Objectif : Le but de cette activité est d’introduire la notion de nombre dérivé comme outil pour étudier la vitesse de propagation d’une épidémie (grippe en 2017, coronavirus en 2020).
On a représenté la courbe \(\mathscr{C}_f\) de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=0{,}5x^3+2x^2-x+4\).
A est le point d’abscisse \(0{,}5\) de la courbe \(\mathscr{C}_f\), calculer l’ordonnée du point A.
M est le point d’abscisse \(1{,}5\) de la courbe \(\mathscr{C}_f\), calculer l’ordonnée du point M.
Calculer le coefficient directeur de la droite (AM) que l’on a appelé \(\tau(0{,}5\,;\,1{,}5)\) dans ce chapitre.
Le réseau Sentinelles (INSERM – MÉDECINE SORBONNE UNIVERSITÉ – SANTÉ PUBLIQUE FRANCE) fournit les chiffres suivants pour les syndromes grippaux apparents de l’hiver 2016/2017 :
| Semaine | 50 | 51 | 52 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Rang de la semaine | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Nombre de cas | 126570 | 187704 | 224489 | 255535 | 260588 | - | - | 193677 | - | 59590 | 29545 |
Données réseau Sentinelles, www.sentiweb.fr
En plaçant ces points dans un graphique, tel un nuage de points réalisé à l’aide du tableur, on remarque qu’il est intéressant de les approcher par une fonction polynôme du second degré.
Calculer l’augmentation moyenne du nombre de cas entre la semaine de rang 1 et la semaine de rang 3, on obtient ainsi la vitesse moyenne de propagation de la grippe entre la semaine de rang 1 et la semaine de rang 3.
L’objectif de ce qui suit est de connaître la vitesse de propagation ou de disparition de la grippe de manière instantanée, sans faire de moyenne et sans attendre la fin de la semaine.
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Rang de la semaine | |||||||||||
| 2 | Nombre de cas |
Le tableur trace cette courbe et nous en donne une équation.
On obtient ainsi que le nombre de malades peut être modélisé par la fonction \(f\) définie sur \([0\,;\,30]\) par :
\(f(x)=-7200x^2+59483x+133585\)
Sur ce graphique, placer le point A de coordonnées \((7\,;\,f(7))\), placer le point \(M_1\) de coordonnées \((9\,;\,f(9))\) puis tracer la sécante \((AM_1)\).
Calculer le coefficient directeur de la droite \((AM_1)\), comment l’interpréter concrètement ?
On veut maintenant obtenir une vitesse de disparition de la grippe en étudiant une période de 6 jours. Pour la construction, on va utiliser Geogebra, en zoomant autour du point A :
Sur le graphique avec zoom (figure 2), placer 6 jours après le point A le point \(M_2\) puis tracer la sécante \((AM_2)\). Calculer le coefficient directeur de la droite \((AM_2)\), comment l’interpréter concrètement ?
Sans tracer d’autres points supplémentaires comment obtenir la vitesse instantanée de disparition de la grippe au point A (semaine de rang 7) ?
On notera \(f'(7)\) cette vitesse de disparition instantanée.
Donner une estimation graphique de cette vitesse de disparition instantanée.
| Durée AM | Coefficient directeur de (AM) |
|---|
La vitesse instantanée \(f'(7)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A.
Lecture graphique sur la tangente : quand on avance de 1 semaine (de 7 à 8), on descend d’environ 41 000 cas. \(f'(7)\approx\dfrac{-41\,000}{1}\approx -41\,000\)Nous verrons des outils mathématiques qui permettent de trouver une formule pour cette vitesse instantanée. On admet que pour la situation étudiée ici, cette vitesse instantanée est :
\(f'(x)=-14400x+59483\)
En utilisant cette formule calculer \(f'(7)\) puis \(f'(1)\).
En utilisant la figure 1, estimer graphiquement sur quel intervalle \(f'(x)>0\) et sur quel intervalle \(f'(x)<0\) ? Concrètement à quoi correspond la valeur pour laquelle \(f'(x)=0\) ?
Placer sur le graphique le point \(A(7\,;\,6600)\) et estimer la vitesse instantanée de propagation \(f'(7)\) pour la semaine de rang 7 (16/03/2020).
Placer sur le graphique le point \(B(10\,;\,91600)\) et estimer la vitesse instantanée de propagation \(f'(10)\) pour la semaine de rang 10 (30/03/2020).
• Le coefficient directeur d’une sécante (AM) donne une vitesse moyenne entre deux instants.
• En rapprochant M de A, la sécante se rapproche de la tangente en A.
• Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse \(a\) est le nombre dérivé \(f'(a)\) : c’est la vitesse instantanée.
• \(f'(a)>0\) : la quantité augmente ; \(f'(a)<0\) : elle diminue ; \(f'(a)=0\) : tangente horizontale (ici, le pic de l’épidémie).