🏖️ Activité — Fonctions polynômes de degré 2

Délimiter une zone de baignade d'aire maximale

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Sur une plage, le maître-nageur utilise une corde de 160 m de longueur et de deux bouées pour délimiter une zone de baignade de forme rectangulaire ABCD. Le côté [AD] est bordé par le rivage (pas besoin de corde de ce côté) : la corde délimite donc les trois autres côtés [AB], [BC] et [CD]. On note \(x\) la longueur \(AB\). Où placer les bouées pour que la zone de baignade ait la plus grande aire possible ?
\(x = AB\) (m)
\(BC = 160-2x\) (m)
Aire \(f(x)=x(160-2x)\) (m²)
Aire maximale : \(3200\) m² obtenue pour \(x=40\) m (alors \(BC=80\) m)

📝 Questions de l'activité

1) Sur quel intervalle \(I\) la longueur \(x\) varie-t-elle ?

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La longueur \(AB\) doit être strictement positive, et la longueur \(BC = 160-2x\) doit l'être aussi, donc : \[ 160-2x>0 \iff x<80 \] On en déduit \( I = \,]0\,;\,80[ \).

2) Exprimer la longueur \(BC\) en fonction de \(x\).

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La corde de longueur totale 160 m délimite les côtés \(AB\), \(BC\) et \(CD\), avec \(AB=CD=x\). On a donc : \[ AB+BC+CD = 160 \iff 2x+BC=160 \] d'où \[ BC(x) = 160-2x \]

3) On appelle \(f(x)\) l'aire du rectangle \(ABCD\). Donner l'expression de \(f(x)\).

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L'aire d'un rectangle est le produit de la longueur par la largeur : \[ f(x) = AB \times BC = x(160-2x) \] soit, après développement : \[ f(x) = -2x^2+160x \]

4) Déterminer la forme canonique de \(f\).

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On a \(f(x)=-2x^2+160x\), avec \(a=-2\), \(b=160\), \(c=0\).

Coordonnées du sommet : \[ \alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{160}{2\times(-2)} = 40 \qquad \beta = f(\alpha) = f(40) = 40\times(160-80) = 3200 \] D'où la forme canonique : \[ f(x) = -2(x-40)^2+3200 \]

5) Répondre au problème posé.

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Comme \(a=-2<0\), la fonction \(f\) admet un maximum atteint en \(x=40\), qui vaut \(f(40)=3200\).

Il faut donc placer les bouées de sorte que \(AB=40\) m (et donc \(BC=160-2\times 40=80\) m) pour que la zone de baignade ait une aire maximale de 3200 m².