Explorer la méthode de Monte-Carlo avec des tirages aléatoires.
On utilise des nombres aléatoires pour estimer une valeur numérique (aire, constante, probabilité) lorsque le calcul exact est difficile ou impossible à réaliser directement.
≈ π / 4 π ≈ 4 × (points dans le disque / points totaux)
Qu'appelle-t-on méthode de Monte-Carlo ?
On appelle méthode de Monte-Carlo toute méthode visant à calculer une valeur numérique en utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des outils de probabilités et de statistiques.
Le nom fait référence aux jeux de hasard pratiqués dans les casinos de Monte-Carlo (Monaco), où le hasard est au centre du jeu.
Exemple 1 : aire d'un étang
Mesurer une aire à partir de tirs aléatoires
On souhaite estimer l'aire d'un étang aux contours irréguliers. On commence par l'encadrer dans une figure simple (un rectangle) dont l'aire est facile à calculer.
Ici, le champ entourant l'étang est modélisé par un rectangle de dimensions 60 m par 35 m, donc d'aire 60 × 35 = 2100 m².
On effectue alors des tirs aléatoires sur tout le rectangle (par exemple avec un ordinateur, ou en imagination avec des tirs de canon). Chaque tir tombe soit dans l'eau, soit dans l'herbe.
Si l'on réalise 80 tirs et que 48 tombent dans l'étang, on estime que l'aire de l'étang représente 48 / 80 de l'aire du rectangle, soit une aire approximative de 2100 × 48 / 80 ≈ 1260 m².
Exemple 2 : une valeur approchée de π
Un quart de disque dans un carré
On place un quart de cercle de rayon 1 dans un carré de côté 1. L'aire du carré vaut 1, et l'aire du quart de disque vaut π / 4.
On tire des points au hasard dans le carré tout entier. La proportion de points qui tombent à l'intérieur du quart de disque est proche du rapport de son aire à celle du carré.
On a donc en première approximation : (points dans le quart de disque) / (points totaux) ≈ π / 4 , d'où π ≈ 4 × (points dans le quart de disque) / (points totaux) .
En jetant des grains de riz sur le dessin, ou en utilisant l'ordinateur, on obtient ainsi une valeur approchée de π par la méthode de Monte-Carlo.
Simulation interactive : estimation de π
On tire des points uniformément dans le carré [0, 1] × [0, 1]. Un point (x, y) est dans le quart de disque si x² + y² ≤ 1.
Remarque : plus le nombre de tirs est grand, plus l'estimation de π a des chances d'être proche de la valeur réelle.
Simulation interactive : étang de forme aléatoire
Le rectangle représente un champ de dimensions 60 m par 35 m. Un « étang » aux contours irréguliers est généré aléatoirement (union de plusieurs disques).
On tire des points uniformément dans tout le rectangle et on regarde la proportion de tirs qui tombent dans l'étang pour estimer son aire.
À chaque « Nouvelle forme d'étang », la forme change, mais la méthode de Monte-Carlo reste la même : on utilise la proportion de points dans l'étang pour estimer son aire.
Exemple 3 : approximation de π avec un tableur
Reprendre la méthode avec un tableur
On reprend la même idée : tirer des points au hasard dans le carré [0, 1] × [0, 1] et compter combien tombent dans le quart de disque.
Dans un tableur (par exemple LibreOffice Calc, Excel ou Google Sheets), on peut procéder ainsi :
- Tirer les coordonnées x et y entre 0 et 1 avec une fonction aléatoire.
- Calculer OM² = x² + y².
- Tester si OM² ≤ 1 pour savoir si le point est dans le disque.
- Compter les points dans le disque et calculer π ≈ 4 × (points dans le disque / points totaux).
Exemple de formules (version française d'Excel / Calc) :
• Tirage de x et
y : =ALEA() dans les cellules
B2 et C2.
• Calcul de OM² : =B2*B2 + C2*C2
dans D2.
• Test appartenance au disque :
=SI(D2<=1;1;0)
dans E2.
• Nombre de points dans le disque (par exemple de E2 à E1001) :
=SOMME(E2:E1001).
• Estimation de π si l'on a N tirs au total :
=4 * (SOMME(E2:E1001)/N).
Exemple 4 : approximation de π avec Python
Traduire la méthode en code Python
On retrouve exactement la même logique qu'avec le tableur ou la simulation interactive : tirer des points aléatoires dans le carré [0, 1] × [0, 1], tester si x² + y² ≤ 1, et estimer π par 4 × (nombre de points dans le disque) / (nombre total de points).
Résultats typiques obtenus
| n (nombre de tirs) | π estimé (exemple) | Erreur typique |
|---|---|---|
| 100 | 3.08 – 3.24 | ~ 0.06 |
| 1 000 | 3.10 – 3.18 | ~ 0.02 |
| 10 000 | 3.130 – 3.152 | ~ 0.006 |
| 100 000 | 3.139 – 3.144 | ~ 0.002 |
| 1 000 000 | 3.1413 – 3.1419 | ~ 0.0006 |
La convergence est lente : pour gagner un chiffre significatif supplémentaire dans l'estimation, il faut environ 100 fois plus de points. Cette limite est intrinsèque à la méthode de Monte-Carlo.