La Racine Carrée

1. Définition

Définition : Pour tout réel \(a \geq 0\), on appelle racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), l'unique réel positif ou nul \(x\) tel que \(x^2 = a\).

Exemples : \(\sqrt{9} = 3\) car \(3^2 = 9\) ; \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) (irrationnel) ; \(\sqrt{0} = 0\).

Propriétés : pour tous réels \(a \geq 0\) et \(b \geq 0\) : \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) et \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\).

2. Un peu d'histoire

≈ 1800 av. J.-C. — Babyloniens La tablette YBC 7289 montre \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421\) avec une précision remarquable, obtenue par une méthode itérative proche de celle de Héron.
≈ 500 av. J.-C. — Pythagore et les Grecs Les Pythagoriciens démontrent que \(\sqrt{2}\) est irrationnel : impossible de l'écrire comme un quotient d'entiers.
I^er siècle apr. J.-C. — Héron d'Alexandrie Méthode d'approximation : \(x_{n+1} = \frac{1}{2}\!\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\), suite convergeant rapidement vers \(\sqrt{a}\).
Moyen Âge — Mathématiques arabes et indiennes Al-Khwarizmi et Brahmagupta développent des techniques algébriques transmises en Europe par les traductions latines.
XVI^e–XVII^e siècle — Notation moderne Christoph Rudolff (1525) introduit \(\sqrt{\phantom{a}}\) ; Descartes ajoute le trait horizontal.
1865 — Méthode de la potence (Toepler) August Toepler publie l'algorithme d'extraction chiffre par chiffre, enseigné dans les écoles jusqu'à l'avènement des calculatrices.
XVII^e–XVIII^e siècle — Newton-Raphson Isaac Newton (1669) et Joseph Raphson (1690) généralisent la méthode de Héron à toute équation \(f(x)=0\) : partant d'une valeur \(x_0\), on itère \(x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\). Pour \(\sqrt{a}\), on pose \(f(x)=x^2-a\), d'où \(f'(x)=2x\), ce qui donne exactement la formule de Héron : \(x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right)\). La convergence est quadratique : le nombre de décimales exactes double à chaque étape.
XX^e–XXI^e siècle — Ère numérique Les processeurs modernes calculent \(\sqrt{a}\) grâce à une instruction assembleur dédiée (FSQRT sur x86) combinant une approximation initiale par table de lookup et quelques itérations de Newton-Raphson — résultat en quelques nanosecondes avec une précision de 64 bits (\(\approx 19\) décimales exactes).

📐 La Racine Carrée

1. Définition

2. Un peu d'histoire

3. Exercice interactif — Algorithmes de calcul