De ℕ à ℝ — cinq ensembles, des millénaires d'histoire
Les ensembles de nombres n'ont pas été inventés d'un coup. Chaque civilisation a étendu le champ du possible — et les lettres qui les désignent racontent elles-mêmes cette histoire.
Les Sumériens et les Égyptiens utilisent des systèmes de numération pour compter les récoltes et mesurer les terres. Ces nombres naturels sont nés du besoin concret de dénombrer. Le symbole ℕ vient de l'italien, proposé par Giuseppe Peano (1858–1932) : « Naturale » = naturel en italien.
Le mathématicien indien Brahmagupta est le premier à traiter le zéro comme un nombre à part entière, avec ses propres règles de calcul. Une révolution conceptuelle que l'Europe n'adoptera que des siècles plus tard. Sans lui, pas de position décimale, pas d'informatique.
Les nombres négatifs sont utilisés depuis longtemps (dettes, températures), mais c'est l'allemand Richard Dedekind (1831–1916) qui formalise et baptise cet ensemble. Le symbole ℤ vient de l'allemand : « Zahlen » = compter. Dedekind est aussi l'auteur de la première construction rigoureuse des réels.
Le Flamand Simon Stevin publie La Disme, premier traité systématique sur les fractions décimales. Il propose d'écrire 3,14 là où on écrivait encore 3 + 1/10 + 4/100. Cette notation simplifie les calculs de commerce et d'astronomie — et donne naissance à l'ensemble 𝔻 des nombres à écriture décimale finie.
Les Grecs anciens croyaient que tout nombre est un rapport de deux entiers. Le mot rationnel vient de ratio (rapport). C'est encore Giuseppe Peano (1858–1932) qui choisit la lettre ℚ — de l'italien « Quotiente » = quotient. ℚ contient aussi les nombres périodiques comme 24,3171717…
Le pythagoricien Hippase de Métaponte démontre que √2 ne peut pas s'écrire comme une fraction. Selon la légende, il fut noyé pour avoir révélé ce secret qui brisait la vision du monde de l'école de Pythagore. Ce fut la première preuve d'existence de nombres irrationnels.
C'est l'allemand Georg Cantor (1845–1918) qui baptise l'ensemble des réels. Le symbole ℝ vient de l'allemand « Real » = réel. Cantor et Dedekind construisent simultanément en 1872 une définition rigoureuse de ℝ, comblant les « trous » de la droite laissés par les irrationnels.
La notation ∅ pour l'ensemble vide est due au mathématicien français André Weil (1906–1998), membre du célèbre groupe Bourbaki. Il emprunte la lettre Ø de l'alphabet norvégien — un choix un peu espiègle pour désigner… l'absence totale de contenu.