sont exacts car les deux premiers tronçons forment des triangles rectangles pythagoriciens $(3,4,5)$, dont la longueur est un entier.
Les tronçons suivants font intervenir $\sqrt{53}$ et $\sqrt{89}$ qui sont irrationnels.
3) Retour à la base après chaque livraison :
def livraison_retour(base, destinations): trajet = 0 for dest in destinations: aller = distance(base, dest) retour = distance(dest, base) trajet = trajet + aller + retour print("Livraison en", dest, "A/R :", round(aller+retour, 2), "km") print("Distance totale :", round(trajet, 2), "km")