Définition, propriétés, moyenne, covariance et exemples corrigés de niveau L1
La lettre grecque \(\Sigma\) sert à écrire une somme de manière compacte. Au lieu d’écrire tous les termes un par un, on utilise un indice de sommation.
Ici, \(i\) est l’indice, \(a\) la borne inférieure, \(b\) la borne supérieure et \(u_i\) le terme général. L’indice est une variable muette : son nom peut changer sans modifier la valeur de la somme.
Pour une série \(x_1,\dots,x_n\), la moyenne est définie par :
Cette formule signifie que la somme des données vaut \(n\overline{x}\) :
On en déduit l’identité fondamentale :
Les écarts positifs à la moyenne compensent exactement les écarts négatifs.
Soient deux séries \(x_1,\dots,x_n\) et \(y_1,\dots,y_n\). On rencontre souvent la somme :
Développons soigneusement :
Puis on sépare la somme en quatre sommes :
Comme \(\overline{x}\) et \(\overline{y}\) sont des constantes, \(\sum_{i=1}^{n}\overline{x}\,\overline{y}=n\overline{x}\,\overline{y}\). De plus, \(\sum x_i=n\overline{x}\) et \(\sum y_i=n\overline{y}\).
Cette identité est très utile en statistique, notamment pour la covariance.
Énoncé : calculer \(\sum_{i=1}^{5} i\).
Correction détaillée :
On remplace \(i\) successivement par \(1,2,3,4,5\) :
Puis on additionne :
Énoncé : calculer \(\sum_{k=1}^{4} 3\).
Correction détaillée :
Le terme vaut toujours 3, donc il apparaît 4 fois :
On peut aussi écrire :
Énoncé : calculer \(\sum_{i=1}^{6} 2i\).
Correction détaillée :
On applique la factorisation par une constante :
On calcule ensuite la somme des entiers de 1 à 6 :
Donc :
Énoncé : calculer \(\sum_{i=1}^{4}(i+1)\).
Correction détaillée :
On développe terme à terme :
Ce qui donne :
Donc :
Énoncé : calculer \(\sum_{i=1}^{5}(2i-1)\).
Correction détaillée :
On remplace \(i\) par \(1,2,3,4,5\) :
Ce qui donne :
Somme finale :
Énoncé : montrer que \(\sum_{i=1}^{n}1=n\).
Correction détaillée :
La somme contient exactement \(n\) termes, et chacun vaut 1.
Par définition, additionner \(1\) \(n\) fois donne \(n\) :
Énoncé : calculer \(\sum_{i=2}^{6} i\).
Correction détaillée :
On liste les termes :
Donc :
Énoncé : calculer \(\sum_{i=1}^{5}(3i-2)\).
Correction détaillée :
On développe les cinq termes :
Soit :
On additionne :
Énoncé : décomposer \(\sum_{i=1}^{6}u_i\) après le troisième terme.
Correction détaillée :
On sépare la somme en deux morceaux :
Cette écriture est utile pour traiter des sommes longues en plusieurs étapes.
Énoncé : calculer \(\sum_{i=1}^{5}(i^2)\).
Correction détaillée :
On remplace \(i\) par \(1,2,3,4,5\) :
Ce qui donne :
Somme totale :
Énoncé : calculer \(\sum_{i=1}^{n}(i+2)\).
Correction détaillée :
On utilise la linéarité :
On connaît :
Donc :
Énoncé : calculer \(\sum_{i=1}^{n}(2i-1)\).
Correction détaillée :
On sépare la somme :
On remplace par les formules connues :
On simplifie :
Énoncé : montrer que \(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})=0\).
Correction détaillée :
On distribue la somme :
Comme \(\overline{x}\) est constant :
Or :
Donc :
Énoncé : développer \(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2\).
Correction détaillée :
On commence par développer le carré :
On somme membre à membre :
Les termes constants se simplifient :
Et \(\sum x_i=n\overline{x}\), donc :
Énoncé : On considère les \(n\) premiers entiers non nuls : \(x_i = i\) pour \(i\) allant de 1 à \(n\). Calculer la somme des carrés des écarts à la moyenne \(\sum_{i=1}^{n}(i-\overline{x})^2\).
On rappelle que : \(\sum_{i=1}^{n}i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Correction détaillée :
On calcule d'abord la moyenne des \(n\) premiers entiers :
D'après l'exercice 14 (formule de Koenig-Huygens), on sait que :
On remplace les termes par leurs expressions respectives :
On factorise par le terme commun \(n(n+1)\) :
On met au même dénominateur (12) à l'intérieur de la parenthèse :
On développe et on simplifie le numérateur (\(4n + 2 - 3n - 3 = n - 1\)) :
Ce qui donne le résultat final (qui sert notamment à calculer la variance des \(n\) premiers entiers) :
Énoncé : montrer que \(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=\sum_{i=1}^{n}x_i(y_i-\overline{y})\).
Correction détaillée :
On développe en distribuant uniquement le terme \((x_i-\overline{x})\) :
On passe à la somme sur les deux termes :
On sort la constante \(\overline{x}\) de la deuxième somme :
Or, la somme des écarts à la moyenne est nulle : \(\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y}) = 0\).
Le deuxième terme disparaît, et il reste l'identité cherchée :
Énoncé : calculer \(\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}\right)\).
Correction détaillée :
Il s'agit d'une somme télescopique. Écrivons les premiers et les derniers termes :
Tous les termes intermédiaires s'annulent deux à deux.
Il ne reste que le premier terme et le tout dernier :
Énoncé : en posant \(j = i-1\), réécrire \(\sum_{i=2}^{n+1}(2i-3)\).
Correction détaillée :
On effectue un changement d'indice. Si \(j = i-1\), alors \(i = j+1\).
Les bornes changent : quand \(i=2\), \(j=1\). Quand \(i=n+1\), \(j=n\).
On développe et on simplifie le terme général :
Donc la somme devient :
Énoncé : calculer \(\sum_{i=1}^{n}(2x_i + \overline{x})\).
Correction détaillée :
Par linéarité, on sépare la somme en deux :
On sait que \(\sum_{i=1}^{n}x_i = n\overline{x}\) et que \(\overline{x}\) est une constante, donc \(\sum_{i=1}^{n}\overline{x} = n\overline{x}\).
On remplace dans l'expression globale :
Énoncé : simplifier \(\sum_{i=1}^{n}\ln\left(\frac{i+1}{i}\right)\).
Correction détaillée :
On utilise la propriété fondamentale des logarithmes \(\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)\) :
On reconnaît une somme télescopique qu'on écrit terme à terme :
Tous les termes s'annulent sauf le dernier et le premier. De plus, \(\ln(1)=0\). Donc :
Énoncé : développer \(\sum_{i=1}^{n}(x_i - a)^2\) et montrer que cette somme est minimale pour \(a = \overline{x}\).
Correction détaillée :
On développe le carré :
On sépare les sommes par linéarité :
Comme \(\sum_{i=1}^{n}x_i = n\overline{x}\), l'expression devient une fonction de \(a\) (un trinôme du second degré) :
Le minimum d'un trinôme \(Aa^2 + Ba + C\) est atteint au sommet de la parabole pour \(a = \frac{-B}{2A}\). Ici, \(A = n\) et \(B = -2n\overline{x}\), donc le minimum est en :