Fractales • Suites

Les exercices sur le flocon de VON KOCH

Une page pour étudier le flocon de Von Koch à l’aide des suites géométriques : périmètre, nombre de côtés, triangles créés et aire totale.

Chapitre : Suites Thème : Fractales

Le flocon de Von Koch est une figure fractale construite étape par étape. Chaque transformation fait apparaître des suites géométriques simples.

1

Montrer que le flocon de von Koch possède un périmètre infini

On commencera par calculer le périmètre du flocon à l’étape \(n\).
L
À l’étape \(n\), un segment de longueur \(L\).
L/3 L/3 L/3 L/3
À l’étape \(n+1\), on obtient quatre segments de longueur \(L/3\).

Solution

  • Quand on passe de l’étape \(n\) à l’étape \(n+1\), chaque segment de longueur \(L\) est remplacé par 4 segments de longueur \(L/3\).
  • La longueur totale est donc multipliée par \(\frac{4}{3}\).
  • Si \(P_n\) désigne le périmètre à l’étape \(n\), alors \(P_{n+1}=\frac{4}{3}P_n\).
  • La suite \((P_n)\) est géométrique de raison \(\frac{4}{3}\) et de premier terme \(P_0=3\).
$$P_n = 3\left(\frac{4}{3}\right)^n$$
Comme \(\frac{4}{3}>1\), on a
$$\lim_{n\to+\infty}P_n =+\infty$$.
Le flocon possède donc un périmètre infini.
2

Exprimer le nombre de côtés \(C_n\) en fonction de \(n\)

On désigne par \(C_n\) le nombre de côtés du flocon à l’étape \(n\).
Étape 0
Le triangle initial possède 3 côtés.
Étape 1
Chaque côté génère 4 côtés à l’étape suivante.

Solution

  • À l’étape 0, on a \(C_0=3\).
  • D’une étape à l’autre, le nombre de segments est multiplié par 4.
  • La suite \((C_n)\) est géométrique de raison 4 et de premier terme \(3\).
$$C_n = 3\times 4^n$$
3

Exprimer le nombre de nouveaux triangles \(T_{n+1}\)

Entre l’étape \(n\) et l’étape \(n+1\), il se crée de nouveaux petits triangles.

Solution

  • À chaque segment de l’étape \(n\), on associe un nouveau triangle à l’étape \(n+1\).
  • Le nombre de nouveaux triangles créés est donc égal au nombre de segments à l’étape \(n\).
$$T_{n+1}=C_n=3\times 4^n$$
4

À l’étape \(n\), quelle est l’aire \(S_n\) d’un nouveau triangle ?

On cherche l’aire d’un triangle ajouté à l’étape \(n\).

Solution

  • L’aire du triangle équilatéral de départ vaut \(S_0=\frac{\sqrt{3}}{4}\) (laissé en exercice).
  • D’une étape à l’autre, les longueurs sont divisées par 3.
  • Les aires sont donc multipliées par \(\frac{1}{9}\).
  • La suite \((S_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{9}\).
$$S_n=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{9}\right)^n$$
5

Quelle est l’aire du flocon de VON KOCH ?

On additionne l’aire du triangle initial et les aires des triangles ajoutés à chaque étape.

Solution

  • L’aire initiale est \(\frac{\sqrt{3}}{4}\).
  • À l’étape \(n+1\), on ajoute \(T_{n+1}=3\times 4^n\) triangles, chacun d’aire \(\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{9}\right)^{n+1}\).
  • On obtient une série géométrique convergente.
$$A_{n+1}=S_0+S_1\times T_1+S_2\times T_2+S_3\times T_3+\cdots+S_{n+1}\times T_{n+1}$$
$$A_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4} +\frac{\sqrt{3}}{4}\times\frac{1}{9}\times 3 +\frac{\sqrt{3}}{4}\times\left(\frac{1}{9}\right)^2\times 3\times 4^1 +\frac{\sqrt{3}}{4}\times\left(\frac{1}{9}\right)^3\times 3\times 4^2 +\frac{\sqrt{3}}{4}\times\left(\frac{1}{9}\right)^4\times 3\times 4^3 +\cdots+ \frac{\sqrt{3}}{4}\times\left(\frac{1}{9}\right)^{n+1}\times 3\times 4^n$$
$$A_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 3 \left[ \frac{1}{3} +\frac{1}{9} +\left(\frac{1}{9}\right)^2\times 4^1 +\left(\frac{1}{9}\right)^3\times 4^2 +\left(\frac{1}{9}\right)^4\times 4^3 +\cdots+ \left(\frac{1}{9}\right)^{n+1}\times 4^n \right]$$
\[ A_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 3 \left[ \frac{1}{3} + \color{#7c3aed}{ \frac{1}{9} +\frac{1}{9}\left(\frac{4}{9}\right) +\frac{1}{9}\left(\frac{4}{9}\right)^2 +\frac{1}{9}\left(\frac{4}{9}\right)^3 +\cdots+ \frac{1}{9}\left(\frac{4}{9}\right)^n } \right] \]
On applique alors, sur la partie colorée, la formule de la somme d’une suite géométrique de premier terme \(\frac{1}{9}\) et de raison \(\frac{4}{9}\).
$$A_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 3 \left[ \frac{1}{3} +\frac{1}{9}\times \frac{\left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}-1}{\frac{4}{9}-1} \right]$$
$$A_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 3 \left[ \frac{1}{3} -\frac{1}{5}\left(\left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}-1\right) \right]$$
L’aire du flocon de VON KOCH correspond à la limite de la suite \((A_n)\), donc aussi à la limite de \((A_{n+1})\).
$$\lim_{n\to+\infty}A_{n+1} =\frac{\sqrt{3}}{4}\times 3 \left[ \frac{1}{3} -\frac{1}{5}(0-1) \right]$$
$$\text{soit}\quad \lim_{n\to+\infty}A_{n+1} =\frac{\sqrt{3}}{4}\times 3 \left[ \frac{1}{3} +\frac{1}{5} \right]$$
$$\text{Enfin}\quad \lim_{n\to+\infty}A_{n+1} =\frac{2\sqrt{3}}{5}$$
L’aire du flocon de VON KOCH est donc \(\frac{2\sqrt{3}}{5}\) unités d’aires.