Le nombre d’or

Définir le nombre d’or

Euclide (&IVe; siècle av. J.-C.) décrit dans les Éléments une division « en extrême et moyenne raison » : couper un segment de sorte que le rapport du tout à la grande partie égale le rapport de la grande partie à la petite.

Définition géométrique

On considère un segment \([AB]\) coupé en \(C\), avec \(AC = a\) (grande partie) et \(CB = b\) (petite partie). La proportion dorée est atteinte quand :

\[\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CB} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\]

Propriétés remarquables :
• \(\varphi - 1 = \dfrac{1}{\varphi} \approx 0{,}618\)
• \(\varphi^2 = \varphi + 1\)
• \(\varphi\) est irrationnel : il ne peut pas s’écrire sous forme de fraction.

Manipuler la division dorée

Position du point de partage 61,8 %

1,618034Tout / grande partie

1,618034Grande / petite partie

0Écart entre les deux

Place le curseur vers 61,8 % pour atteindre la proportion dorée.

Calcul exact de \(\varphi\)

On démontre que la proportion dorée mène à une équation du second degré dont on extrait la valeur exacte.

Démonstration pas à pas

Étape 1 – On pose \(x = \dfrac{a}{b} = \varphi\) (le rapport cherché).

La définition donne :

\[\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \implies 1 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} \implies 1 + \frac{1}{x} = x\]

Étape 2 – On multiplie par \(x \neq 0\) :

\[x + 1 = x^2 \implies x^2 - x - 1 = 0\]

Étape 3 – Discriminant : \(\Delta = 1 + 4 = 5\). Les deux racines sont :

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\]

Étape 4 – Comme \(x = a/b > 0\), on retient la racine positive :

\[\boxed{\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}6180339887\ldots}\]

Propriétés déduites

On peut vérifier algébriquement plusieurs identités remarquables.

\(\dfrac{1}{\varphi} = \varphi - 1\)

En effet : \(\dfrac{1}{\varphi} = \dfrac{2}{1+\sqrt{5}} = \dfrac{2(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})} = \dfrac{2(1-\sqrt{5})}{-4} = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} = \varphi - 1\)

\(\varphi^2 = \varphi + 1 \approx 2{,}618\)

Conséquence directe de l’équation \(x^2 - x - 1 = 0\).

Fraction continue infinie : en utilisant \(\dfrac{1}{\varphi} = \varphi - 1 \Rightarrow \varphi = 1 + \dfrac{1}{\varphi}\)

\[\varphi = 1 + \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}}\]

\(\varphi\) est le nombre le « plus difficile à approcher » par des fractions rationnelles.

🧠 Question rapide

Quelle équation du second degré vérifie \(\varphi\) ?

Géométrie du nombre d’or

Le nombre d’or apparaît dans le rectangle d’or, le pentagone régulier et les constructions récursives.

Rectangle d’or et spirale

Nombre d’étapes 7

À chaque étape on retire un carré. Le rectangle restant vérifie \(\dfrac{\text{longueur}}{\text{largeur}} = \varphi\). La spirale tracée est appelée spirale d’or.

Pentagone régulier et \(\varphi\)

Triangle d’or
Triangle isocèle avec les angles 36°–72°–72°. Rapport grand côté / base \(= \varphi\).

Décagone régulier
Dans un décagone de rayon \(R\), la longueur du côté vaut \(R/\varphi\).

Icosaèdre
Les 12 sommets d’un icosaèdre régulier sont aux coins de 3 rectangles d’or perpendiculaires.

Dodécaèdre
Chaque face pentagonale du dodécaèdre fait intervenir \(\varphi\) dans ses diagonales.

La suite de Fibonacci

Définie par Leonardo Fibonacci en 1202, cette suite est intimement liée au nombre d’or.

Définition et construction

La suite de Fibonacci \((F_n)\) est définie par récurrence :

\[F_0 = 0,\quad F_1 = 1,\quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \quad (n \geq 1)\]

Chaque terme est la somme des deux termes précédents. On part de 0 et 1, et on continue :

\(F_0=0\), \(F_1=1\), \(F_2=0+1=1\), \(F_3=1+1=2\), \(F_4=1+2=3\), \(F_5=2+3=5\), \(F_6=3+5=8\), \(F_7=5+8=13\), …

Formule explicite (Binet, 1843) :

\[F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} \quad\text{avec}\quad \psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0{,}618\]

Remarquable : une suite d’entiers exprimée avec des irrationnels !

Construire la suite pas à pas

2 termes

\(n\)	\(F_n\)	\(F_{n}/F_{n-1}\)	Écart à \(\varphi\)

Le rapport \(\dfrac{F_{n+1}}{F_n}\) converge vers \(\varphi\) quand \(n \to +\infty\). L’écart diminue exponentiellement.

🧠 Question rapide

Quel est le 10ème terme de la suite de Fibonacci (en partant de \(F_1 = 1\)) ?

Nature, histoire et culture

Le nombre d’or apparaît dans la nature et traverse l’histoire des sciences. Attention cependant aux affirmations exagérées !

Phyllotaxie : l’angle d’or dans les plantes

Nombre de points 420

L’angle d’or \(\theta \approx 137{,}508°\) vaut \(360° \times (2-\varphi)\). Chaque graine est placée avec cet angle pour maximiser la couverture.

Histoire des idées

Euclide (~300 av. J.-C.) : première définition rigoureuse dans les Éléments.
Luca Pacioli (1509) : De Divina Proportione, illustré par Léonard de Vinci.
Johannes Kepler (vers 1600) : remarque que les rapports de Fibonacci tendent vers \(\varphi\).
Martin Ohm (1835) : introduit l’expression « nombre d’or ».
Binet (1843) : formule explicite pour les termes de Fibonacci.

⚠ Ce qu’il ne faut pas affirmer

Beaucoup d’oeuvres d’art ou d’architectures sont faussement associées au nombre d’or. Le format d’un tableau en 8/5 = 1,6 est proche de \(\varphi\), mais cela ne prouve pas une utilisation intentionnelle. La rigueur s’impose : il faut distinguer coïncidence numérique et preuve mathématique.

Exemple : \(\dfrac{8}{5} = 1{,}6\) contre \(\varphi \approx 1{,}618\). L’écart est de l’ordre de 1,1 %, ce qui peut être une simple coïncidence.

Quiz : vrai ou faux ?

Vérifie ta compréhension avec ces affirmations à tester.