Etant donné deux points $A$ et $B$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est l'objet mathématique qui caractérise la translation qui envoie $A$ sur $B$.
Ce vecteur est caractérisé par :
On note les vecteurs avec deux lettres majuscules surmontées d'une flèche $\overrightarrow{AB}$
ou avec une seule lettre minuscule surmontée d'une flèche : $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$.
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux (et on écrit $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$) si et seulement s ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Cela signifie que $ABCD$ est un parallélogramme.
On dit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont des représentants du même vecteur.
Équivaut à : $ABDC$ est un parallélogramme.
Le vecteur nul noté $\overrightarrow{0}$ est le vecteur $\overrightarrow{AA}$ pour tout point $A$.
Il a une norme nulle et n'a pas de direction ni de sens définis.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$, donc $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.
$ABCD$ est un parallélogramme (sommets dans l'ordre).
1) Deux représentants de $\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$.
2) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ : Vrai (même direction, sens et longueur).
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ : Faux ($\overrightarrow{CD}$ est de sens opposé à $\overrightarrow{DC}$).
La somme $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ de deux vecteurs s'obtient en chosissant un représentant de $\overrightarrow{u}$ puis un représentant de $\overrightarrow{v}$ à partir de l'extrémité de $\overrightarrow{u}$.
La somme est le vecteur résultant.
Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, alors $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AD}$ où $D$ est le quatrième sommet du parallélogramme $ABDC$.
Pour tous points $A$, $B$, $C$ :
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
Généralisation : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$
La lettre finale d'un vecteur doit être la lettre initiale du suivant.
Attention : $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\neq\overrightarrow{AC}$
Cas utile : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$
En prenant le représentant $\overrightarrow{AB}$ pour $\overrightarrow{u}$, puis le représentant $\overrightarrow{BC}$ à partir de l'extrémité $B$, on obtient par définition de la somme le vecteur allant de $A$ à $C$, c'est-à-dire $\overrightarrow{AC}$.
Donc $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
Cas particulier : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.
Simplifier en utilisant la relation de Chasles :
1) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$
2) $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{MQ}$
3) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$
4) $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$.
1) $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (car $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$)
2)$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$
2) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})$
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AD}$
Soit $\overrightarrow{u}$ non nul et $k$ un réel.
Le produit $k\times\overrightarrow{u}$, noté $k\overrightarrow{u}$ est le vecteur :
Par convention, $0\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ et $k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$
Soit $M$ le milieu de $[AB]$. Exprimer $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
$M$ milieu de $[AB]$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$.
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AM}$
Donc $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un réel, c'est à dire s'il existe $k\in\mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$.
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires
$A$, $B$, $C$ alignés $\iff \exists\, k\in\mathbb{R}\ :\ \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$
Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (ou confondues) si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires
$(AB)\parallel(CD)$ $\iff \exists\, k\in\mathbb{R}\ :\ \overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}$
Pour montrer que $A$, $B$, $C$ sont alignés :
Soient $A$, $B$, $C$, $D$ des points tels que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{u}$.
$ABCD$ est un parallélogramme. $M$ est le milieu de $[BC]$, $P$ tel que $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
On veut démontrer que $A$, $M$, $P$ sont alignés en suivant la méthode ci-dessous.
Exo 1.1) $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires ($k=3$), donc $A$, $B$, $C$ sont alignés.
Exo 1.2) $\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires ($k=-2$), donc $(AB)\parallel(CD)$.
Exo 2 : 1) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ (car $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$).
2) $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right)=2\overrightarrow{AM}$.
3) $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AM}$ : les vecteurs sont colinéaires, donc $A$, $M$, $P$ sont alignés.
Soient $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ deux vecteurs non colinéaires. Tout vecteur $\overrightarrow{w}$ du plan peut s'écrire de façon unique :
$\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}$
où $a$ et $b$ sont des réels bien déterminés.
On dit que $\overrightarrow{w}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$.
On considère deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$
Exprimer les vecteurs suivants comme combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.
1) $2\overrightarrow{AB}=2(3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v})\iff 2\overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}$
2) $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v})+(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\iff \overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$
$M$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si :
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$
ce qui équivaut à :
$\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
$M$ est le milieu de $[AB]$ $\iff$ $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$
$\iff$ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ (on a ajouté $\overrightarrow{MA}$ dans chaque membre
$\iff\overrightarrow{MM}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$
$\iff\overrightarrow{0}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ $\iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.
De plus $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$
$\iff 2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}$ (Chasles)
$\iff\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
Soit $ABC$ un triangle quelconque. On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[BC]$.
1) $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ}$
2) $\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}$.
3) $\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$
$\iff \overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{BC}$
$\iff \overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{CB})+\overrightarrow{BC}$
$\iff \overrightarrow{IJ}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}$
$\iff \overrightarrow{IJ}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{2}\overrightarrow{BC}$
$\iff \overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
4) On peut en déduire que $\overrightarrow{IJ}=k\overrightarrow{BC}$ avec $k=\dfrac{1}{2}$ donc que les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires
Il en résulte que $(IJ)\parallel (BC)$
Soit $ABCD$ un parallélogramme. On appelle $O$ le milieu de $[BD]$
L'objectif de cet exemple est de démontrer que les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.
1) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ car ABCD est un parallélogramme.
2) $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}$.
3) $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}$.
4) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC})$.
$\iff \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}$.
$\iff \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}$, d'après 1).
$\iff \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{BB}$.
$\iff \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$.
5)$O$ est le milieu de $[BD]$ donc $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$
En remplaçant à droite dans la relation précédente on obtient $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$.
6) On déduit de $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ que $0$ est aussi le milieu de $[AC].
7) $O$ le milieu de $[BD]$ et $O$ est aussi le milieu de $[AC]$. Donc les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu et donc se coupent en leur milieu.
Soit $ABC$ triangle, on note $D$ milieu de $[BC]$.
1) $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
2) $\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}$. Donc $A$, $G$, $D$ alignés.
3) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC} =-3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$.
$G$ est l'isobarycentre des points $A$, $B$ et $C$.
$ABC$ triangle. $M$ milieu de $[AB]$, $N$ milieu de $[AC]$.
1) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}$ (Chasles)
2) $M$ milieu de $[AB]$ : $\overrightarrow{MA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ ; $N$ milieu de $[AC]$ : $\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
3) $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ $\Rightarrow$ colinéaires $\Rightarrow$ $(MN)\parallel(BC)$ et $MN=\dfrac{BC}{2}$.
Soient $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
$ABCD$ est un parallélogramme $\iff$ $AB\parallel DC$ et $AB=DC$ et même sens.
$\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ ont même direction, même sens et même norme.
$\iff$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non colinéaires. Soient les points $A$, $B$, $C$ et $D$ tels que :
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{CD} = -3\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$
2) $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+(2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})+(-3\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$
$=(1+2-3)\overrightarrow{u}+(1-1+1)\overrightarrow{v}=0\times\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}$
3) $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{v}\neq\overrightarrow{0}$ (car $\overrightarrow{v}\neq\overrightarrow{0}$) $\Rightarrow$ $A$ et $D$ ne sont pas confondus.