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Résoudre l'équation ax² + bx + c = 0

Le but est de trouver une formule pour résoudre cette équation (avec a non nul). Remettez la démonstration ci-dessous dans le bon ordre : le théorème se dévoilera alors. Vous copierez ensuite dans votre cours le théorème et sa démonstration.

Théorème

Il apparaîtra ici dès que la démonstration sera dans le bon ordre.

Théorème

Pour résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\neq 0$), on calcule $\Delta = b^2-4ac$. Il y a alors trois cas :

1er cas : $\Delta = 0$
L'équation admet une seule solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
De plus $ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$.
2e cas : $\Delta < 0$
L'équation n'admet pas de solution.
De plus $ax^2+bx+c$ ne peut pas se factoriser.
3e cas : $\Delta > 0$
L'équation admet deux solutions (ou racines) : $$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$$$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ $$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$
De plus $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Démonstration

Faites glisser les étapes (sur téléphone, attrapez-les par leur numéro) ou utilisez les flèches.

  1. On considère l'équation $ax^2+bx+c=0$.

  2. En factorisant par $a$, on obtient :

    $$a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=0$$

  3. Puisque $a\neq 0$, on peut diviser les deux membres par $a$ ; on obtient alors :

    $$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

  4. Or on peut vérifier que $\class{blue}{x^2+\frac{b}{a}x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}}$.

    Donc en remplaçant dans l'équation $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$, on obtient :

    $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0$$

  5. Et donc :

    $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}=0$$

  6. Puis, en regroupant les deux fractions finales :

    $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$$

  7. En posant $\Delta=b^2-4ac$, l'équation devient :

    $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}=0$$

  8. Trois cas sont alors possibles.

    Le premier : $\Delta=0$, l'équation devient :

    $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=0$$

  9. Dans ce cas, l'équation admet une seule solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.

  10. Le deuxième : $\Delta<0$, l'équation devient :

    $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{-\Delta}{4a^2}=0$$

  11. Dans ce cas, nous avons la somme d'un nombre positif et d'un nombre strictement positif. Cette somme ne peut être égale à $0$ : l'équation n'admet donc pas de solution.

  12. Le troisième : $\Delta>0$, l'équation devient :

    $$\begin{aligned} &\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\left(\sqrt{\Delta}\right)^2}{4a^2}=0\\[4pt] \text{soit}\quad &\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2=0\\[4pt] \text{puis}\quad &\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0\\[4pt] \text{enfin}\quad &\left[x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right]\left[x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0 \end{aligned}$$
    $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\left(\sqrt{\Delta}\right)^2}{4a^2}=0$$

    soit

    $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2=0$$

    puis

    $$\begin{gathered}\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]\\ \times\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0\end{gathered}$$

    enfin

    $$\begin{gathered}\left[x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right]\\ \times\left[x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0\end{gathered}$$

  13. Dans ce cas, l'équation admet deux solutions :

    $$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$$$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ $$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$