Étant donné deux points $A$ et $B$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est l'objet mathématique qui caractérise la translation qui envoie $A$ sur $B$.
Ce vecteur est caractérisé par :
On note les vecteurs avec deux lettres majuscules surmontées d'une flèche : $\overrightarrow{AB}$
ou avec une seule lettre minuscule surmontée d'une flèche : $\vv{u}$, $\vv{v}$, $\vv{w}$.
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux (et on écrit $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$) si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Cela signifie que $ABDC$ est un parallélogramme.
On dit alors que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont des représentants du même vecteur.
On considère le parallélogramme $ABCD$ (les sommets sont dans l'ordre).
1) Deux représentants de $\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$.
2) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ : Vrai (même direction, même sens et même norme).
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ : Faux ($\overrightarrow{CD}$ est de sens opposé à $\overrightarrow{DC}$).
Le vecteur nul, noté $\vv{0}$, est le vecteur $\overrightarrow{AA}$ pour tout point $A$. Il a une norme nulle et n'a pas de direction ni de sens définis.
La somme $\vv{u}+\vv{v}$ de deux vecteurs s'obtient en choisissant un représentant de $\vv{u}$ puis un représentant de $\vv{v}$ à partir de l'extrémité du premier.
Règle du parallélogramme : si $\vv{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vv{v}=\overrightarrow{AC}$, alors $\vv{u}+\vv{v}=\overrightarrow{AD}$ où $D$ est le quatrième sommet du parallélogramme $ABDC$.
On veut construire la somme $\vv{u}+\vv{v}$ des deux vecteurs ci-dessus.
1. On choisit un représentant de $\vv{u}$ d'origine $A$ : $\overrightarrow{AB}=\vv{u}$.
2. On place un représentant de $\vv{v}$ à partir de l'extrémité $B$ : $\overrightarrow{BD}=\vv{v}$.
3. La somme est le vecteur résultant : $\vv{u}+\vv{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$.
4. Règle du parallélogramme : avec $\overrightarrow{AC}=\vv{v}$, $ABDC$ est un parallélogramme et $\vv{u}+\vv{v}=\overrightarrow{AD}$.
Pour tous points $A$, $B$ et $C$ :
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
La lettre finale d'un vecteur doit être la lettre initiale du suivant.
Attention : $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\neq\overrightarrow{AC}$
Cas utile : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vv{0}$
En prenant le représentant $\overrightarrow{AB}$ pour $\vv{u}$, puis le représentant $\overrightarrow{BC}$ à partir de l'extrémité $B$, on obtient par définition de la somme le vecteur allant de $A$ à $C$, c'est-à-dire $\overrightarrow{AC}$.
Donc $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
Cas particulier : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vv{0}$.
La relation de Chasles permet de décomposer ou de simplifier des sommes de vecteurs :
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$
Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles :
1) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\vv{0}$
2) $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{MQ}$
3) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vv{0}$
4) $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$
Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$.
1) $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (car $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ puisque $ABCD$ est un parallélogramme)
2) $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$ (Chasles)
3) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})$
$\phantom{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AD}$
$\phantom{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}}=\vv{0}+2\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AD}$
Soit $\vv{u}$ un vecteur non nul et $k$ un réel.
Le produit $k\,\vv{u}$ est le vecteur :
Par convention, $0\,\vv{u}=\vv{0}$ et $k\,\vv{0}=\vv{0}$.
Pour tous vecteurs $\vv{u}$, $\vv{v}$ et tous réels $k$, $\ell$ :
Soit $M$ le milieu de $[AB]$. Exprimer $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
$M$ milieu de $[AB]$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$.
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AM}$
Donc $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
Deux vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ non nuls sont colinéaires si et seulement si l'un est le produit de l'autre par un réel, c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que :
$\vv{v}=k\,\vv{u}$
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
$A,\,B,\,C\text{ alignés}\iff\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}\text{ pour un certain réel }k$
Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (ou confondues) si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Soient $A$, $B$, $C$, $D$ des points tels que $\overrightarrow{AB}=\vv{u}$, $\overrightarrow{AC}=3\vv{u}$ et $\overrightarrow{CD}=-2\vv{u}$.
1) $\overrightarrow{AC}=3\vv{u}=3\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires ($k=3$), donc $A$, $B$, $C$ sont alignés.
2) $\overrightarrow{CD}=-2\vv{u}=-2\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires ($k=-2$), donc $(AB)\parallel(CD)$.
$ABCD$ est un parallélogramme. On note $M$ le milieu de $[BC]$ et $P$ le point défini par $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
On veut démontrer que $A$, $M$, $P$ sont alignés en suivant la méthode ci-dessous.
1) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ (car $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$).
2) $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right)=2\overrightarrow{AM}$, donc $k=2$.
3) $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AM}$ : les vecteurs sont colinéaires, donc $A$, $M$, $P$ sont alignés.
Soient $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points tels que $\overrightarrow{AB}=\vv{u}$, $\overrightarrow{AD}=\vv{v}$ et $C$ le point tel que $\overrightarrow{AC}=2\vv{u}+\vv{v}$.
Les droites $(BC)$ et $(AD)$ sont-elles parallèles ?
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\vv{u}+2\vv{u}+\vv{v}=\vv{u}+\vv{v}$ et $\overrightarrow{AD}=\vv{v}$.
S'il existait un réel $k$ tel que $\vv{u}+\vv{v}=k\,\vv{v}$, on aurait $\vv{u}=(k-1)\vv{v}$ : $\vv{u}$ et $\vv{v}$ seraient colinéaires.
Si $\vv{u}$ et $\vv{v}$ ne sont pas colinéaires ($A$, $B$, $D$ non alignés), $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas colinéaires : les droites $(BC)$ et $(AD)$ ne sont pas parallèles.
Soient $\vv{i}$ et $\vv{j}$ deux vecteurs non colinéaires. Tout vecteur $\vv{w}$ du plan peut s'écrire de façon unique :
$\vv{w}=a\,\vv{i}+b\,\vv{j}$
où $a$ et $b$ sont des réels bien déterminés.
On dit que $\vv{w}$ est une combinaison linéaire de $\vv{i}$ et $\vv{j}$.
On considère deux vecteurs non colinéaires $\vv{u}$ et $\vv{v}$ et trois points $A$, $B$, et $C$ tels que $\overrightarrow{AB}=3\vv{u}-2\vv{v}$ et que $\overrightarrow{BC}=\vv{u}+\vv{v}$.
Exprimer les vecteurs suivants comme combinaison de $\vv{u}$ et $\vv{v}$ :
1) $2\overrightarrow{AB}=2(3\vv{u}-2\vv{v})=6\vv{u}-4\vv{v}$
2) $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(3\vv{u}-2\vv{v})+(\vv{u}+\vv{v})=4\vv{u}-\vv{v}$
$M$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si :
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vv{0}$
Ce qui est aussi équivalent à :
$\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
$M$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$
$\iff\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ (on a ajouté $\overrightarrow{MA}$ dans chaque membre)
$\iff\overrightarrow{MM}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$
$\iff\vv{0}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\iff\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vv{0}$.
De plus $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$
$\iff 2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}$ (Chasles)
$\iff\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. $\square$
Soit $ABC$ un triangle. On note $I$ le milieu de $[BC]$.
1) $I$ est le milieu de $[BC]$, donc d'après la propriété 6 : $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vv{0}$.
2) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}$ (Chasles)
3) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC})$
$\phantom{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}=2\overrightarrow{AI}+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})$
$\phantom{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}=2\overrightarrow{AI}+\vv{0}=2\overrightarrow{AI}$
4) $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$, donc $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}$.
D'après la propriété 6, $I$ est le milieu de $[AE]$.
D'après la règle du parallélogramme, $ABEC$ est un parallélogramme : on retrouve que ses diagonales $[AE]$ et $[BC]$ ont le même milieu $I$.
Soit $ABCD$ un parallélogramme.
L'objectif de cet exemple est de démontrer que les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.
On appelle $O$ le milieu de $[BD]$.
1) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ car $ABCD$ est un parallélogramme.
2) $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}$. 3) $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}$.
4) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC})$
$\phantom{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}$ (d'après 1)
$\phantom{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$ (car $\overrightarrow{BB}=\vv{0}$)
5) $O$ est le milieu de $[BD]$ donc $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vv{0}$.
En remplaçant dans la relation précédente, on obtient $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vv{0}$.
6) On déduit de $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vv{0}$ que $O$ est aussi le milieu de $[AC]$.
7) $O$ est le milieu de $[BD]$ et de $[AC]$ : les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu, donc elles se coupent en leur milieu.
Soit $ABC$ un triangle. On note $D$ le milieu de $[BC]$.
1) $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
2) $\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}$ : $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont colinéaires, donc $A$, $G$, $D$ sont alignés.
3) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC})=-3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
$\phantom{\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vv{0}$
Donc $G$ est l'isobarycentre de $A$, $B$, $C$.
Soit $ABC$ un triangle. On note $M$ le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$.
1) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}$ (Chasles)
2) $M$ milieu de $[AB]$ : $\overrightarrow{MA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ ; $N$ milieu de $[AC]$ : $\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
3) $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ : les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires, donc $(MN)\parallel(BC)$.
De plus $MN=\|\overrightarrow{MN}\|=\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{BC}\|=\dfrac{BC}{2}$.
Soient $\vv{u}$ et $\vv{v}$ deux vecteurs non colinéaires. Soient les points $A$, $B$, $C$ et $D$ tels que :
$\overrightarrow{AB}=\vv{u}+\vv{v}$, $\overrightarrow{BC}=2\vv{u}-\vv{v}$, $\overrightarrow{CD}=-3\vv{u}+\vv{v}$
1) Voir la figure ci-contre.
2) $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(\vv{u}+\vv{v})+(2\vv{u}-\vv{v})+(-3\vv{u}+\vv{v})$
$\phantom{\overrightarrow{AD}}=(1+2-3)\vv{u}+(1-1+1)\vv{v}=0\,\vv{u}+\vv{v}=\vv{v}$
3) $\overrightarrow{AD}=\vv{v}\neq\vv{0}$ (car $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont non colinéaires, donc $\vv{v}\neq\vv{0}$) : $A$ et $D$ ne sont pas confondus.