Calcul du déterminant

Déterminant d'une matrice 2×2

Le déterminant d'une matrice carrée est un nombre. On le note $\det A$ ou en remplaçant les parenthèses par des barres verticales. Pour une matrice 2×2, on fait la différence des produits des deux diagonales :

$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\qquad \det A=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=\color{#2b8a3e}{ad}-\color{#d6336c}{bc}$

Moyen mnémotechnique : diagonale principale ↘ moins diagonale secondaire ↗.

Calculs

Interprétation géométrique

Les colonnes de $A$ sont deux vecteurs $\vec u\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}$. La valeur absolue du déterminant est l'aire du parallélogramme construit sur ces vecteurs.

$\det A>0$ : on tourne de $\vec u$ vers $\vec v$ dans le sens direct ;
$\det A<0$ : sens indirect ;
$\det A=0$ : le parallélogramme est « aplati », $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Modifie la matrice ci-dessus : la figure se met à jour !

À retenir

$A$ est inversible si et seulement si $\det A\neq 0$. Dans ce cas : $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.

⚠ Piège classique : avec des nombres négatifs, mets des parenthèses. Par exemple $3\times 4-(-2)\times 5=12-(-10)=22$, et non $2$.

Règle de Sarrus (matrices 3×3 uniquement)

On recopie les deux premières colonnes à droite de la matrice. On additionne les produits des trois diagonales descendantes ↘ et on retranche les produits des trois diagonales montantes ↗ :

$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=\color{#2b8a3e}{(aei+bfg+cdh)}-\color{#d6336c}{(ceg+afh+bdi)}$

⚠ La règle de Sarrus ne fonctionne que pour les matrices 3×3. Elle ne se généralise pas aux matrices 4×4 : il faut alors développer suivant une ligne ou une colonne (onglet 3).

Calculs

Développement suivant une ligne ou une colonne

Pour chaque coefficient $a_{ij}$, on appelle mineur $M_{ij}$ le déterminant obtenu en barrant la ligne $i$ et la colonne $j$. On affecte à chaque position le signe $(-1)^{i+j}$, ce qui donne un damier :

$\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}$

Suivant la ligne $i$ : $\displaystyle\det A=\sum_{j=1}^{3}(-1)^{i+j}\,a_{ij}\,M_{ij}$

Suivant la colonne $j$ : $\displaystyle\det A=\sum_{i=1}^{3}(-1)^{i+j}\,a_{ij}\,M_{ij}$

💡 On obtient le même résultat quelle que soit la ligne ou la colonne choisie. Astuce : choisis celle qui contient le plus de zéros : un coefficient nul donne un terme nul, sans calcul !

Calculs

Entraînement

det(A) =